Векторная теория высших мод параллельных волноводов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 23 (62). 2010 г. № 3. С. 54-63

УДК 535:52-626:681.7. 068.2

ВЕКТОРНАЯ ТЕОРИЯ ВЫСШИХ МОД ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВОЛНОВОДОВ Алексеев К.Н.1, Яворский M.A.1, Боклаг Н.А.12

1 Таврический Национальный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь, Украина

2 Национальный центр управления и испытаний космических средств, Евпатория, Украина

E-mail: с. alexeyeVa yandex. ua

Рассмотрена структура гибридных мод высших порядков двух идентичных слабо взаимодействующих связанных оптических волокон. Вычислены спектры поляризационных поправок. Ключевые слова: моды связанных оптических волокон, перекрестная связь, связанные моды.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение распространение света в системе связанных волокон берет начало от классической работы Джонса, в которой были введены уравнения для связанных мод [1]. Последующие исследования связанных волокон, в основном, ограничивались практически значимыми случаями одномодовых волокон [2, 3]. Задача о структуре мод высших порядков в связанных волокнах рассматривалась лишь в одной работе, где изучались предельные случаи близко и далеко расположенных волокон [4]. Такая разница в количестве внимания, уделенного изучению фундаментальных мод и мод высших порядков, объясняется потребностями систем оптоволоконной связи, которые до недавнего времени преимущественно касались передачи информации по мономодовым волокнам.

Прогресс, достигнутый в коммуникационной и информационной оптике, привёл к необходимости изучения переноса информации особыми состояниями с определённым орбитальным угловым моментом, известными как оптические вихри (ОВ) [5]. Известно, что такие поля относятся к высшим модам семейства решений уравнений Максвелла в волноводах. В частности, эти состояния, определяемые азимутальным углом р посредством множитель exp(ilp) , где l = ±1, ± 2..., могут

возникнуть только в случае |l| > 1 мод волокна [6]. Вопрос о модах высших

порядков в связанных волокнах является важным для изучения туннелирования ОВ в оптических разветвителях [7-9].

В связи с этим целью данной работы является решение задачи об определении высших мод двух идентичных связанных слабонаправляющих оптических волокон с учётом спин-орбитального взаимодействия.

1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И УРАВНЕНИЕ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Будем решать задачу о связанных волокнах по теорией возмущения с вырождением. Согласно этому подходу, векторное волновое уравнение для e^ имеет вид [10]:

V2 + к2п2 (X,у) et (X,у) + (е^ • Vt 1пп2) = р1е1 (х,у)

(1)

где п показатель преломления, к волновое число в вакууме, Vt = (д / дх, д / ду) и р

постоянная распространения. В случае двух параллельных волокон оно может быть записано в эквивалентной форме уравнения на собственные значения [11]:

(Т + к2п2 + V/ + Vr + Н8о1 + Н50гГ = в\ , (2)

2 2 2 — гДе Т = Vt , V/,r = 2к2п20дг)Л/(г)// (г)(X,у)' пСо(с1) - показатель преломления

сердцевины и оболочки левого (правого) волокна, соответственно, Л/(г) = (пС0 - п2с1 )/2пСо и / = в(1 - г / го), в - функция Хевисайда и го - радиус сердцевины. Оператор Н$0 отвечает за спин-орбитальное взаимодействие в оптоволокне [6]. Чтобы получить структуру мод, необходимо построить матрицу полного оператора в левой части (2) в базисе решений скалярного уравнения для отдельных волокон. Эти векторные функции могут быть представлены в виде

матрицы | ^ = ц/

(п..\

1у

где п

х, у

компоненты некоторого вектора,

нормированного на единицу. Здесь ц имеет левую либо правую локализацию (которую мы будем обозначать через ц/(г) и подразумевать, что она зависит от

цилиндрических координат, связанных либо с левым, либо с правым волокном) и удовлетворяет уравнению

^ + к 2 пг{1)

= в 2

цг(/) ~вг(/)цг(/),

(3)

где п2(/) = п2соЛ1) (1 -2Лг(/)/г(/)(х,у)) и / = в(г/го -1). при 1 * 0 существуют

четыре собственные функции ц, принадлежащие одному и тому же значению р^,

поэтому полный базис должен состоять из восьми лево- или право-локализованных собственных функций. Для таких скалярных решений удобно выбрать состояния с хорошо определёнными орбитальными угловыми моментами: цж F/ (г)ехр(//^), где

радиальная функция р (г) удовлетворяет уравнению [10]:

д2 1 д /2 , 2 2 , ч

+----у + к2п2 (г )

дг 2 г дг г 2

Р ( г ) = Щ Р ( г ) .

/

(4)

Известно, что такие решения представляют собой оптические вихри [5, 6]. В

линейном базисе |е) = явном виде как [6]:

еу

собственные функции Т) могут быть записаны в

(1 1

VгаJ

-к, ,>,

(5)

где а = ±1 определяет знак круговой поляризации и I может быть отрицательным. Следует помнить, что в циркулярном базисе, определяемом посредством

е± = ех + ¡ву, поля (5) при а = 1 содержат столбец (0^, в то время как при а = -1

они пропорциональны столбцу ^• При этом полный базис при I ф 0 содержит восемь векторов, на которых может быть построена матрица полного оператора:

Ц = |1,1,Ь), |2) = 11,-1,Ь), = |—1,-1,Ь), = |—1,1,Ь) ,

= 11,1,Я), = 11, — 1,Я), |7) = | —1, —1,Я), |в) = |—1,1,я), (6) где третий индекс показывает локализацию соответствующей скалярной функции. Матричные элементы матрицы Н, полного оператора строятся как

Ну = {¡Н^}, где:

х 1

dS.

(7)

(фМ=я(фХ ФУ )

^ 'V УJ

Для упрощения вычислений сделаем ряд стандартных предположений [11], позволяющих получить матрицу Н1:

Н1 =

(р1 Ql Я, р1.

л

(8)

где блоки имеют вид:

Р1 =

Г Л, 0 0 0 1 Гс 0 01

0 в 0 в5п , Ql = Dl С1 0 0

0 0 Л1 0 0 0 С1

0 V в151,1 0 в1 J V 0 0 С, J

(9)

где дельта Кронекера и суммирование по I не предполагается. Матрица Р}

I

определяет структуру мод идеальных волокон [6], в то время как Ql описывает связь между волокнами. Для волокна со ступенчатым профилем имеем [6]:

Л, = — F?)|я=,, в = + )|я=,

в, = — ЛI при I > 1.

(10)

Здесь R = г / Г) и коэффициент нормировки: NI = 2пт2 / RF| (R)dR • Легко показать,

что постоянные взаимодеиствия равны:

1 Кп+1

2 2 2 1п=1 I R

Сг = 2к п^г^кЫТ £ СПЛ1 —п | cos Г(/ - -г~К^г (К).// ^^, (11)

п=0 1 0 0 К

2 2 2 -1 п=1п п 2п 1 К-п+1

Dl = 2к«¿^АЫ X С/Лп | cos[(2/ - -—К(К)¿1 (, (12)

п=0 1 0 0 К

где К2 = К2 +Л2 + 2ЛКсоъф, Л = L/Г0 и L - расстояние между центрами волокон, К - модифицированная функция Бесселя, ¿1 - функция Бесселя, СЩ -

биномиальные коэффициенты. Графики интегралов перекрытия (11), (12) показаны на рис. 1.

Рис. 1. Зависимость постоянных взаимодействия С1 и Dl от расстояния Ь между центрами волокон для мод с азимутальными числами I = 1 (а) и I = 2 (б);

V = 4.2, А = 10 , Г0 = Ю^Не—Ые - Пунктирная линия показывает постоянные, характеризующие спин-орбитальное взаимодействие. По оси х используется логарифмическая шкала.

Очевидно, что влияние спин-орбитального взаимодействия существенно только в тех областях, где его постоянные А^, В^ сравнимы или больше, чем постоянные

взаимодействия С1 и Dl. В остальных областях применимо скалярное

приближение, и необходимость учитывать градиентный член в волновом уравнении (1) отсутствует.

2. ГИБРИДНЫЕ МОДЫ СВЯЗАННЫХ ВОЛОКОН

Как известно, структура мод определяется решением задачи на собственные значения матрицы Н/ :

Н^/ = 1x1, (13)

где компоненты х^ собственного вектора x/ определяют вид соответствующей моды ¥: ¥) = 2 |Л . Здесь Ц берётся из (6). Спектр X даёт поляризационные

поправки 5/3^ к скалярной постоянной распространения [10]: 5/3^ = Х\ ¡2/3.

Используя хорошо разработанные методы [12], можно получить аналитические выражения для гибридных мод связанных волокон.

Примечательно, что их структура не зависит от значения /. Нормированные на единицу моды имеют следующий вид:

\т) =(1 -13) -15) + 17>} + (12 -14> -1 «> +18} •

¥2/ =(1 -13} -15> +17}-2С°8% (12 -14> -16) +18} •

щ) = 2с°8%2/ (1 н 3; Ч5! -17>} + 2^2/ (12 + 14) -16 Ч 8},

¥4/) =281п%/ (1 +1 З) -15> -17 }-^1СО8%2/ (|2) +14; - |б >-18 }•

¥51) =2с°%З/ (1 >-| 3; ) + | 5) -17 }+^з/ (12 -14} +16) -18} •

¥61) =(1 -1 З> + 15> -17}-"1 С°8%з/ (|2) -14} +16) -18} •

¥ц) = 2с°864/ (1 >+| 3; >+| 5; + 17>} + ^п^/ (|2 + 14) +16 )+18},

¥81) = 281п64/ (1 +13} + 15> + 17}- 1с°8% (|2 + 4/ +16 ) +18}. (14)

Управляющие коэффициенты зависят от /. При / = 1 имеем:

1

, А % sgn(-Д])

1 - V с°%1 =

1 + А

Щ

. . 1 А - 2В1 % sgn(-Д1)

81п вц = 81п О31, с°8 вц = - с°8 О31,

1 +

А1 - 2 В1

Я

2

sm02l = вт&ц, cosд21 =-cosд4l. (15)

Здесь Rl = ^¿А^Т^О]2, R2 = ^¡(А^—^В^^^Т^О]2. Очевидно, что есть только

два управляющих угла (дц и $21), определяющих модовую структуру.

Зависимость модовых коэффициентов при I = 1 от расстояния между волокнами показана на рис. 2.

Й

© 0.8 • «

и

ЕЯ

о О о

<и "О

о

0.6 0.4 0.2

I иш9]]/ -----'

- -С08й21 -

- мт021 -

- С 05 0]\ -

-

3

Ь_ >0

Рис. 2. Зависимость управляющих коэффициентов (15) для азимутального

—з

числа I = 1 от расстояния между центрами волокон L; V = 4.2, Д = 10 , г0 = 10 ДНе - Ые .

При I > 1 ситуация ещё проще - есть только один управляющий угол, определяющий модовую структуру:

1

*пдИ =Т2

1 -

А

у1а 2+О2

д О)

сод =

\

1 +

А

и2+О 2

sinдll = sinд2l = sinдзl = sinд4l, cosдll = cosд2l = - cosдзl = - cosд4l. (16) Графики управляющих коэффициентов как функций Ь для некоторых I > 1 показаны на рис. 3.

Поляризационные поправки к скалярным постоянным распространения ^ при I = 1 имеют вид:

80122 = ^ (А1 - 2С1 ± ); 8з,4 = -^т (А1 + 2 В1 - 2С1 ± ^ );

2 Р1 2Р1

85,6 = ^^Г (А1 + 2С1 ± ); 87,8 = (А1 + 2В1 + 2С1 ± R2 ) . (17) 2 Р1 2Р1

Графики этих поправок как функции Ь показаны на рис. 4.

Рис. 3. Зависимость управляющих коэффициентов (16) для азимутального

числа I = 2 от расстояния между центрами волокон L; V = 4.2, Д = 10 г0 = 10ХНе-Ше .

-3

а) б)

Рис. 4. Зависимость поправок 5^1 к скалярной постоянной распространения от

расстояния между центрами волокон Ь (а). Показаны только четыре постоянные распространения, так как оставшиеся четыре почти в точности совпадают с указанными. Рисунок (б) демонстрирует разницу между близко расположенными

постоянными распространения; ДД- £ = 5/3^ - ; V = 4.2, Д = 10

-3

г0

= 10Х

Не-Ше.

Очевидно, что для / = 1 мод связанных волокон вырождение отсутствует. Следует заметить, что в идеальных волокнах при / = 1 один из энергетических уровней остаётся дважды вырожденным и соответствует ОВ и |1, -1^. В

связанных волокнах это остаточное вырождение снимается скалярным спариванием, как показано в (17). При / > 1 вырождение возникает снова:

5*1,2 = 5вз,4 = ^ {-С/ ±>/А/2 + Д/2 ), 5в5,6 =567,8 = ^ [С/ А/2 + Д/2 ) .

(18)

Спектральные кривые для данного случая представлены на рис. 5.

Рис. 5. Зависимость поправок 8в к скалярной постоянной распространения для I = 2 мод от расстояния между центрами волокон L . Заметьте, что каждая

_3

постоянная распространения является дважды вырожденной; V = 4.2, Д = 10 ,

г0 = 10Н _ Ыв .

Интересно исследовать структуру мод (14) в некоторых предельных случаях. Как следует из рис. 2, для далеко расположенных волокон интегралы перекрытия значительно меньше, чем постоянные спин-орбитального взаимодействия отдельных волокон: С1, Dl << А1, В1. В этом случае моды представляют собой

симметричные и антисимметричные комбинации стандартных мод левого-правого волокон.

Другой предельный случай касается близко расположенных волокон, где постоянные спин-орбитального взаимодействия намного меньше интегралов

перекрытия: С1, Dl >> А1, В1. В пределе имеем: = |со$0г| = -^=. В базисе

линейных поляризаций, отмеченных нижним индексом '7", получаем следующие выражения при I = 1:

Г11 I о);

¥1,6 /1 а [ Р1 (1) т+(т) т]

¥2,5)I а )сот + р1(т)cosnR]

¥3,8) 1 а[ ) т+(т) sin т]

¥м)1«[ Fl(rL )сот + р1(т )сот]

Го 1

V1/

Г о 1

1);

Г1 1

V 0 У

(19)

Как следствие, моды являются симметричными и антисимметричными комбинациями LP -мод. Для произвольного l следует сделать следующую замену: р ^ lp, F ^ Fi. Очевидно, что выражения (19) будут также справедливы для

произвольного расстояния между волокнами, если пренебрегать спин-орбитальным взаимодействием, что соответствует скалярному приближению. Хотя этим взаимодействием, вообще говоря, пренебрегать нельзя, для многомодовых волокон с небольшими значениями постоянных спин-орбитального взаимодействия область, в которой справедливы выражения для мод в скалярном приближении (19), значительно расширяется.

ВЫВОДЫ

В данной работе мы изучили структуру гибридных мод высших порядков двух связанных слабонаправляющих идентичных оптических волокон, которые возникают благодаря взаимному эффекту спин-орбитального взаимодействия внутри волокон и псевдоскалярной связи между полями этих волокон. На основе теории возмущения с вырождением для векторного волнового уравнения получены выражения для мод с азимутальными числами l > 1. Вычислены поляризационные поправки к скалярным постоянным распространения для широкого диапазона расстояний между волокнами. Показано, что в предельном случае близко расположенных волокон выражения для мод переходят в известные комбинации линейно поляризованных чётных и нечётных мод отдельных волокон. Полученные результаты могут быть использованы для изучения тунеллирования оптических вихрей в прямых разветвителях и в вопросах, связанных с информационной безопасностью.

Список литературы

1. Jones A.L. Coupling of optical fibers and scattering in fibers / Jones A.L. // J. Opt. Soc. Am. - 1965. -V. 55. - pp. 261-271.

2. Selected papers on coupled-mode theory in guided-wave optics / ed. Hall D.J. - SPIE Milestone series, MS 84. - SPIE Optical Engineering Press, 1993.

3. Black R.J. Optical waveguide modes / Black R.J. and Gagnon L. - Mc Graw Hill, New York, 2010.

4. Snyder A.W. Modes of optical waveguides / Snyder A.W. and Young W.R. // J. Opt. Soc. Am. - 1978. -V. 68. -pp. 297-309.

5. Optical Vortices (Volume 228 in Horizons of World Physics) / eds. Vasnetsov M. and Staliunas K. -Nova Science, Huntington, N.Y., 1999.

6. Volyar A.V. Fiber singular optics / Volyar A.V. // Ukr. J. Phys. Opt. - 2002. - V.3. - pp. 69-96.

7. Volyar A.V. Tunnelling selection of optical vortices / Volyar A.V. and Fadeeva T.A. // Tech. Phys. Lett. - 2003. - V. 29, No. 7. - pp. 594-597.

8. Volyar A.V. Vectorial topological dipole in output radiation of a fiber optical coupler / Volyar A.V. and Fadeeva T.A. // Tech. Phys. Lett. - 2004. - V. 30, No. 7. - pp. 553-556.

9. Fadeyeva T.A. Polarization metrology of the tunnel vortex selection / Fadeyeva T.A. and Polyakov O.V. // Proc. SPIE. - 2004. - V. 5582 - pp. 278-286.

10. Snyder A.W. Optical waveguide theory / Snyder A.W. and Love J.D. - Chapman and Hall, London, New York, 1985.

11. Alexeyev C.N. Effect of the spin-orbit interaction on polarization conversion in coupled waveguides / Alexeyev C.N., Alexeyev A.N., Boklag N.A., Yavorsky M.A. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2009. -V. 11 - P. 125404.

12. Horn R.A. Matrix analysis / Horn R.A. and Johnson C.R. - Cambridge University Press, Cambrigde, New York, 1985.

Алексеев К.М. Векторна теорiя вищих мод паралельних хвильоводiв / Алексеев К.М., Яворський М.О., Боклаг Н.О. // Вчет записки Тавршського нацюнального ушверситету iM. В.1. Вернадського. Серiя: Фiзико-математичнi науки. - 2010. - Т. 23(62), №3. - С. 54-63. Розглянуто структуру пбридних мод вищiх порядюв двох iдентичних слабо взаемоджгах зв'язаних оптичних волокон. Розраховано спектри поляризацiйних поправок. Kmwei слова: моди зв'язаних оптичних волокон, перекрестний зв'язок, зв'язанi моди.

Alexeyev C.N. Vector theory of higher order modes of parallel waveguides / Alexeyev C.N., Yavorsky M.A. and Boklag N.A. // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vemadsky University. - Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2010. - Vol. 23(62), No.3. - P. 54-63.

It is studied the structure of hybrid higher order modes of two coupled weakly guiding identical optical fibres.

The spectra of polarization corrections are calculated.

Keywords: modes of coupled optical fibres, cross-talk, coupled modes.

Поступила в редакцию 11.11.2010 г.