CC BY
0
Abriyev N.T. assistent
Jizzax politexnika institute O'zbekiston, Jizzax
VEKTOR MAYDONIDAGI BIRINCHI TARTIBLI AMALLARNI GAMILTON OPERATORI BILAN ALMASHTIRISH
Annotatsiya. Bu ishda vektor analizning asosiy tushunchalaridan biri Gamilton operatori haqida ma 'lumot keltirilgan. Birinchi tartibli differensialvektor amallar keltirib o 'tgan.
Kalit so 'z: Gamilton operatori, vektor, gradient, divergensiya.
Abriyev N. assistant
Jizzakh Polytechnic Institute Uzbekistan, Jizzakh
FIRST-ORDER OPERATIONS IN THE VECTOR FIELD EXCHANGE WITH THE HAMILTON OPERATOR
Abstract. In this work, one of the main concepts of vector analysis is information about the Hamiltonian operator. The differential vector of the first order was cited by the operations.
Keywords: Hamilton operator, vector, gradient, divergence.
Oxyz fazoning ^ sohasida
&(M) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k vektor maydon berilgan bo'lsin, unda P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) funksiyalar differensiallanuvchi funksiyalar.
Divergensiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi:
10. div (d(M) + b(M)) = diva(M) + divb(M);
20. divC • a(M) = C • diva(M), bunda C — o'zgarmas son
30. divu(M) • a(M) = u(M)divd(M) + a(M)grad u(M),
bu yerda u(M) — skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
Ta'rif. a(M) vektor maydonning diverginsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb M
nuqtaning skalyar maydoniga aytiladi, u diva(M) ko'rinishda yoiladi va
dP dQ dR diva(M) = — + ^ + — (1) ox oy oz
formula bilan aniqlanadi, bu yerda xususiy hosilalar M nuqtada hisoblanadi.
Agar fazodagi biror D soxaning xar bir M = M (x, u, z) nuqtasida
u = u(M) = f (x,u, g) skalyar funksiya berilgan bo'lsa, u xolda bu soxada skalyar maydon berilgan deyiladi. u = f(x,u,z) funktsiya maydon funksiyasi deyiladi.
Faraz qilaylik, Oxyz fazoning û sohasida quyidagi vektor maydon berilgan bo'lsin:
î(M) = P(x,y,z)î + Q (x, y, z)j + R(x,y,z)k. Ta'rif. a(M) vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori) deb M nuqtaning rotî(M) bilan belgilanadigan va
(dR dQ\ (dP dR\ (dQ dP\_
™tâ(M) = {iy-iiQ)r+{ip;-iR)j + {ix-ip)k(2)
formula bilan aniqlanadigan vektor maydoniga aytiladi, bunda xususiy hosilalarni M(x, y, z) nuqtada topamiz.
Uyurmaning ta'rifidan foydalanib, quyidagi xossalarning to'g'ri ekaniga ishonch hosil qilish mumkin:
10. r o t( â + b) = rotâ + rotb; 20. rot(Câ) = Crota, bunda C — o'zgarmas skalyar; 30. rot(uâ) = u • rotâ + (grcd u) X a, bunda u = u(M) skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
Vektor analizning grâd, div, rot differensial amallarini simvolik V vektor yordamida (Nabla vektor-Gamilton operatori) ifodalash qulaydir:
V-—" —" —k dx1 dx^ dx '
Bu vektorni u yoki bu (skalyar yoki vektor) kattalikka qo'llanishni bunday
tushunmoq kerak: vektor algebra qoidalariga ko'ra bu vektorni berilgan kattalikka
d d d
ko'paytirish amalini bajarish lozim, so'ngra simvollarning bu kattalikka
ko'paytirishni tegishli hosilani topish sifatida qarash kerak.
Bu vektor bilan amallar bajarish qoidalarini qarab chiqamiz:
1. V nabla-vektorning u(M) skalyar funksiyaga ko'paytmasi shu
funksiyaning gradientini beradi:
(d ^ d ^ d du^ du ^ du
Vu = \ — i + —j + — k)u = —i + —j + — k = grâd u. d x d y d d x d y d
Shunday qilib, Vu = grâd u.
2.V nabla-vektorning
l(M) = P(x,y,z)î + Q (x, y, z)j + R(x, y, z)k vektor funksiya bilan skalyar ko'paytmasi shu funksiyaning divergensiyasini beradi:
d d d
V^î = {faî+fyl+fok) • (P(x,y,z)î+ Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k) =
d P d Q d R = — + — + — = diva. d x d y d
Shunday qilib, V • â = diva.
Vxt =
= (™-aA)t+(d-l-a-l)j+(aA-d-lYk =
\dy dz) \dz dx) \dx dy)
= ro t1.
3.V nabla-vektorning
&(M) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k vektor funksiyaga vektor ko'paytmasi shu funksiyaning uyurmasini beradi:
i j k d d d
dx dy dz P Q R 'dP dR*
,dy dz)" ' \dz dx, Shunday qilib, V Xa = rota.
Vektor maydondagi ikkinchi tartibli amallarni ko'ramiz. Shuni aytib o'tish kerakki, gradu, rota amallari vektor maydonlarni vujudga keltiradi, diva amali esa skalyar maydonni vujudga keltiradi. ko'rsatilgan amallarning quyidagi kombinatsiyalari bo'lishi mumkin: div grad u, grad diva, rot rota, div rota, bular ikkinchi tartibli amallar deyiladi. Ulardan eng muhimlarini qarab chiqamiz. 1.d iv rota = 0.
Haqiqatan ham, agar vektor maydon
a = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k
bo'lsa, u holda ikkinchi tartibli aralash hosilalarning tengligi uchun
d d R d Q d d P d R d d Q d P div rota = — (----—) + — (—--——) + — (—--—) =
d x d y d d x d d x d x d x d y
d2R d2Q d2P d2R d2Q d2P
+ --—+ r— T^tt- = 0
dxdy dxdz dydz dydx dxdz dzdy bo'ladi. Shu natijaning o'zini nabla-operator
div rota = V^(Vxa) yordamida ham olish mumkin, chunki bu yerda uchta vektorning aralash ko'paytmasini hosil qilamiz: V,V va a, bularning ikkitasi bir xil. Bunday ko'paytma nolga teng bo'lishi ravshan. 2.rot grad u = 0. Haqiqatan,
du du ^ du grad u = —i + —j+ — k
dx dy dz
+
bo'lgani uchun ikkinchi tartibli aralash ko'paytmalarning tengligi tufayli:
Ad (du\ d /du\i Ad (du\ d (du\ rot grad u = i-Tz yj +l[Tz(gx)-Tx
d /du\ d /du\i V d2u d2u\ d2u d2u dx\dy) dy\dx)_ I J
+k
dydz dzdy / d2u d2u
' = 0.
dzdx dxdz,
+
dxdy dydx
Shu natijaning o'zini V nabla-operator yordamida ham hosil qilish mumkin:
r o t gra d u = V xVu = (V x V)u = 0, chunki bir xil vektorlarning vektor ko'paytmasi nol vektorga teng.
„ , d2u , d2u , d2u
3.d iv grad u = — + — + —.
dx2 dy2 dz2
Haqiqatan ham,
du^ du ^ du grad u = —i + —j+ — k
dx dy dz
bo'lgani uchun
d /du\ d /du\ d /du\ d2u d2u d2u div grddu dx\dx) + dy\dy) + dz\dz) dx2 + dy2 + dz2 (3) bo'ladi.
(3) tenglikning o'ng tomoni simvolik tarzda bunday belgilanadi:
d2 u d2 u d2 u
&u = ~—r + -r-^r +
yoki
Bunda
d x2 d y2 d 2
d2 d2 d2 d x2 d y2 d 2
d2 d2 d2 ^ dx2 + dy2 + dz2 (4)
simvol Laplas operatori deyiladi. Bu operatorni V vektorning skalyar kvadrati tarzida qarash tabiiydir. Gamilton operatorining skalar maydoni Laplas operatorini beradi.
Adabiyotlar:
1. Oliver, P.J., Applications of Lie Groups to Differential Equations.Springer, 1993.
2. Oliver, P.J., Differential invariants and invariant differential equations, Lie Groups and their Appl. 1 (1994), 177-192.
3. Abriyev, N. T. "TEKISLIKDA KILLING VEKTOR MAYDONLAR GEOMETRIYASI." Eurasian Journal of Mathematical Theory and Computer Sciences 3.1 (2023): 101-105.
