Оценка эффективности телекоммуникационных компаний на основе методов теории массового обслуживания: методологические аспекты Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 33+51-7

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ КОМПАНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

А.В. Жуков; Т.В. Шаповалова, ДВГТУ, Владивосток

В современных условиях поиск новых методов повышения эффективности в сфере телекоммуникационных технологий представляет важную и сложную задачу. Решению этой задачи может способствовать использование математических методов для анализа ключевых показателей эффективности. В данной статье рассматриваются методологические положения оценки эффективности телекоммуникационных технологий на основе теории массового обслуживания.

1. Ключевые показатели эффективности

Информационно-коммуникационные технологии (ИКТ) во всем мире являются эффективнейшим инструментом экономических и социальных преобразований. Отрасль ИКТ стала за последние годы локомотивом экономического роста. Сохранить темпы в условиях экономического кризиса можно только при условии строительства 1Т- инфраструктуры. Внедрение самых современных информационно-коммуникационных технологий и создание эффективного информационного общества -залог конкурентоспособности страны.

В XXI в. стабильность и наращивание объемов, которые раньше определяли стратегию развития компаний связи, начали уступать место гибкости, адаптивности, что первоначально определялось переходом к рынку, а позднее - достижениями научно-технической революции. Поиск новых методов повышения эффективности в сфере оказания телекоммуникационных услуг представляет собой довольно сложную задачу. Необходимым условием развития и повышения эффективности телекоммуникационной компании являются несколько факторов:

1. Номенклатура предоставляемых услуг (маркетинговая деятельность).

2. Технология производства.

3. Инвестиционная привлекательность.

4. Доходность акций компании.

5. Конкурентная борьба.

Использование математических методов для анализа факторов повышения эффективности и развития в сфере

телекоммуникационных систем - важнейшее направление совершенствования систем управления. Математические методы ускоряют проведение экономического анализа, способствуют более полному учету влияния факторов на результаты деятельности,

повышению точности вычислений. Применение математических методов требует:

- системного подхода к исследованию заданного объекта, учета взаимосвязей и отношений с другими объектами (предприятиями, фирмами, населением);

- разработки математических моделей, отражающих количественные показатели системной деятельности работников организации, процессов, происходящих в сложных системах, какими являются предприятия;

- совершенствование системы информационного обеспечения управления предприятием связи с использованием компьютерных технологий.

Решение задач экономического анализа математическими методами возможно, если они сформулированы математически, т.е. реальные экономические взаимосвязи и зависимости выражены с применением математического анализа. Это вызывает необходимость разработки математических моделей.

Особенно часто применяются математические модели очередей и управления запасами. Например, теория очередей опирается на разработанную учеными А.Н. Колмогоровым и А.Л. Ханчиным, Жуковым А.В. теорию массового обслуживания.

Она исследует математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Особенность всех задач, связанных с массовым обслуживанием, - случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлениями имеют случайный характер, однако в совокупности подчиняются статистическим закономерностям, количественное изучение которых и есть предмет теории массового обслуживания.

Исходя их данных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания, теория определяет ключевые показатели эффективности (КПЭ):

- качество обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.);

- доходность бизнеса;

- подключение новых абонентов и отток действующих;

- управление дебиторской задолженностью;

- время ожидания в очереди;

Математический аппарат теории массового обслуживания позволяет находить вышеперечисленные характеристики. Имеется такая возможность их подбора, что процесс становится оптимальным.

2. Этапы экономико-математического моделирования

В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, этапы экономико-математического моделирования приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и

содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.

Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы,

принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез, объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это - этап формализации

экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных

математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.).

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является

выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент -доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее

математической формализации.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ПК и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации. Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте

результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

3. Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным образом поступают «требования» - вызовы абонентов, а «обслуживание» состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов в системах массового обслуживания (СМО).

Каждая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок, она состоит из некоторого числа обслуживающих единиц, которые принято называть каналами.

Случайный характер потока заявок приводит к тому, что в какие-то промежутки времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо образуют очередь, либо покидают СМО не обслуженными), в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Предмет теории массового обслуживания - установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО и успешностью (эффективностью) обслуживания.

В качестве характеристик эффективности обслуживания могут служить: среднее количество заявок, которые может обслужить СМО в единицу времени; средний процент заявок, получивших отказ; вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию; среднее количество заявок, находящихся в очереди; закон распределения числа заявок в очереди и т.д.

Чтобы дать рекомендацию по рациональной организации этого процесса и предъявить разумное требование к СМО, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, описать его математически. Этим и занимается теория массового обслуживания.

4. Моделирование операций по схеме случайных процессов

Математический анализ работы СМО очень облегчается, если случайный процесс, протекающий в системе, марковский, а все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, пуассоновские.

Определение. Случайный процесс называется марковским, если он обладает следующим свойством: для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t > Ю) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = Ю) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).

Определение: Поток называется пуассоновским, если интервал времени Т между событиями в этом потоке есть случайная величина, распределенная по показательному закону

м

Щ = Ме ^ > 0),

где М - интенсивность потока событий (заявок).

Геометрическую схему процесса назовем графом состояний.

Процесс, происходящий в системе, можно представить как последовательность (цепочку) событий (система может не только менять состояние, но и оставаться прежней). Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью. Будем описывать марковскую цепь с помощью так называемых вероятностных состояний. Вероятностные состояния определяются как системы дифференциальных уравнений Колмогорова (останавливаться на вводе этой системы не будем, а только приведем окончательный результат этого вывода: случая п = 4).

Пусть система Б имеет четыре возможных состояния:

Й1, Б2, Бз, Б4.

Граф состояний системы таков (схема):

Для этой системы вероятностные состояния системы найдутся из систем дифференциальных уравнений (4.1)

-Р = -Л12р1 +Лз1Рз.

—

-Р2

а

-Рз

-

-Рл

-

■■ -Л23Р2 - Л2ЛР2 + л12Р1 + Л42Рл,

= -*31р3 - Л3ЛР3 + ^23Р2. = -Л42РЛ +Л21Р2 +*3ЛР3-

(4.1)

Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова.

Марковская цепь называется «процессом гибели и размножения», если ее граф имеет вид, представленный на схеме (частный случай марковской цепи):

Все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (Б2, ... , 5п+1) связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (Б1, Бп) - только с одним из соседних состояний.

Напишем алгебраические уравнения вероятностей состояний.

Для первого состояния Э1 имеем

X12Р1 = X 21Р2. (4.2)

Для Б2 сумма членов, соответствующих входящим и выходящим стрелкам, равна Л23Р2 + Л21Р2 = Л12Р1 + Л23Р2, но в силу (4.2) можно написать Х23Р2 - Л23Р2, далее аналогично

X л-1, к Рк-1 - X к, к-1 Рк.

(4.3)

Итак, вероятности состояний Р1, Р2, ..., Рп в любой схеме «гибели и размножения» удовлетворяют уравнениям:

X 12Р1 - X 21Р2,

X к-1 Рк-1 - X к, к-1 Рк,

(4.4)

и нормированному условию

Рі + Р2 + ... + Рп = 1.

Решая (4.4), находим

(4.5)

Р2 = р ; Рз = р2 = р ; Р4 = Р и вообще

І21 Х32 Х32Х21 Х48Х32Х21

Рк = хк-%кхк-гк~1-х\2 , или в силу (4.5) имеем

Хк, к-1Хк-1, к-2---Х2Л

Р1 _

у\+Х2+ Х23Х12 Х21 Х32Х21

Хк-1,кХк-2,к-1---Х\2

ХХ

к,к-1Хк-1,к-2

■■Х21

Х

+ ■■■ +-

Хп,п-І^^І

(4.6)

Остальные вероятности выражаются через Р1.

Классификация СМО и их основные характеристики.

СМО, вообще говоря, могут быть двух типов:

- система с отказами: в этом случае заявка, поступающая в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ», покидает СМО и в дальнейшем в процессе обслуживания не участвует;

- система с ожиданием (с очередью): в этом случае заявка ожидает, пока освободится один из каналов. Как только освобождается канал, принимается к обслуживанию одна из заявок стоящих в очереди.

Система с очередью делится на систему с неограниченным ожиданием и систему с ограниченным ожиданием.

По количеству каналов СМО будем различать одноканальные и многоканальные.

Одноканальные СМО с ожиданием.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные параметры:

п - число каналов;

Х - интенсивность потока заявок;

р = ----интенсивность обслуживания,

1

где іо6 - время обслуживания заявки.

Под интенсивностью будем понимать количество заявок, поступивших или обслуженных в единицу времени.

Итак, рассмотрим одноканальную (п = 1) СМО с ожиданием с интенсивностью потока X и интенсивностью обслуживания р.

Схема работы СМО такова:

‘------------------ч/-------------------1

Здесь предполагаем, что количество мест в очереди ограничено числом т, т.е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят т заявок, она покидает систему не обслуженной. Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе:

Бо - канал свободен;

Б1 - канал занят, очереди нет;

Б2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди;

Бк - канал занят, к-1 заявок стоят в очереди;

Бт+1 - канал занят, т заявок стоят в очереди.

Пользуясь общими правилами, можно составить уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:

др0

----- = - Хро + рр1,

сН бр,

---- = - (Х + р) р1 + Хро + 2рр1,

а

.................................................... (4.7)

бри

---- = - (Х + кр) Рк + Хрк-1 + (к + 1)ррк+1,

ді

СРт+1 = - (т + 1)ррт+1 + Хрт ді

где Ро, Р1, ..., Рк, ... , Рп есть функции от t, определяющие вероятности состояний системы.

Решая эту систему найдем

= (/„) р0-

Р, -{у^р0.

/ /\т+п

Рт +1 = У) Ро’

Ро =■

1+(л/)+(л

V) К/ V

+... +

V

(4.8)

Ведя обозначение у = р (4.9), получим из (4.8)

/ №

Р1 = Р' Ро,

Р2 =Р2 ' Ро,

Р, =РК ' Ро,

Рт+1 =Рт+1 • Ро-

1

■ = [1 + р + р2 + ... + рт+1\ \

(4.9)

(4.10)

Р =-----

1 + р + р2 +... + рт+1

Заменяя в знаменателе формулы (4.8) суммой, будем иметь

1

2

т +1

Рі =р- Ро, Р2 =Р2 • Ро,

Рк =Рп • Ро,

__ ~т + п #*»

т + п - р • Р0,

Р-■

1 -р

1 - рп

(4.11)

Следовательно,

РОТК - Рт

Рт+І(і-Р) 1 - рт+2

(4.12)

где ротк - Рт+п - вероятность того, что т + 1 заявка получит отказ.

Относительная пропускная способность системы д, т.е. вероятность того, что пришедшая в момент f заявка будет обслужена, определяется так:

Рт+1(Х-Р) 1- рт+2

(4.13)

Абсолютная пропускная способность А, т.е. среднее число заявок, которые может обслужить система в единицу времени, будет

А = Х ■ д.

(4.14)

Найдем среднее число заявок, находящихся в очереди: определим эту величину как математическое ожидание дискретной случайной величины И - числа заявок, находящихся в очереди

: М[Я] .

С вероятностью р2 в очереди стоит одна заявка, с вероятностью рз - две заявки; вообще с вероятностью рк в очереди стоит к - 1 заявка, наконец, с вероятностью рт+1 в очереди стоит т заявок.

Среднее число заявок в очереди получим, умножая число заявок в очереди на соответствующую вероятность и складывая равенства:

і -1Р2 + 2р3 +... + (к - 1)рк +... + трт+1 -

= 1-Р2Ро + 2ръРо +... +{к - 1)ркра +... + трт+1р0 =

= р2р0\\ + 2р +... + (к - 1)рк-2 +... + трт-1\

Выражение в квадратных скобках является производной от суммы =р + р2 +... + рк-1 +... + р , но это есть геометрическая прогрессия, „ р-рт+

сумма которой - ^=-

1 - р

1- рт (тн - тр)

Продифференцировав последнее, найдем £=

(1-р)

2

, ч , . . 1-рт (т +1- тр)

следовательно 1 + 2р +... + (к - 1)рк-2 + ...трт-1 ----------.

(1-р)

Итак, Т-р2р0 1~рт (тн - тр)-р221 -рр1-рт (т +1-тр)] (4.15)

(1-р) (1 -рт+2 )(1-р)

_ „ 1- рт (т +1 - тр)

или і - р2—---------------- .

(1-рт+2 )(1-р)

Введем теперь формулу для среднего числа к заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся под обслуживанием).

Решим эту задачу так: рассмотрим общее число заявок к, связанных с системой, как сумму двух случайных величин: числа заявок, стоящих в очереди, и числа заявок, находящихся под обслуживанием: к = И + О.

По теореме сложения математических ожиданий

к - М[к ] - М[Я] + М[0] -ї + ш ,

где ї - среднее число заявок в очереди; ш - среднее число заявок под обслуживанием.

Величину ї мы нашли, найдем ш. Так как канал у нас один, то случайная величина О может принимать только два значения: 0 или 1.

Значение 0 она принимает, если канал свободен; вероятность этого

1-р Ро =-------г ■

1 - рт+2

Значение 1 она принимает, если канал занят; вероятность этого

р - рт+2

1- р0 =--------------------■ Отсюда находим математическое ожидание числа

1 - рт+2

заявок, находящихся под обслуживанием,

р — рт+2

07 = 0 • Ро +1(1 - Ро )=р р ■ (4.16)

1 -рт+2

Таким образом, среднее число заявок, связанных со СМО,

P-P 1-P

- p - Pm+2

k =J + p—p----------------------------------------= 1 + т (4.17)

Введем выражение еще для одной существенной характеристики СМО с ожиданием: среднего времени ожидания заявки в очереди. Обозначим его через їож .

Пусть заявка проходит через систему, в какой-то момент времени.

С вероятностью ро канал обслуживания не будет занят, и заявке не придется стоять в очереди (время ожидания равно 0).

С вероятностью рі она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать

начала своего обслуживания в течение времени у - среднее время

обслуживания одной заявки.

С вероятностью р2 в очереди перед рассматриваемой заявкой будет

стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно у и т.д.

/ И

Вообще, с вероятностью рк пришедшая заявка застанет в системе к заявок и будет ждать в среднем у единиц времени; здесь к может

быть любым целым числом до т. Что же касается к = т + 1, т.е. случая, когда вновь приходящая заявка застанет канал обслуживания занятым и еще т заявок в очереди (с вероятностью рт+і), то время ожидания в этом случае также равно нулю, потому что заявка не становится в очередь (и не обслуживается). Поэтому среднее время ожидания будет

їож = рі Ум + р22Ум+■■■ + рккУм + ■■■ + pm^M

*ож=рор уи+р°р22,и+■■■+р°ркУм+ ■■■+р°рт%=~(1+2р+■■■+кр) ■ и

Преобразуя выражение в скобках, пользуясь предыдущим

- р р 1- рт (т +1- тр) рассуждениями, t = , или выражая ро через р,

и (1-р)

имеем

і = у р(1-р) 1 -рт (т +1-тр)

ОЖ /И 1-рт+2 ' (1 -р)2 , . .

,р11 -рт(т +1 - тр)]. (4.18)

и(1-рт+2 )(1-р)

Сравнивая эту формулу с формулой (4.15), замечаем, что

1 __ і рИ X

т.е. среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок

1ж=1 (4.19)

X

Введем еще формулу для среднего времени пребывания заявки в системе. Обозначим Тсист - случайную величину, время пребывания заявки в СМО. Эта случайная величина складывается из двух слагаемых (тоже случайных)

Тсист = Тож + в,

где Тож - время ожидания заявки в очереди; в - случайная величина, равная времени обслуживания Тоб, если заявка обслуживается, и нулю, если она не обслуживается (получает отказ).

По теореме сложения математического ожидания имеем

ісист = М[Гсист] = М\Тож] + М[в], но в наших обозначениях

М[Тож] = ^ж , а М[6>] = ц1об= % , отсюда находим {сист = ^ + , с

учетом (12) имеем:

^сист = /х + /и ' (4.20)

Заключение

Многогранность проблемы внедрения телекоммуникационных технологий на основе новых экономических механизмов требует совершенствования методологических подходов. На первый план в телекоммуникационных компаниях выходят новые цели: привлечение инвесторов, максимизация прибыли, увеличение рыночной стоимости компаний. Для перспективного развития компаний требуется на основе теорий исследования операций и массового обслуживания разработать алгоритмы и математические модели процессов оптимизации деятельности компаний. Именно этим проблемам и уделено основное внимание в данной статье.

Библиографический список

1. Жуков А.В. Методы теории исследования операций при решении транспортных задач: учеб. пособие. Изд-во ДВПИ, 1974.

2. Довгий С.А. и др. Современные телекоммуникации. М.: Эко-Трендз, 2004.

3. Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. СПб.: Питер. Сер. «Краткий курс», 2002.

4. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике. М.: Изд-во «Экзамен», 2002.

5. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.: Изд-во «Дело». Сер. «Наука управления», 2000.