CC BY
9Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 24 (63). 2011 г. № 2. С. 47-57
УДК 535:52-626:681.7. 068.2
ВЕКТОРНАЯ ТЕОРИЯ ВОЛОКОННЫХ РАЗВЕТВИТЕЛЕЙ ОПТИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ Алексеев К.Н.1, Боклаг Н.А.12, Яворский M.A.1
1Таврический Национальный университет имени В.И.Вернадского, Симферополь, Украина
2Национальный центр управления и испытаний космических средств, Евпатория, Украина
E-mail: alexeyev@ ccssu. crimea ua
Рассмотрена эволюция циркулярно поляризованных оптических вихрей в системе двух связанных оптических волокон. Показано, что при распространении оптических вихрей они туннелируют в соседнее волокно в виде сложной суперпозиции оптических вихрей, включающей также вихри противоположной поляризации и топологического заряда. Продемонстрировано, что возможно туннелирование начального оптического вихря в другое волокно без изменения состояния вихря. Ключевые слова: волоконно-оптический разветвитель, оптический вихрь, сингулярная оптика, связанные оптические волокна, параллельные волноводы.
ВВЕДЕНИЕ
Устойчивый интерес к вопросу о распространении оптических вихрей (ОВ) в оптических волокнах в значительной мере обусловлен тем, что, будучи состояниями с выраженным орбитальным угловым моментом (ОУМ), ОВ находят в настоящее время все большее применение при кодировании информации и её передаче [1-3]. Так как передача состояний с ОУМ может производиться по оптическим волокнам и волоконным массивам [4-7], желательно иметь возможность каналирования ОВ в связанных волокнах. В основном это можно осуществить, используя волоконно-оптические разветвители. Вопрос о туннелировании оптических вихрей в связанных оптических волокнах рассматривался в ряде работ А. Воляром и др. [8-10]. В этих работах, однако, не была правильно учтена связь мод высших порядков в параллельных оптических волокнах, что сделало невозможным теоретически предсказать точную картину туннелирования оптических вихрей. В связи с этим целью данной работы является теоретическое изучение туннелирования оптических вихрей в связанных оптических волокнах, основанное на точной векторной теории их мод высшего порядка [11,12].
ТУННЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ В СВЯЗАННЫХ ВОЛОКНАХ
Существуют два основных подхода к задаче об эволюции состояния, созданного на входе одного из связанных волокон. Первый из них состоит в получении системы дифференциальных уравнений относительно амплитуд связанных мод [13]. Другой подход основан на нахождении собственных мод системы, по которым может быть разложено любое начальное поле на входе [14]. При решении задачи о туннелировании ОВ мы будем придерживаться последнего метода.
В качестве модели рассмотрим два параллельных оптических волокна бесконечной длины (см. Рис. 1).
Рис. 1. Геометрия связанных волокон. Кривые схематически показывают распределение интенсивности парциальных ОВ.
Как установлено в [11,12], структура гибридных мод высших порядков связанных волокон определяется следующими выражениями:
ки) =^^Ц {11 -1 з -15) +17}+{| 2 -14> -16 +18} •
\w2li , = {11 -| 3 -15} +17}- {| 2 -14) -16 +13} •
|к31> = \cos02i {11 + 1з; -15) '-17 }+^¡п^ {12) ■ + 14) >-18} •
|ки) = {11 + 13 -15) -17}- {| 2 1+| 4; |-| 6; )-18 }•
|к51> = 2с08^1 {11 -13 1+ 5) 1-17}+{12 -14> +16) -18 }•
кб1> = {11 -13 +15 -17}-¿«»^ {| 2 -14> +16) -18} •
к71> = ^«И {Ц + | 3 1+ 5) 1 + 11}+|Яп641 {|2) ' + 14) :+| 6; >+18} •
к81> = ^¡п^М {Ц + | 3 + 15> + 17 }-{12 . + | 4) '+16; >+| 8}.
Здесь кет-вектор ^ определяет лево- или право-локализованные
оптические вихри о
, 0 = Fl (г )е^
Г 1 ^
V О
(1)
(тут подразумевается использование
цилиндрических координаты (Г,ф, г)) и представлен в базисе линейных
поляризаций \в) =
еУ
следующим образом:
Ц = |1,1,Ь), = |1, -I, Ь), 15=11,I,Я), =|1,-},я).
3 = -1, -I, ь
4 = -1, I, ь
7 = -1, -I, я
8 = -1, I, Я). (2)
При такой записи с = ±1 определяет знак круговой поляризации. При этом радиальная функция Fl (г) удовлетворяет стандартному уравнению [14]. При орбитальном числе I = 1 модовые коэффициенты имеют вид:
1
1 А „ - О])
1+А1.
. # 1 , А - 2
—ЯГ"
^ = ^ + ^
s,n #ц = ,,п #31, со, = - со, #31, зт#21 = ,,п#41, соБ#21 =-со, #41,
(3)
у!(А1 - 2В1)2 + 4О>12
I 2 2
где «1 = л/ А1 + 4О>1 , «2 = л/ (А1 - 2В1) + 4О1 Константы спин-орбитального взаимодействия в случае волокон со ступенчатым
профилем показателя преломления имеют вид: А1 = "^у-(F}F¡ - FJ2«=1 ,
показателя
В1 = 2пПа (F'F'' + F'2 ) |«=1, В1 = -А1 а1 I > 1, где А - высота профиля : N1 ' '
преломления и Я = г/Го, где Го - радиус сердцевины. Коэффициент нормировки
равен: N1 = 2жг{о | RFl (R)dR . При I > 1 имеется только один управляющий 0
угол, определяющий структуру мод:
1
А} 1 —1-Я}
со, #} =
ЗБп(-О} )
л/2 ^
А} Я}
,,п #1} = ,,п#2} = ,,п#з} = ,,п#4},
со,#1} = со, #2} = - соб#З} = - со, #4},
(4)
где Щ = >/ А}2 + О}2
Поляризационные поправки к скалярным постоянным распространения для этих мод при l = 1 равны:
83,4 = ^ (А1 + 2В - 2С1 ± ^);
807,8 = ^ (А + 2В + 2С1 ± R2 ) . (5) 85,6 =87,8 = ^(С ± Rl) . (6)
Выражения для постоянных и С^ приведены в работах [11,12].
Для изучения эволюции в связанных волокнах произвольного поля | ф следует разложить его на входе системы (г=0) по модам : |Ф = ^к11к^) ■ Последнее
81,2 = 21Г (A - 2C1 ± R1);
85,6 = ^ (A + 2Q ± Ri);
При l > 1 имеем:
81,2 =83,4 = el("Cl ±Rl) =
равенство дает систему уравнений для определения к^ . Эволюция | ф в связанных волокнах будет определяться как: |Ф(г > 0)) = ^ к^ |к/) ехр(//?/'г), где в -
постоянная распространения /-ой моды. Наиболее интересен случай эволюции циркулярно поляризованных ОВ: ст, Í) -\CV¡ZnG). Для определённости в
качестве исходного состояния | Ф(z = 0)^ выберем лево-локализованный ОВ 11 . При l=1 можно получить следующее выражение для поля в волокнах:
CV+ (z) = 11 cos CzP++\2 sin CzQ+-13 cos CzP--\4) sin CzQ-
A A A A
+ 13 i sin C^P+-\ 6) i cos <C£q+-\ 7) i sin ClzP-+\8 i cos ClZQ-, (7)
I / д + I / д I / д | / д * > ^
где P±= 2( P ± P2) и
Riz л . Riz
Pi = cos—+ i cos 2m i sin —, 1 2 $1 11 2 $1
R?z „ . R?z4 , B\z^
P2 = (cos—+ i cos 2O21 sin —) exp(i ), 2 2 g1 21 2 g1 g1
Q±=2
• R\z . „ . R2z B-iz sin 2&11 sin —g- ± sin 2^21 sin —2=— exp(i —h—) 2/?1 2/?1 P1
(8) (9)
i
I |2
Очевидно, квадраты модулей коэффициентов разложения \кА = А^ представляют интенсивность соответствующего парциального оптического вихря.
Рис. 2а. Зависимость квадратов модулей коэффициентов разложения А-\ при } = 1 от длины г при расстоянии между центрами волокон Ь = 5го . V = 4.16,
А = 10-3 , го = 10ЛНе-№ .
Как следует из численных расчётов, картина эволюции моды будет относительно простой только в случае сильно разнесенных волокон (Рис. 2а). При уменьшении расстояния между волокнами возникает явление туннелирования лево-
локализованного ОВ |1,1 в право-локализованный ОВ |1, -1 . Этот "паразитный"
процесс уменьшает эффективность туннелирования ОВ. Пока г невелико, ОВ не туннелирует в состояния с противоположной циркулярной поляризацией (Рис. 2б).
При дальнейшем увеличении г ОВ практически полностью переходит в состояния с противоположной поляризацией и оказывается связанным с лево- или право-локализованными ОВ |-1, При меньших расстояниях между волокнами
(Рис. 2в) результаты теории в целом являются менее надёжными по причине усиления роли процессов туннелирования ОВ в состояния с высшими азимутальными числами которые в данной теории не учитываются.
Рис. 2б. Зависимость квадратов модулей коэффициентов разложения А^ при } = 1 от длины г при расстоянии между центрами волокон Ь = 4го. V = 4.16,
-3
А = 1о 3, го = ЮЛне-^ .
Приведенная сложная картина эволюции амплитуд объясняется существованием двух разных характерных длин, связанных с различными физическими механизмами изменения углового момента. Первая группа длин
Л в Л в й И
Л1 = — и Л 2 =- относится к межволоконной связи. Известно, что исследуемая
С1 °1
система обладает некоторой эффективной эллиптичностью [14]. Константы О^, С}
управляют туннелированием состояний с ОУМ между волокнами. Роль константы В1 заключается в управлении изменением поляризации поля: изменении общей
циркуляции наблюдается на длине порядка Л3 = в . Это можно показать
3 В1
аналитически: при С[, D >> А1, В квадраты модулей амплитуд А/, стоящие при модах | к/) в (7), можно привести к следующему виду:
4 Left -localized OVs
0.2 0.4 06 0.8 1
z,m
Ai Right-localized OVs
0.2 0,4 0.6 o.s 1
zjn
Рис. 2в. Зависимость квадратов модулей коэффициентов разложения А/ при l = 1 от длины г при расстоянии между центрами волокон Ь = 3го . V = 4.16,
-3
А = 10 3, го = 10ЯНе-Ые .
2 C1z 2 Az 2 Biz 2 C1z 2 D1z 2 Biz
A = cos —1—cos —1—cos A = sin -^sin -^cos
1 A fi1 2fi1 2 fl fl 2fi1
= ™Л C1Z„2 D1z • 2 B1z . , • „2 C1z •2 D1z •2 B1z .
A = cos —1—cos —^—sin ——. a
3 А A 2 /?1 4
Cz о Diz о Biz
Cz о Diz о Biz
A = sin —1— sin —1— sin2
• 2 C1z 2 D1z 2 B1z a 2 C1z • 2 D1z 2 B1z
- = cos2 ^^sin2 ^^cos2
A5 = sin cos cos —— ; A 5 A 01 2P1 6 Cz 2 Diz 2 Biz
А A 2/?1
Cz О Dz О Bz
-^2 C1Z 2 D1z •2 B1z , _ 2 C1Z:„2 D1z • 2 B1
A7 = sin cos
A 01 2P1 Cz 2 Dz 2 Bz
01 01 2 P1
A8 = cos2 ^ sin2 ^ sin2 (10)
8 01 01 2 P1
Учитывая, что Лц 2 << Л3, можно качественно объяснить поведение кривых на Рис.2б-2в.
На меньших расстояниях картина осцилляций становится практически хаотичной (Рис. 2б,в). Однако даже в этом случае можно подобрать такую длину волокна z, чтобы совершился более или менее эффективный переход вихря в другое волокно, хотя достичь при этом стопроцентной эффективности туннелирования невозможно. Эффективность туннелирования в то же самое состояние повышается крайне медленно и конкурирует с туннелироваием в состояние с противоположным топологическим зарядом |l, — l) . Это свойство
можно использовать в тех случаях, когда необходимо добиться обращения заряда ОВ. Более эффективный переход вихря можно получить на расстоянии ~ 0.1m. Длина туннелирования в этом случае должна быть наименьшей.
Ситуация упрощается для случая туннелирования ОВ высших порядков. Распространение поля описывается как:
CV+ (z) = |1) P cos + | 2 Qi sin + | 5 ip sin ^ — I 6 iQl cos Sf, (11)
Pi Pi Pi Pi
Riz Riz Riz
где Pi = cos—=— + i cos2#1i sin —=— и Q¡ = sin2#n sin^—. Как следует из этого
Pi Pi Pi
результата, в этом случае не происходит туннелирование в состояния с противоположной поляризацией. В частном случае слабого спин-орбитального взаимодействия Di >> Ai квадраты модулей амплитуды вычисляются как:
Л 2 Ciz 2 Diz л • 2 Ciz . 2 Diz
A. = cos2 —i— cos2 —í— ; A0 = sin2 sin2 ;
1 Pl Pl 2 Pl Pl
2 Cz 2 Diz 2 Cz 2 Diz
A5 = sin2^- cos2 —í— ; A6 = cos2^- sin2^- . (12)
5 Pl Pl 6 Pl Pl
Зависимости Aj при различных значениях L показаны на Рис. 3. Случай малых L относится к доминированию внутриволоконных связей и описывается формулами (12).
Мы не рассматриваем случай, когда в волокне возбуждается ОВ со спином и
топологическим зарядом противоположных знаков - скажем, ОВ 11,—1) . Как
известно, такие ОВ не принадлежат к собственным модам идеального волокна и при распространении в волокне распадаются на TE и TM моды [15]. По той же причине мы исключили из рассмотрения линейно поляризованные ОВ.
Рис. 3. Зависимость квадратов модулей коэффициентов разложения А^ при } = 2 от длины г при расстоянии между центрами волокон: Ь = 5го; Ь = 4го;
-3
Ь = 3го соответственно. V = 4.16 , А = 1о , Го = 1оЛ-не-N ■ ВЫВОДЫ
В данной статье исследовано распространение циркулярно поляризованных оптических вихрей с совпадающими по знаку поляризацией и топологическим зарядом, возбужденных на входе одного из двух связанных оптических волокон. Показано, что при распространении такие оптические вихри туннелируют в соседнее волокно как сложная суперпозиция оптических вихрей, которая включает
также вихри с противоположной поляризацией и топологическим зарядом. Показано, что на некоторых расстояниях начальный оптический вихрь туннелирует во второе волокно без изменения состояния, но с меньшей энергией. Такой эффект туннелирования может быть использован для создания разветвителей оптических вихрей. Эффективность разветвления увеличивается для далеко расположенных волокон и никогда не достигает ста процентов.
Список литературы
1. Gibson G. Free-space information transfer using light beams carrying orbital angular momentum / Gibson G., Courtial J., Padgett M. et al. // Opt. Expr. - 2004. - V. 12. - p. 5448-56.
2. Bouchal Z. Mixed vortex states of light as information carriers / Bouchal Z. and Chelechovsky R. // New J. Phys. - 2004. - V. 6. - p. 131-45.
3. Su Z.-K. A simple scheme for quantum networks based on orbital angular momentum states of photons / Su Z.-K., Wang F.-Q., Jin R.-B. et al. // Opt. Commun. - 2008. - V. 112. - p. 5063-6.
4. Alexeyev C.N. Angular momentum conservation and coupled vortex modes in twisted optical fibres with torsional stress / Alexeyev C.N., Borshak T.V., Volyar A.V., and Yavorsky M.A. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2009. - V. 11. - P. 094011.
5. Alexeyev C.N. Optical angular momentum and mode conversion in optical fibres with competing form and material anisotropy / Alexeyev C.N., Alexeyev A.N., Lapin B.P., and Yavorsky M.A. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2008.- V. 10. - P. 055009.
6. Alexeyev C.N. Controlling the optical angular momentum by elliptical anisotropic fibres / Alexeyev C.N., Alexeyev A.N., Lapin B.P., and Yavorsky M.A. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2009. -V. 11. - P. 105406.
7. Alexeyev C.N. Linear azimuthons in circular fiber arrays and optical angular momentum of discrete optical vortices / Alexeyev C.N., Volyar A.V., and Yavorsky M.A. // Phys. Rev. A. - 2009. - V. 80. -P. 063821.
8. Volyar A.V. Tunnelling selection of optical vortices / Volyar A.V. and Fadeeva T.A. // Tech. Phys. Lett. - 2006. - V. 29. - P. 594-7.
9. Volyar A.V. Vectorial topological dipole in output radiation of a fiber optical coupler / Volyar A.V. and Fadeeva T.A. // Tech. Phys. Lett. - 2004. - V. 30. - P. 553-6.
10. Fadeyeva T.A. Polarization metrology of the tunnel vortex selection / Fadeyeva T.A. and Polyakov O.V. // Proc. SPIE. - 2004. - V. 5582. - P. 278-86.
11. Alexeyev C.N. Higher order modes of coupled optical fibres / Alexeyev C.N., Boklag N.A., Yavorsky M.A. // J. Opt. - 2010. - V. 12. - P. 115704.
12. Алексеев К.Н. Векторная теория высших мод параллельных волноводов / Алексеев К.Н., Боклаг Н.А., Яворский М.А. // Ученые записки Таврического национлаьного университета имени В.И. Вернадского, Серия «Физика». - 2010. - Т. 23(62). - С. 54-63.
13. Selected papers on coupled-mode theory in guided-wave optics / [ed. D.J. Hall]., SPIE Milestone series. - SPIE Optical Engineering Press, 1993. - MS 84.
14. Snyder A.W. Optical waveguide theory / Snyder A.W. and Love J.D. - Chapman and Hall, London, New York, 1985.
15. Volyar A.V. Fiber singular optics / Volyar A.V. // Ukr. J. Phys. Opt. - 2002. - V. 3. - P. 69-96.
Алексеев К.М. Векторна теорiя волоконних розгалуджувачiв оптичних вихорiв / Алексеев К.М., Боклаг Н.О., Яворський М.О. // Вчеш записки Тавршського нацюнального ушверситету iменi В.1. Вернадського. Серiя: Фiзико-математичнi науки. - 2011. - Т. 24(63), №2. - С. 47-57. Розглянуто еволющю циркулярно поляризованих оптичних вихорiв у системм двох зв'язаних оптичних волокон. Доведено, що при поширенш оптичних вихорiв вони туннелюють у сусщне волокно у виглядi складно! суперпозицп оптичних вихорiв, що включае також вихорi протилежно! поляризацп та
топологичного заряду. Продемонстровано, що начальний оптичних вихор може туннелювати в шше волокно у тому ж самому вихревому сташ але з меньшою енерпею.
Ключовi слова: волоконно-оптичний розгалуджувач, оптичний вихор, сингулярна оптика, зв'язаш оптичш волокна, паралельнi хвильоводи.
Alexeyev C.N. Vector theory of fiber waveguides with optical vortices / Alexeyev C.N., Boklag N.A., Yavorsky M.A. // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. - Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2011 - Vol. 24(63), No.2 - P. 47-57.
It is studied the evolution of circularly polarized optical vortices in the system of two coupled optical fibres. It is shown that upon propagation optical vortices tunnel into the adjacent fibre as a complex superposition of optical vortices that comprise also optical vortices of opposite polarization and topological charge. It is demonstrated that the initial optical vortex may tunnel into the other fibre as the same vortex state of lesser energy.
Keywords: direct optical couplers, optical vortex, singular optics, coupled optical fibres, parallel waveguides.
Поступила в редакцию 05.05.2011 г.
