Эволюция углового момента оптических вихрейв скрученных анизотропных оптических волокнах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского Серия «Физико-математические науки». Том 24 (63). 2011 г. № 2. С. 37-46

УДК 535.1

ЭВОЛЮЦИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА ОПТИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ В СКРУЧЕННЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ Алексеев К.Н., Баршак Е.В., Яворский МА.

Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского, Симферополь, Украина

E-mail: maxyavorsky(( yahoo. com

Исследована эволюция спинового и орбитального угловых моментов оптических вихрей с единичным топологическим зарядом при их распространении в скрученном анизотропном оптическом волокне вблизи резонансных значений шага скрутки. Показано, что имеет место конверсия угловых моментов вихрей, эффективность которой при заданном значении анизотропии определяется значением шага скрутки и достигает максимального значения при совпадении шага с резонансным значением. Ключевые слова: оптический вихрь, угловой момент.

ВВЕДЕНИЕ

Скрученные оптические волокна с механическими напряжениями хорошо изучены в литературе. В частности, было установлено, что фундаментальные моды (с азимутальным числом l = 0) представляют собой циркулярно-поляризованные поля и распространяются с различными фазовыми скоростями, что приводит к вращению поляризации линейно-поляризованного пучка, передаваемого через скрученное волокно [1,2]. Так же были изучены скрученные волокна с комбинированной анизотропией, а именно, с эллиптичностью поперечного сечения и материальной анизотропией. В частности было показано, что фундаментальные моды в этом случае являются эллиптически поляризованными винтовыми модами

[3].

Недавно было установлено [4], что высшие моды (l = 1) скрученных волокон представлены двумя циркулярно-поляризованными оптическими вихрями (ОВ) с топологическими зарядами ±1 и радиально и азимутально поляризованными TMо n и TEq n модами (n - радиальное число). В то же время, l > 1 моды состоят

из четырех циркулярно-поляризованных ОВ. Также изучалась гибридизация мод с различными азимутальными числами [5]. Кроме того, был определен спектр постоянных распространения высших мод. Простой анализ этого спектра (см. формулу (18) в [4]) показывает, что при определенных значениях шага скрутки происходит пересечение некоторых спектральных ветвей. Эти точки пересечения -не что иное, как точки неустойчивости системы, в которых структура мод может существенно измениться даже при относительно малом возмущении. Самый вероятный кандидат для такого возмущения - анизотропия. Структура l =1 мод и вид спектра постоянных распространения для скрученных волокон с комбинированной анизотропией были установлены в работе [6].

Данные выражения позволяют изучить практически важный вопрос об эволюции углового момента оптических вихрей при их распространении в таких оптических волокнах. Оптические вихри представляют собой поля с геликоидальным волновым фронтом, что обуславливает наличие азимутальной компоненты вектора Пойтинга и, в конечном счете, приводит к появлению орбитального углового момента. Это свойство, наряду со специфическим распределением интенсивности, и обуславливает все возрастающий практический интерес к таким полям. Таким образом, целью данной работы является изучение эволюции орбитального и спинового (поляризационного) угловых моментов ОВ в скрученных волокнах с комбинированной анизотропией.

1. СТРУКТУРА МОД ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ АНИЗОТРОПНЫХ СКРУЧЕННЫХ ВОЛОКОН

Рассматривая распространение света через скрученное оптическое волокно, мы предполагаем, что волокно состоит из сердцевины с радиусом го и бесконечной

оболочки. Известно, что такое волокно можно описать следующим тензорным показателем преломления:

( 0 0 ътф ^

0 0 А

П (г,р) = П (Г) I+др44псс

0 0 - cos ф sin ф - cos ф 0

(1)

У

где I - единичная матрица, n2(r) = n^o (1 - 2А- f (r)) , д = (- n^)/-высота профиля показателя преломления, n^ и П/ - значения показателей

преломления в сердцевине и оболочке, соответственно, q = 2п/H (H - шаг скрутки). Второе слагаемое в (1) описывает влияние механических напряжений и Р44 = 0.5 (pii - pi2 ) , Pii и pi2 - константы фотоупругости. Здесь используются цилиндрические координаты (r, ф, z), где ось z - ось волокна. Отметим, что тензор (1) действует в Декартовом базисе: E = col (Ex, Ey, Ez ), где E - электрическое поле. Для волокна со ступенчатым показателем преломления f (r) = 0(r / ^ -1), где 0 -

функция Хэвисайда. В этой работе мы рассматриваем слабонаправляющие волокна А << 1.

Эллиптичность поперечного сечения можно ввести, сделав простое преобразование координат [7]: x ^ x (1 + S), y ^ y (1 -S) , где параметр

эллиптичности S << 1. Затем разложить показатель преломления в ряд по S и получить соответствующую поправку, вызванную эллиптичностью: 22

Апец =-2ncoASf cos2ф, где штрих обозначает производную по r.

Материальную анизотропию в поперечном сечении вводят заменой

псо ^

( 2 пе 0 Л Л

0

0 п0 0

0 0 п0 ,

V

2 2

Соответствующая поправка имеет вид [8]: Апап =8п s,

2 / 2 2\

где 5 = diag(1,-1,-1), 5п = 0.5 (пе - пС) ) << 1. Пренебрегая слагаемыми,

обусловленными взаимным влиянием анизотропии и скрутки, мы приходим к выражению для показателя преломления эллиптических анизотропных скрученных волокон:

п2 (г, р) = п 2 (г ) I - 2п 2Адг/ соб 2р1 +

2 _4

+дп 5 + др44п г

( 0 0 0 0 ч Бтр - собр

Бтр собр 0

Л

(2)

У

где п2 (г) = п2(1 -2А-/(г)) и п"2 = 0.5(п2 + п2) .

Как известно, распространение света в оптических волокнах описывается векторным волновым уравнением, которое в случае немагнитной анизотропной среды имеет вид [4]:

^ 5а-- дЕ ■ Е ■ ддг-- Л

(у2 + к 2п 2 ( г, <р)) Е ( г, р, z ) = -V

( Е-V 1п а)

+ -

У

8 дхI

13

8 дх-

1 У

(3)

где У = (д/дх, д/ду, д/дг), к = 2п/ Л, Л - длина волны в вакууме, и

подразумевается, что выражение (2) может быть представлено в форме: 2

п (г,р) = 81 + 5е. В работе [6] получено решение уравнения (3) вблизи

резонансных значений шага скрутки Н методом теории возмущений для случая, когда влияние анизотропии мало по сравнению со скруткой и спин-орбитальным

взаимодействием, а именно: |Лп|,Е <<|Сп|,|Ап|,|Вп|, где

Ап =~ 2(^п^п - ^п

0

(^п^п ' Вп = 2 (^п + ..

\ )R =1 Q г2\ )R =1

- константы спин-

^г0

ж

орбитального взаимодействия, Qn = | КЕп (R) dR для ступенчатых волокон,

0

(

С = -2 Сп 2

ъп +©в-

©в2 в п

описывает скрутку,

2п =

k 2?|Р44| пС0

/в

У

п

© = ч\Р44\п1о, к.

Е = k2^п2

п - известная скалярная постоянная распространения,

константа материальной анизотропии, Dn = ^ 2я2А^/2п -константа эллиптичности. Радиальная функция для ступенчатых волокон

F/, п ( г ) =

¿1 (ип) К/ (1УпИ) К/ (#п) '

, R < 1,

R > 1,

и R = — [9]. Здесь и далее мы опускаем г0

азимутальное число и полагаем его равным единице.

Как показано в работе [6], существует два резонансных значения шага скрутки: 2|„ 1.4

4П \p44\1

Н = ——-—со , где моды нулевого приближения (моды скрученного волокна Рп (Ап - 2Вп )

без анизотропии) 11,1 и ТМо п) имеют одинаковые постоянные распространения,

2 I I 4

4П Р44 псо | ч \

и Н2 =-- ^ I-, где постоянные распространения мод | — 1, - и 1Еоп)

Рп Ап I

совпадают.

Здесь

И=72

Л

впг

F1, п (г) п (г)

rF1' — К гг1, п К1, п

и

I-1,-1>-ъ

в пг

К1, п ( г ) -К1, п ( г )

ГК - К гг1„ п г1„ п

-щ

щ

право и лево циркулярно-

поляризованные ОВ, где первый индекс описывает знак поляризации, в то время как

и

е

е

второй определяет топологический заряд, мода TMq n) =

Í Л

F n (r)cos^

F1, n (r ) sin^

1 VrFi'+ F

P\nr

1, n + F n

и

TE0,n) =

F1, n (r ) sin^

F1, n (r ) cos^ 0

представляют собой стандартные радиально и

азимутально поляризованные моды идеального волокна.

Понятно, что вблизи точек вырождения влияние даже малой эллиптичности и материальной анизотропии может существенно изменить структуру мод и привести к сильной гибридизации соответствующих мод нулевого приближения посредством резонансного взаимодействия.

Моды вблизи Н1 имеют вид:

| W1)щ = sgn(E - Dn )cos 0111,1 - sin &1 TM0,n IW2)H = sgn(E - Dn )sin в111,1 + cos 6 J TM0,

(4)

где cos 261 =

«1

t

1 + «1

0 6 <П, « = , b = k21Ы'

2 1 2 1 Dn - E 32

co

S1 = q - q1

q1 =

Л? 2Bn

2bPn

Постоянные распространения мод (4):

pH = 40) + 0.5(-bfi1 ^(bq)2 + Q12),

D - E

п. - Dn En где Q =-~-■

n

Моды вблизи H1 имеют вид:

H2 = sgn( E + Dn) cos 621 -1, -1) + i sin 621 TE0n ) | W2)H2 = sgn(E + Dn )sin 62 I -1, -1 - i cos 62 J TE0,

(5)

(6)

n

где, 0 <62 < —, a2 =

bP ns2

\Dn + En|

, s2 = q - q2> q2 =

2b ^

n

4

Соответствующий спектр постоянной распространения имеет вид:

вн^ = в3(0) + 0.5(Ъщ ±),

^^ п - Оп + Еп

где °2 =-в-■

вп

(7)

2. ЭВОЛЮЦИЯ УГЛОВОГО МОМЕНТА ОПТИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ

Рассмотрим возбуждение скрученного анизотропного волокна с шагом скрутки близким к резонансному значению Н1 циркулярно-поляризованным ОВ с

топологическим зарядом равным единице: 2 = 0 н = |1Д), который

переносит единичный спиновый и орбитальный угловой моменты. Такое распределение поля на входном торце возбудит в волокне следующую суперпозицию мод:

И--)) н = с11 н1ехр

в н1)-

1

+ с2 | ^2)Н ехР

Весовые коэффициенты получаются

1

из

в5Н1) 2

граничного

условия:

|1,1 = с1(^1)н + с2 2)н . Это приводит к следующему выражению для поля

И 2 )>

щ-

|*( 2 )

н

соэ I 2

фщ)2 + О,2 |-г

Ъв1

>/( Ъв1 )2+о,2

sin I г

^(¿щ)2 + О,2

1,1+

+г sgn( Е - О)

01

>/(Ъ*1)2 + О2

ЭШ 2

ф^)2 + О2 ТМ 0,^.

(8)

Для вычисления орбитального и спинового угловых моментов параксиального поля удобно использовать следующие выражения [10]:

L2 =(^| /2 1^) , ^2 =(^| ^ 2 , (9)

д ( 0 -г Л

где /2 = -г — - оператор 2 - компоненты орбитального момента и 52 = -

дщ ^ г 0 У

оператор 2 - компоненты спинового момента. Применяя (9) к полю (8), получим:

х2

£2 = соэ21 2

ф/щ )2+О2 |+-

(Ъщ )2

(Щ )2 + О?

sin2 I 2

ф/щ)2+о? ),

(10)

и Sz = Lz . График зависимости орбитального и спинового моментов от продольной координаты г при различных значениях шага скрутки представлен на рис. 1.

Рис. 1. Эволюция орбитального и спинового моментов поля (8), полученного при возбуждении волокна оптическим вихрем 11,1), при различных значениях шага

О Л Х'

скрутки. Параметры волокна: V = 6.58, Д = 10_2, р = -0.075, Ап2 = 5-10-6, 5 = 0.

Видно, что при распространении поля по волокну его орбитальный и спиновый моменты испытывают осцилляции, амплитуда и период которых зависят от величины шага скрутки. Если шаг скрутки равен резонансному значению И\ (в данном примере Ну = 0.022м), то амплитуда колебаний углового момента максимальна - он изменяется от Lz = 1, что соответствует угловому моменту вихря |1,1) падающего на волокно, до Lz = 0 (жирная кривая на рис.1). Этот процесс

ж(3

происходит на длине конверсии ¿0 = —,-т (в данном примере Ц = 0.047м).

2|Вп _Еп\

Такое поведение углового момента объясняется тем, что, как следует из (8), при выполнении условия резонанса на длине ¿0 поле 2^^ <х , а угловой

момент ТМ -моды равен нулю. Поведение двух других кривых на рис.1 показывает, что при отклонении шага скрутки от резонансного значения угловой момент ни при каких значениях координаты 2 не достигает нулевого значения. Это объясняется

тем, что при невыполнении условия резонанса в структуре поля |г))^ всегда присутствуют обе компоненты - ТМ -мода и оптический вихрь 11,1) . Следует

отметить, что при рассматриваемых параметрах волокна (А = 10 , Г0 = 5Хне_Ые , 2 6

5п = 5-10 , 5 = 0) и при Н = Н\, изменение момента от единицы до нуля

происходит на длине волокна порядка нескольких периодов. При этом с увеличением анизотропии длина конверсии уменьшается.

Теперь рассмотрим возбуждение волокна с шагом скрутки, близким к Н?, лево-поляризованным ОВ с топологическим зарядом / = -1: 2 = 0))н = | — 1, —1, у которого L2 = Б2 =-1. Аналогично предыдущему

случаю, мы можем получить выражение для поля, распространяющегося по волокну:

№» н

соэ I 2

фщ)2 + 0?) + г I Щ 2

У >/( ЪЩ2 )2 + О?

эт I 2

фе,)2 + 0;

-1,-1) -

- sgn( Е + Бп)

О2

2

Ь2 = соэ | 2

у1(ЪЩ)2 + 0

¡итальный м

.¡(Ъе?)2 + 0? 1 +

■Sin I 2

фе,)2 + 0? )ТЕ0,^ .

(11)

Спиновый и орбитальный моменты определяются следующим выражением:

2

( Щ )?

( Ъе2 )2 + 0,

sin2 I 2

^(Ъе,)2 + 02

(12)

Очевидно, что угловой момент (рис. 2) ведет себя полностью аналогично выше рассмотренному случаю.

Рис. 2. Эволюция орбитального и спинового моментов поля (11), полученного

при возбуждении волокна оптическим вихрем |-1,-1), при различных значениях

2 2 6 шага скрутки. Параметры волокна: V = 6.58, А = 10 2, р = -0.075, Ап2 = 5-10 6,

£ = 0.

Действительно, при совпадении шага скрутки с резонансным значением Н2 = 0.01м (жирная кривая) угловой момент изменяется от своего значения на входе (Ц2 =_1) до Ц2 = 0, что соответствует, согласно (11), сосредоточению всей энергии поля |г^н в моде ТЕд п) , чей спиновый и угловой моменты равны

нулю. Поведение остальных кривых объясняется отличием от нуля коэффициента при вихри | — 1, — 1 в выражении (11) в любом сечении волокна.

ВЫВОДЫ

Исследована эволюция спинового и орбитального угловых моментов право и лево циркулярно-поляризованных оптических вихрей с единичным топологическим зарядом при их распространении в скрученном анизотропном оптическом волокне вблизи резонансных значений шага скрутки. Показано, что имеет место конверсия угловых моментов вихрей, эффективность которой при заданном значении анизотропии существенным образом определяется значением шага скрутки и достигает максимального значения при совпадении шага с резонансным значением. Полученные результаты позволяют определить как значения параметров волокна, при которых угловой момент практически не испытывает осцилляций (принципиально важно при использовании волокон для передачи информации, закодированной в значениях углового момента), так и их значения, при которых имеет место максимальная конверсия момента (повышает чувствительность датчиков физических величин на основе оптических вихрей).

Список литературы

1. Ulrich R. Polarization optics of twisted single-mode fibers / Ulrich R., Simon A. // Appl.Opt. - 1979. -V.18. - P. 2241-51.

2. Алексеев К.Н. Структура и спектр фундаментальной моды скрученных идеальных волокон / Алексеев К.Н., Яворский М.А. // Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского. Серия : Физика. - 2007. - Т 20 (59), № 1. - С.26- 33.

3. Ginsburg V.L. Investigation of stress by the optical method / Zh. Tech. Fiz. - 1944. - V. 14 - P. 181.

4. Alexeyev C.N Optical vortices in twisted optical fibres with torsional stress / Alexeyev C.N., Volyar A.V., Yavorsky M.A. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2008. - V. 10. - P. 095007.

5. Angular momentum conservation and coupled vortex modes in twisted optical fibres with torsional stress / Alexeyev C.N., Borshak E.V., Volyar A.V., Yavorsky M.A. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. -2009. - V. 11. - P. 094011.

6. Generation of radially and azimuthally polarized beams with elliptical anisotropic twisted optical fibres / Alexeyev C.N., Barshak E.V., Fadeyeva T.A., et al. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2011. - V. 13.

7. Alexeyev C.N. Intensely twisted elliptic optical fibres maintaining propagation of a single optical / Alexeyev C.N., Volyar A.V. and Yavorsky M.A. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2006. - V. 8 L5.

8. Alexeyev C.N. Transformation of optical vortices in elliptical and anisotropic optical fibres / Alexeyev C.N., Volyar A.V. and Yavorsky M.A. // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2007. - V. 9 - P. 387.

9. Snyder A.W. Optical Waveguide Theory / Snyder A.W., Love J.D. // London : Chapman and Hall -1985.

10. Berry M.V. Paraxial beams of spinning light / Proc. SPIE. 3487.- 1998. - p. 6-11.

Алексеев К.М. Еволющя кутового моменту оптичних BraopiB в скручених атзотропних оптичних волокнах / Алексеев К.М., Баршак О.В., Яворський М.О. // Вчеш записки Таврiйського нацiонального ушверситету iMeHi В.1. Вернадського. Серiя: Фiзико-математичнi науки. - 2011. -Т. 24(63), №2. - С. 37-46.

Дослщжена еволющя стнового i орбтльного кутових моменив циркулярно-поляризованих оптичних вихорiв з одиничним топологiчним зарядом при 1х поширeннi в скрученому анiзотропному оптичному волокнi поблизу резонансних значень кроку скручування. Показано, що мае мюце конвeрсiя кутових момeнтiв вихорiв, eфeктивнiсть яко! при заданому значенш ашзотропи визначаеться значенням кроку скручування i досягае максимуму при резонансному значенш кроку. Ключовi слова: оптичний вихор, кутовий момент.

Alexeyev C.N. Evolution of angular momentum of optical vortices in twisted anisotropic optical fibres / Alexeyev C.N., Barshak E.V., Yavorsky M.A. // Scientific Notes of Taurida National V.I. Vernadsky University. - Series: Physics and Mathematics Sciences. - 2011 - Vol. 24(63), No.2 - P. 37-46. It has been investigated the evolution of spin and orbital angular momentums of circularly-polarized optical vortices with unity topological charge in a twisted anisotropic optical fibres at the vicinity of the resonance values of the twist pitch. It is demonstrated that a conversion of angular momentums takes place and at a given value of anisotropy its efficiency essentially depends on the twist pitch. Such a conversion has the maximal efficiency at the coincidence of the twist pitch with the resonance value. Keywords: optical vortex, angular moment.

Поступила в редакцию 10.05.2011 г.