Векторные функциональные пространства, связанные с задачей электромагнитной дифракции в конусе, и их свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Векторные функциональные пространства, связанные с задачей электромагнитной дифракции в конусе, и их свойства

И. А. Баланцева, А. Л. Делицын

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. E-mail: " [email protected]

Статья поступила 15.09.2008, подписана в печать 19.01.2009.

Определено специальное векторное функциональное пространство для слабой постановки задачи дифракции в конусе. Доказаны некоторые теоремы вложения для введенного векторного функционального пространства. Исходная задача сведена к фредгольмово разрешимой. Ключевые слова: функциональный анализ. УДК: 517.95. PACS: 02.30.Sa.

Постановил задачи

В настоящей работе рассматривается вопрос о разрешимости задачи дифракции в конусе. Применен подход, предложенный в [1, 2] (см. также [3]), основанный на сведении задачи дифракции в неограниченной области к внутренней краевой задаче с нелокальными краевыми условиями. Цель исследования — доказательство теоремы существования решения задачи дифракции в конической области.

Итак, задача дифракции рассматривается в конусе С} = {(в, (р) £ £1, г £ [0, сю)}, П — односвязная область, принадлежащая поверхности единичной сферы {(в,ф): 0 ^ф <2п, 7г}, с границей, состоящей из не бо-

лее чем конечного числа бесконечно дифференцируемых дуг (точное описание этого класса границ см. [4, с. 148, 149].

Электромагнитное поле в конусе описывается системой уравнений Максвелла, которую можно преобразовать к виду

го^1 rotЯ ^к2Н = 0, (1)

ИчН = 0. (2)

Всюду в дальнейшем считаем выполненными все нижеперечисленные условия.

1. к — произвольный вещественный параметр.

2. е — скалярная функция переменных г,в,ф, ограниченная в С}:

1^е(г,в,ф)^етах. (3)

3. Введем пространственную область V = {г,в,ф: 0 ^ г ^ Я, (в,ф) £ П}. Полагаем, что диэлектрическое тело полностью содержится в ограниченной области V" С V, У = {г,в,ф: 0<:г<:й^т, (в,ф)£ П, т > 0}. Будем считать, что V = Ц, причем в каждой замкнутой области Ц функция е(г,в,ф) бесконечно дифференцируема вплоть до границы, а границы этих областей состоят из не более чем конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Всюду вне V полагаем е = 1.

4. На поверхностях разрыва диэлектрической проницаемости поставим условия сопряжения

Нхп\8 = 0, е^1 rotЯ х = 0, (4)

где п — нормаль к поверхности 5 разрыва диэлектрической проницаемости.

5. В качестве условий на ребре и в вершине конуса используем условия Мейкснера [5, с. 15]:

Я £ ((12)1<)С)3,

rot Я е ((12)|0С)3-

(5)

6. На боковой поверхности конуса поставим граничные условия, соответствующие идеально проводящим стенкам:

(H,n)\dQ=0, [е rot Я х n]\dQ = 0.

(6)

7. В качестве условий излучения используются парциальные условия А.Г. Свешникова в области г > R — т [3].

8. Под пространством % будем понимать множество векторов Я, таких, что Я £ (¿2(Ю)3, rot Я £ (¿2(Ю)3. сНуЯ = 0, где операции ротора и дивергенции определены в следующем смысле:

— скалярное поле F £ /^(V) называется дивергенцией векторного поля и £ (/^(Ю)3. если для любой скалярной функции v £ Cg°(V) выполняется тождество

FvdV =

(u,Vv)dV;

— векторное поле А £ (/^(Ю)3 называется слабым ротором векторного поля и £ (/^(Ю)3. если для любого поля V £ (Сд°(У))3 справедливо тождество

(A,v)dV =

(и, rot о) dV.

Скалярное произведение в % определим следующим образом:

(Hi,H'2)H =

¿2<У))3

■ (rot#i, rot#2)(.

МЮ)3

9. Под П будем понимать телесный угол, образованный конусом, а под П(г) — сечение конуса сферой с центром в вершине конуса и радиусом г.

10. Символом С обозначаем различные оценочные постоянные.

Цель настоящей работы — рассмотреть слабую постановку задачи (1)-(6) в соответствующем гильбертовом пространстве и установить существование ее слабого решения в этом пространстве.

Рассмотрим следующие две краевые задачи:

— Ав.фХт — М тХт, ~ ^-в.фФт = МтФт,

где Ав4 = ^§(втв§) + -

Хт\т — 0; дф,

дп

|да

= 0;

W

Электромагнитное поле в конусе возбуждается падающей из +оо нормальной модой, например электрического типа:

Н = А rot (Vk?H'^-^ik^Xmer) ■

Далее, понимая, что из +оо никакие другие волны приходить не могут, в области г > R — т будем требовать наличия только расходящихся волн и одной приходящей. Выразим этот факт в виде условия излучения, потребовав представимость поля Я в этой области в виде сходящегося в (¿2(^(г)))3 РяДа при каждом фиксированном r>R-r\

п=\

п=\

+ '52-ТЪп(г)фпег, (9)

п=\

иными словами, совокупность векторов {rot Хпег}, {§га(^вффп}, {Фп^г} образует базис в пространстве

(¿2(П(г)))3.

2. Для любого rot Я £ (¿2(^))3 справедливо разложение

оо оо

rot Я = a2„(r) grad^ Хя + £ rot ^пвг +

ОО д

тЪп(г)хпег,

п=\

иными словами, совокупность векторов {gradдфХп}, {то\фпег}, {Хпвг} образует базис в пространстве (¿2(П(г)))3.

Легко видеть, что все функции а\п, fi\n, 7in, ащ, п. 72п из разложений (9) и (10) являются элементами

¿2(0, Я).

Пользуясь теоремой Фубини [8, с. 335, 336] и определением слабой производной [7, с. 148], нетрудно вывести соотношения

Я = £а„ roti^y/k?HxVXI-Tm(kr)xner

п=\

оо

I ьп rot To\U/krH1,^+1/A{kr)ij)ner

n= 1 ^ Ы

+ ATot(VFrH'2vx^m{kr)xmer). (7)

Вычисляя формально ротор от (7), получим

СЮ Д

п= 1

+ (^^д^тщ(И) gradв<фХп) +

ОС

+ ]Г bnk2 rot (^Я»^)^) +

п=1

+ ёгаАе,фХм), (8)

где grad^ = у -§§ + y^-g щ-

Переходим к строгим формулировкам. В задаче предполагаем искать поле Я £ (/^(Ю)3 • Это, в частности, означает, что при почти всех г £ (О, R) Я £ (Z,2(0(r)))3. Следовательно, на почти всех сечениях поле Я можно разложить в ряд по полной ортонормированной системе функций, образующих базис в (Z,2(0(r)))3. Отметим, что на произвольном сечении поле Я, вообще говоря, не принадлежит (¿2(^(г)))3 •

Опираясь на известные результаты, изложенные в [6] и [7], нетрудно обосновать следующее утверждение. Утверждение 1.

1. Для любого Я £ (L2(fl))s справедливо разложение

оо оо

н = a\n(r) rot Хпвг + £racW +

Pln{r) = iln{r), 12п(г) = Oi\n(r),

a2n(r) = a[n(r),

{^ТЪп{г)Мг)) шт + {Р\п{г),г1'{г))шт

= {kn(r),'n(r))l

(11) (12) (13)

(14)

'¿2(0 ЛУ

причем последнее равенство справедливо для каждого п У г] £ Яд1 (О, Я). Из этих соотношений следует, что аЛп£ Я1 (0,/?), 71„ € Я1 (О, Я).

Выведем основное уравнение задачи. Для этого проведем несколько формальных процедур, предполагая выполненными условия, обеспечивающие их справедливость. Умножим скалярно уравнение (1) на произвольный достаточно гладкий вектор Я, удовлетворяющий граничным условиям (6) и условиям сопряжения (4), и проинтегрируем по области V:

(rote^lrotH,H)dV ^к2 {Н,Н)йУ = 0.

V V

Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса и разложениями (7) и (8), получим после несложных преобразований

(fT1 rot Я, rot//) dV^k2 (Я, Я) dV

v

п=\

7 Н1,__

VAi„+l/4

r=R

мя

х (rot Xner,HT(Lmm3 (rot Хпвг, Н)(ытт,

п=1

VRH\-(kR)

7 нх,_

А 2п

r=R

х (grade^фп,НТ(ьттз(grad^ ФпМ)(ытт),

4 iyfk

= -А

(rot ХтвгМ)

(¿2(П№)))3'

(15)

где скалярное произведение векторов-функций в пространстве (¿2(^(^)))3 определено следующим образом:

(а> b)(L2(nmy

(a, b) dS =

{a, b)R dtt.

П (R)

На некотором множестве элементов (которое, очевидно, непусто) определим полуторалинейные формы

п=\

п=\

а(Н,Н) = (¡Г1 wtH,wtH)(MV)ïi

( d (

оо . | | Лу

7 Н1_

VAi„+l/4

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА С(Я,Я),х2(у)) (кг

r=R

п= 1

1я

b(H,R) = -i^2 — Im

х (rotХпег,Н);мштз(rotXner, Я)(i2(n№)))3,

(fer)4 '

r"^\Ai„+l/4v

r=i?

я=1

ln

x (rotXner,H)*Mnmfi(rotx„er, Я) л/ЕЯ1,-(M)

VA2„+l/4

(Uifliflïïfi

rt Д2п ^

7Я1.-(fer

VA2„ + l/4

r=i?

X (&гас!й ^ фп, #)*£2(п(д)))з Фп. Я) (¿2(П(Д)))з -

-к (Я, Н)(12{у)) з - С(Я, Н)(12{у)) з (С — положительная постоянная) и линейную форму

/(Я) =

(гсЛ Хтег,Н)([,2тщ)У'-

Тогда уравнение (15) примет вид

а(Н,Н) + Ь(Н,Н) = 1(Н).

Множество векторов, подчиненных условиям 1 )Н£П;

2) .[(//. Тг) Л-' - О У^еС°°(У), ^|г=д = 0;

V

(16)

з)

я=1

я

VA),!!/-!

(fer)) |

y/RIf --AkR)

Утверждение 4. Яз любой последовательности, ограниченной в норме гильбертова пространства J, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в норме (¿2(У))3.

Доказательство. Из вида разложений (9) и (10)

с учетом (11)-(14) следует, что

11Я11о.2<У))3

п=\

ОО ОО j

+ Y1 ll7Î ji2(0,i?)A2n + Y1 I l~Tln|||2(0,i?)^ln>

n= 1 n=1

oo

= llainlli2(0,i?)^ln + =1

OO OO j

a2

n / J II О; 1 n 11 ¿2 (0,i?) 1Я '

n=1

tl=\

tl=\

Пусть дана последовательность {Нт}, ограниченная по норме пространства J, т.е. существует такая константа С, что \\Нт\\^<С сразу для всех т, и в частности \\Нт\\2, пгу,:] < С и || rotЯm[|;!, < С. Из II Г01//т1|2 , , з

'(МЮ)3

(l2(v))3 < С следует, что

СЮ ОО j

Е11«)'1112(0,Д)А1П + Е|[7а'

я=1

п= 1

LMR)

А,п < С.

С помощью рассуждений, проведенных в работах [1114], легко установить, что из ограниченной в такой норме последовательности можно выделить подпоследователь-

оо

ность, фундаментальную по норме Е II

я=1

х|Мхпег,Я)№2(П№)))з| < оо; 4) (Н,%Ыв4фп)(Ыпт)1 =

где условие 2 включает в себя первое из условий (6), понимаемое в слабом смысле, а пункт 4 является формой условия излучения (7), образует некоторое функциональное пространство, которое всюду в дальнейшем будем обозначать как ¿Г.

Доказательство существования решения задачи

Определение. Решением Я задачи будем называть элемент пространства ¿Г, удовлетворяющий уравнению (16) при любом Я € ¿Г.

Имеют место два утверждения, доказательство которых проводится стандартными методами (см., напр., [9]).

Утверждение 2. Полуторалинейная форма а(Н,Й) задает скалярное произведение в пространстве J.

Утверждение 3. Пространство J является гильбертовым относительно нормы, порожденной скалярным произведением (Н\, Я2)J = а(Н\, Я2).

При исследовании вопроса о компактности вложения пространства J в (¿2(У))3 будем использовать метод, предложенный в работе Н. Века [10] для задачи об электромагнитном резонаторе и переоткрытый в работе [12] о дифракции в волноводе.

В силу сказанного выше из || rotЯra ет, что

KW))'

з < С следу-

ll^2nllI2(0,i?)A2n < С.

я=1

Докажем, что из ограниченной в такой норме последовательности можно выделить подпоследователь-

оо

ность, фундаментальную по норме Е ПТ1/г11|,2{0+

я=1

ОО

+ Е 1177Ш11!2(0,Д)Л1п-

я=1

С учетом (11) равенство (14) можно переписать в виде

А 2г.

lUrl vUr))LÀ0R) + (Шг)У. Шг)У)

¿2 (О,Я)

mn(ruur))l

Из

/¿.2 (Обусловил \Щт\\\2(у) < оо следует, что

||-^|||2(0,я) <00• А отсюда с учетом 7^ е Н1(0,Я) получаем 7™п(0) = 0. В точке г = Н выполнено условие 3-го рода

где р\п

А.

dr

ГЯ\/Аы+1/4

\r=R

(17)

Представим функции rff.ln(r) в виде rff.ln(r) = 7fn(r) — f\n(r), где fi„(r) = p- ^ exp((/9i„ - ¿)r). Нетрудно

видеть, что функции Д™(г) удовлетворяют граничному условию (17). В этом случае справедливо равенство

к2

А 2г.

г ' г

\п

Г / 12(0Л)

¿2(0, Ю

_ (от т $т\

~ \Р2п'1\п ~1\п)

¿2(0 Л)'

Проводя несложные преобразования, используя неравенство Коши-Буняковского, можно получить оценку

А1Я||(7Гя)'1112(0,Я) + А^

71«

¿2(0 Л)

«с

«с

4|И1^(0,й)11$!л1||2(0,й) + Тз~-

\и

С

Просуммируем это неравенство по п в пределах от N ■ до оо:

£ (а1Я||(7Гп)'1112(О,д) + А:

п=М+\

ТГ„ 2

¿2(0 Л)

«с

у/ЯН1,-(ЛЯ)

/х2п+1/У

„ , А2п А(./?и1__

г=й

«с

^ £ /Г'ЛЛ; йе<

7 Я1_

у/Х2„ + 1/4

(кг))

г=П

п= 1

у/ЯН\_(ЛЯ)

УЛ2П+1/4

|71я(Я)|2.

Для доказательства сходимости последнего ряда достаточно принять во внимание асимптотический рост по п выражения, стоящего в фигурных скобках, воспользовавшись утверждением 5, и применить неравенство Коши-Буняковского. Утверждение доказано.

Утверждение 7. Из любой последовательности, ограниченной в норме пространства У, можно выделить подпоследовательность, фундаментальную по полунорме

€

41И112(о,Я) £ \\Р2п\\12фл) + с £ тг ^

- »" < л=Л(+| 1»

«С

4Иг1|12(0,я)

п=ЛМ-1

оо

"¿2(0.«) \ 11 от 112 ,г

Т— Мп\\Р2п\\1,2фЛ) +С ТГ ^

ЛШ п=М+1 п=М+1

. 411Г1112(0,Д) и , ы „2

^ -. | ТО\Нт\\ ■

А

ш

с £

Выбирая достаточно большое N, можно сделать правую часть меньше любого заданного е. Для конечной суммы применима теорема Реллиха. Утверждение доказано.

Утверждение 5. Мнимая часть логарифмической производной функции у/г НУг^-^-щ(кг) на фиксированном сечении г = Я ограничена константой, а модуль действительной части при увеличении п растет как О (^А^) •

Доказательство этого утверждения нетрудно получить, воспользовавшись формулой Никольсона [15]

7Г

К0(2кг эЬ ш) СЬ (2у/\\п + 1/4 ьи) Лт

(см. также работу [13]).

Утверждение 6. Форма Ь(Н,Н) определена на элементах пространства J.

Доказательство. Очевидно, что полуторалинейная форма Ь(Н,Н) будет ограниченной тогда и только тогда, когда ограничена квадратичная форма Ь(Н,Н) ( [16, с. 308, 309]. Дальнейшее доказательство сводится к двум оценкам:

£хГ,т

(кг))

г=П

п=\

\п

X I (гей Хпег, Н)(12(ЩЩ)У>

^а(Н,Н) = \\Щ\1,

£

■ 1т <

Г=Й

п= 1

Ащ I у/ЯН\_(¿Я)

4 \/А2„+1/4

х (го1хпег,Н)(ь2(птуу\2-Дожазательство. Доказательство сводится к оценке

£ хГ,т

~РНХ,_

у/Х2„ + 1/4

(кг))

г=П

п=М+\

1 п

у/ЯН\_(ЛЯ)

у/Х2„+1/4 '

X I (гей Хпег,Нт)(12(ЩЩ)):'' |2 ^

«с

£

п=ЛМ-1

А

1 п

Ие<

Г=Й

у/ян1.-(кЯ)

у/Х2а+\/А

х \(то1хпег,Н)(ь2(п(Ю)у\2-

Утверждение доказано.

Утверждение 8. Из любой последовательности, ограниченной в норме пространства У, можно выделить подпоследовательность, фундаментальную по полунорме

п=\

у/ЯН1,-(ЛЯ)

г=П

А 2п

х Кт^в.фФп, Н)(Ь2(п(Й))У? ■

Дожазательство. Доказательство сводится к оценке

£ *

п=ЛМ-1

у/ЯН1.-(ЛЯ)

г=Й

А 2п

х \(ё^йв4фп,Н)(ь2тщ)у\

= £ *

п=ЛМ-1

\г=П

у/ЯН1,-(кЯ)

у/Х2а + \/А

А2п|71я(Я)|2.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Для окончания доказательства необходимо использовать свойства логарифмической производной функций Ханкеля, сформулированные в утверждении 5, и применить неравенство Коши-Буняковского. Утверждение доказано.

Объединяя утверждения 4, 7 и 8, получаем, что верно следующее утверждение.

Утверждение 9. Из любой последовательности, ограниченной в норме пространства У, можно выделить подпоследовательность, фундаментальную в норме \Ь(Н,Н)\.

При любом фиксированном Я форма Ь(Н,Н) есть линейный непрерывный (так как ограниченный) функционал. По теореме Рисса для векторов Я £ J и Я £ J он представим в виде скалярного произведения, определенного в J, т. е.

Ь(Н, Н) = а(АН, Я),

где А - ограниченный оператор, действующий из ¿Г в ¿Г. Форма /(Я) есть также линейный непрерывный функционал, поэтому существует такой элемент Р € ¿Г, что для всех Я будет выполнено равенство

/(Я) = а(Р, Я). В результате уравнение (16) примет вид

а(Н, Я) + а(АН,Н) = а(Р,Н). (18)

Поскольку Я произволен, то можно записать (18) в виде Н+АН = Р. (19)

Докажем, что оператор А компактен.

Утверждение 10. Оператор А компактен.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим последовательность векторов {Нт\ £ J, такую, что Ут ЦЯдаЦ^- < С. Докажем, что из последовательности {АНт\ можно выделить подпоследовательность, фундаментальную в норме ¿Г. Доказательство этого утверждения следует непосредственно из предыдущей теоремы, так как

\\АНт — АНь 11 = а(АНт — АН^, АНт —АН=

= Ь(Нт^Нк,АНт^АНк). (20)

По предыдущему утверждению, учитывая ограниченность А, выбором достаточно больших тик правую часть (20) можно сделать меньше любого заданного е. Следовательно, оператор А компактен. Утверждение доказано.

Таким образом, получаем, что задача для уравнения (16) сводится к фредгольмово разрешимой.

В результате для исходной задачи доказано следующее утверждение.

Утверждение 11. Исходная задача дифракции в конусе сводится к фредгольмово разрешимой.

27

Теперь докажем существование решения этой задачи. Для этого достаточно показать [16], что любое решение однородного уравнения

Н + А*Н = 0 (21)

ортогонально правой части F уравнения (19). Справедливость уравнения (21) означает, что УЯ £ J

а(Н, Я) + Ь(Н,Н) = 0.

Следовательно,

lmb(H ,Н) = 0.

Это означает, что

Мхпег,Я)№2(П№)))з = 0 V«.

А тогда

a(F, Я) = /(Я) = /(Я)(rot хпвг, Н)штШ = 0,

где f(R) — значение известной функции в точке r = R.

Применяя соответствующую теорему Фредгольма, получаем требуемое утверждение.

Утверждение 12. Решение задачи для уравнения (19) (а значит, и исходной задачи дифракции) существует.

Список литературы

1. Свешников А.Г. // ДАН СССР. 1950. 73, № 5. С. 917.

2. Свешников А.Г. // ДАН СССР. 1951. 80, № 3. С. 345.

3. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М., 1991.

4. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. // Алгебра и анализ. 1993. 5, № 1. С. 143.

5. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. Ж., 1974.

6. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М„ 1973.

7. Гилбаре Д., Трудитер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. т., 1989.

8. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1981.

9. Делицын А.Л. // Дифференциальные уравнения. 2004. 40, № 2. С. 198.

10. Veck N. Ц J. Math. Anal. Appl. 1974. 46. P. 410.

11. Делицын А.Л. // Доклады РАН. 2004. 398, № 3. С. 310.

12. Делицын А.Л. // Дифференциальные уравнения. 2005. 41, № 3. С. 393.

13. Делицын А.Л. // Дифференциальные уравнения. 2005. 41, № 8. С. 1.

14. Делицын А.Л. // Известия РАН, серия математическая. 2007. 71, № 3. С. 61.

15. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М., 1949.

16. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., 1965.

Vector functional spaces related to the electromagnetic diffraction problem in a conical domain and their properties

I. A. Balantsev", A. L. Delitsyn

Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomotiosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: " [email protected].

Special vector functional space is defined for a weak formulation of diffraction problem in a cone. For this space, a number of embedding theorems are proved. It is shown also that the diffraction problem is reduced to the Fredholm equation.

Keywords: functional analysis.

PACS: 02.30.Sa.

Received 15 September 2008.

English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2009).

Сведения об авторах

1. Балаицев Илья Анатольевич — аспирант; e-mail: [email protected]..

2. Делицьш Андрей Леонидович — д. ф.-м.н., доцент; тел.: 939-10-33.