Вероятностная модель функционирования биржи труда Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Семенчин Е.А., Зайцева И.В.

«Вероятностная модель функционирования биржи труда»

ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БИРЖИ ТРУДА

Е.А. Семенчин, И.В. Зайцева

THE PROBABILISTIC MODEL OF LABOUR EXCHANGE FUNCTIONING

Semenchin E.A., Zaitseva I.V.

The paper suggests the model of labour exchange functioning. The model allows to determine several proboballstic features of job applications of the unemployed.

В статье предлагается вероятностная модель функционирования биржи труда. Она позволяет определить многие вероятностные характеристики потока заявок на предоставление работы/, поступающего от безработных.

УДК 519.8

Данная работа посвящена развитию результатов, изложенных в работе [3].

От биржи труда можно абстрагироваться к некоторой системе массового обслуживания (СМО) с ожиданием: отделы биржи - каналы СМО, поток заявок от безработных - поток заявок в СМО, очередь на бирже - очередь заявок в СМО и т.д. Будем предполагать, что поток заявок в такой СМО - стационарный, ординарный, без последействия интенсивности Л. Время обслуживания одного требования Тоб — показательное, с параметром ц = const :

Тоб= № *, t>0, ^ - среднее время обслуживания одной заявки. Требование от безработного, при отсутствии вакансии, становится в очередь и ожидает обслуживания. Время ожидания ограничено некоторым сроком Тож; если до истечения этого срока требование не будет принято к обслуживанию, то оно покидает очередь. Срок ожидания Тож будем считать случайным и распределенным так же по показательному закону:

Тож = ve-vt, t>0, v = const, где параметр v — величина, обратная среднему времени ожидания в очереди.

Так как число требований, стоящих в очереди, значительно, то в первом приближении будем считать его бесконечно большим.

Предполагаем, что биржа труда может находиться в следующих состояниях: х0 - ни один отдел ни занят (очереди нет),

38/2004

Вестник Ставропольского государственного университета

х1 - занят ровно один отдел (очереди нет),

хк - занято ровно к отделов (очереди нет),

хп - заняты все п отделов (очереди нет), хп+1 - заняты все п отделов, одно требование стоит в очереди,

хп+5 - заняты все п отделов, 5 требований стоят в очереди,

Обозначим черезрк^) (к=0,1, ...п, ...) вероятность того, что в момент времени * биржа труда будет находиться в состоянии хк. рк(*) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений [1, 2]:

ФоО) Ж*

Ф1О)

Ж*

= -МоО) + тО X = ДРо (*) - (Д + м) Р1 (0 + 2^Р2 ОХ

ЖРк (*)

ж*

ЖРп (*)

ж*

= ДРк-1(* )-(Д + км) Рк (*) + + (к +1)мРк+1(*), (1 < к < п -1),

= ДРп-1(*Ь(Д + кМ)Рп (*) + + (пм + у ) Рп+1(*),

ЖРп+5(*)

Ж*

= ДРп+5-1 (*Ь (Д + 5 V)Рп+5 (*) +

+ [пМ+ (5 + 1)У ]Рп+ 5+1 (*),

(1)

В стационарном режиме система (1) принимает вид:

-*Р0+ ИР\~ 0

ЛРо - (Д + м)рх + 2^Р2 = 0,

ДРк-1 - (Д + ) Рк +(к +1) МРк+1 = 0

(1 < к < п -1),

ДРи-1 -(Д + пМ) Рп+ (пМ + V ) Рп+1= 0

ДРп+5-1 ~(Д + пМ + 5 V)Рп+5 +

+ [пМ + (5 + 1)V) Рп+5+1 =

(2)

К системе алгебраических уравнений

(2) должно быть присоединено условие

£ р = 1.

(3)

к=0

Из (1), (2) следует, что для любого

к < п

= лк

Рк = к Р0 ,

для к>п (к=п+я) при любом 5 > 1

3п + 5 „

Я Р0

(4)

Рп

п\ц п П (п^ + ту)

, (>)

т=1

Р0

п рк да

20 к!/ +

Яп

.(6)

_1 п\цп П (пМ + ту)

т=1

Обозначим

я

— = а,

V

^=в.

V

(@)

1

111111

Семенчин Е.А., Зайцева И.В.

«Вероятностная модель функционирования биржи труда»

Тогда формулы (4), (5) и (6) можно переписать в виде:

Рк

а "к!

к

п к п да *

^ СС СС ^ СС

2-1 к! п! *

к=0 к= п= *=1 П (п + тр)

т=1

(0 <к <п); а" а*

(8)

п!

П (п + тв)

т =1

Рп+* п к п да *

Еа а ^ а

к! п= ¿-и *

к=о к п= *= п(п + тв)

т=1

(*>!)■ (9)

Математическое ожидание числа требований, находящихся в очереди, т* и вероятность того, что требование покинет биржу необслуженным Рн, определяются соответственно из соотношений [2]: т* = М [ *] =

а п!

Г

+<

Г *Рп

П (п + тв)

т=1

п к п ю

*=1 ^ а а

^ а а ^

^ к! + п! ^

а

к=0

1 П (п + тв)

т=1

(10)

а

яа

Рн =

в

п! ^ * ' *П (п + тв)

т=1

а

п „,к „,п ап

^ а а ^

ТГ+£

а

.(11)

П (п + тв)

т=1

Непосредственное использование формул (8), (9) и (11) затруднительно, поэтому для вычисления параметров рК, рп+*, т*, Рн можно использовать методы имитационного моделирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. - 7-е изд. стер. — М.: Высш. шк., 2001. —575 с.: ил.

2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 336 с.

3. Семенчин Е.А., Зайцева И.В. Математическая модель самоорганизации рынка труда для нескольких отраслей // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2003. т.10. в.3. -С. 740-741.

Об авторах

Семенчин Евгений Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор. СГУ. Научные интересы - Математическое моделирование экологических и экономических процессов, теория случайных процессов, методы оптимального управления, дифференциальные уравнения. Опубликовано в открытой печати более 150 научных и методических работ. Среди них 3 монографии, 12 учебных пособий. Зайцева Ирина Владимировна, соискатель, СГУ, научные интересы - математическое моделирование экономических процессов. Опубликовано в открытой печати 5 работ.