19IKKI O'LCHOVLI YEVKLID FAZOLARIDA KILLING VEKTOR MAYDONLAR GEOMETRIYASI
Xurshid Sharipov, Diyor Tirkashev
Samarqand davlat universiteti
Esanjon Salimov
Samarqand Iqtisodiyot va Servis Instituti sh xurshid@yahoo.com
ANNOTATSIYA
Mazkur maqolada ikki o'lchovli Yevklid fazosida Killing vektor maydonlar geometriyasi o'rganilgan. Ikki o'lchovli Yevklid fazosida aniqlandan ixtiyoriy Killing vektor maydonning umumiy ko'rinishi topilgan. Bundan tashqari umumiy ko'rinishdagi Killing vektor maydon integral chizig'i va oqimi topilgan.
Kalit so'zlar: Yevklid tekisligi, vektor maydon, Killing vektor maydoni, vektor maydon integral chizig'i, vektor maydon oqimi, differensial operator, infinitesimal yasovchi, differensial tenglama.
This article considers the geometry of Killing vektor fields in two-dimensional Euclidean space. The general form of an arbitrary Killing vektor field in two-dimensional Euclidean space is found. In addition, an integral curve and the flow of the Killing vektor field given in the general form are found.
Keywords: Euclidean plane, vector field, Killing vector field, integral line of vector field, flow of vector field, differential operator, infinitesimal constructor, differential equation.
Ta'rif 1. R2 fazoning har bir M(x1,x2) nuqtasiga {<fi,<f2} vektor mos qo'yuvchi X(x1; x2) ^ {f1; <f2} akslantirishga vektor maydon deyiladi.
Vektor maydonni X = {f1;f2} ko'rinishda yoki differensiallanuvchi operator sifatida,
ABSTRACT
KIRISH
d d
ko'rinishida belgilanishi mumkin.
May, 2022'
R2 fazoda y(t) = (x1(t),x2(t)) chiziq berilgan bo'lsin. U holda bu chiziqning har bir nuqtasida ikkita vektor, ya'ni vektor maydonning shu nuqtadagi vektori va egri chiziqning shu nuqtadagi urunma vektori mavjud bo'ladi.
Ta'rif 2. Agar barcha t = t0 lar uchun X(y(t0)) = y'(t0) tenglik o'rinli bo'lsa, y(t) chiziq X vektor maydonning y(t0) nuqtadan o'tuvchi integral chizig'i deyiladi.
Agar vektor maydon silliq, ya'ni f1t f2 funksiyalar silliq bo'lsa, fazoning har bir nuqtasidan yagona integral chiziq o'tadi. Natijada quyidagi akslantirishlar oilasini hosil qilamiz: Xt: (x1t x2) ^ (x1(t),x2(t)). X1 — X vektor maydon oqimi deyiladi. Ta'rif 3. Agar X vektor maydon oqimi harakatlar gruppasini hosil qilsa, bu
vektor maydon Killing vektor maydoni deyiladi.
d d
Misol 1. X = —y— + x— ushbu vektor maydon oqimi, Xt(x,y) =
(xcost — ysint, xsint — ycost) dan iborat. Bu vektor maydon oqimi, koordinatalar
boshiga nisbatan burishlardan iborat, harakatlar gruppasini hosil qiladi. Shuning
d d
uchun X = —y^ + x — vektor maydon Killing vektor maydoniga misol bo'la oladi.
Quyidagi ma'lum teoremani keltiramiz [1].
d d
Teorema-1. X = f — + vektor maydon Killing vektor maydon bo'lishi
(J JC (J LL
uchun
3<f dri — = — = 0;
dx dy
va
3<f dri — + — = 0
dy dx
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarli.
Bu teorema yordamida tekislikda berilgan vektor maydonning Killing vektor maydon bo'lishi yoki bo'lmasligini osongina tekshirib ko'rish mumkin.
Misol 2
Ushbu X = (2021y + 2022) £ + (2020 — 2021x)^ vektor
maydonni Killing vektor maydon bo'lish yoki bo'lmasligini tekshirib ko'raylik.
d(2021y + 2022) d(2020 — 2021x)
dx
d(2021y + 2022) d(2020 — 2021x)
dy
= 0,
dy
+
dx
= 2021 - 2021 = 0.
May, 2022
719
Demak, yuqoridagi 1-teoremaga asosan X = (2 02 1y + 2 02 2+ (2 0 2 0 —
q
2 02 1x) — vektor maydon Killing vektor maydon bo'ladi.
ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODOLOGIYA
Killing vektor maydon oqimi hosil qilgan akslantirishlar nuqtalar orasidagi masofani saqlaydi. Shuning uchun harakatlar gruppalarining infenitizimal yasovchilari Killing vektor maydonlar bo'ladi. Vektor maydonlar geometriyasi ko'plab ishlarda o'rganilgan [1-10].
A.Ya.Narmanov, J.Aslonovlar ishlarida Killing vektor maydonlar oilalari orbitalari hosil qilubchi qatlamalarning klassifikatsiyasi o'rganilgan [8]. A.Ya.Narmanov, S. Saitovalar ishlarida Killing vektor maydonlar oilasi to'la integrallanuvchi bo'lishining zaruriy va yetarli shartlari keltirilgan. A.Ya.Narmanov, O.Qosimovlar ishlarida vector maydonlar oilalari hosil qulivchi singulyar qatlamalar geometriyasi o'rganilgan [7].
Kompleks analiz kursidan ma'lumki, z(x, y) = u + iii funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari uchun quyidagi
du _ dv .
dx dy'
va
T + T = 0 (2)
ay ox
tengliklar o'rinli bo'lsa, z(x,y) = u + i ii funksiya golomorf funksiya deyiladi. Golomorf funksiyaning shartlari bilan 1-teorema shartlarida o'xshashliklar bor. Golomorf funksiyalar to'plamidan bir qismini ajratib olsak Kiiling vektor maydonlarini hosil qilishimiz mumkin. Buning uchun qo'shimcha yana bir shart qo'yamiz:
du dv dx dy
Bu tengliklardan ko'rinib turibdiki, u funksiya x erkin o'zgaruvchiga bog'liq emas, ya'ni bu funksiya faqatgina y erkin o'zgaruvchining funksiyasi bo'ladi, demak u = u(y). Xuddi shuningdek, ii funksiya y erkin o'zgaruvchiga bog'liq emas, ya'ni bu funksiya faqatgina x erkin o'zgaruvchining funksiyasi bo'ladi, demak ii = ii(x). Yuqoridagi (2) teklikni hisobga olsak, quyidagi
du dv dy dx
May, 2022
720
du dv
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan — = = const ekanligi kelib
chiqadi. Chunki bu ifoda o'zgarmas funksiyadan boshqa biror funksiyaga teng bo'lsa, u = u(y) yoki v = v(x) ekanligiga zid bo'lib qoladi. Shuning uchun,
du dv dy dx
deb olib, u = —cy + a va v = cx + b tengliklarni hosil qilamiz. Demak, tekislikda, z(x,y) = (—cy + a ) + i(cx + b ) ko'rinishdagi golomorf funksiya Killing vektor maydonni hosil qiladi.
Demak, keltirilganlarga tayangan holda quyidagi teoremani hosil
qilamiz.
Teorema-2. Ikki o'lchovli Yevklid fazosida ixtiyoriy Killing vektor maydon ko'rinishi
X = (—cy + a)£+(cx + b)^ (3)
kabi bo'ladi.
d d
Agar c = 0 bo'lsa, X = a— + b— vektor maydon Killing vektor maydon
bo'lib, uning oqimi, *a,b} vektor bo'ylab parallel ko'chirishlardan iborat bo'ladi.
d d
Agar a = b = 0 bo'lsa, X = — cy— + cx — vektor maydon Killing vektor maydon
bo'lib, uning oqimi, koordinata boshiga nisbatan burishlardan iborat bo'ladi.
Endi (3) vektor maydonning integral chizig'ini c ^ 0 holda topamiz. Buning uchun ta'rifga ko'ra ushbu
fx = — cy + a (4)
y = cx + b v '
differensial tenglamalar sistemasini yechamiz:
Ccy = —x + a
cy = —x cy = c2x + bc —x = c2x + bc
Buning uchun quyidagi ikkinchi tartibli bir jinsli bo'lmagan, chiziqli differensial tenglamani yechamiz:
x + c2x + bc = 0. (5) Bu ikkinchi tartibli bir jinsli bo'lmagan, chiziqli differensial tenglamani yechish uchun unga mos bir jinsli ikkinchi tartibli, chiziqli differensial tenglamani yechib olamiz:
x + c2x = 0,
May, 2022
721
x = ekt, x = kekt, x = k2ekt, k2ekt + c2ekt = 0, k2 + c2 = 0, k = ±ci,
x = C1ecit + C2ec(~it) = cosct(C1 + C2) + sinct(C1 — C2). Endi (5) ikkinchi tartibli bir jinsli bo'lmagan, chiziqli differensial tenglamani yechimini topamiz:
x = cosct(C1 + C2) + sinct(C1 — C2) + A, c2 A = -be, b
A = —,
x = (C1 + C2)cosct + (C1 — C2)sinct--.
Hosil qilingan yechim va (4) sistemaning birinchi tenglamasi yordamida
quyidagilarni hosil qilamiz:
Cy = —C(C1 + C2)sinct + C(C1 — C2)cosct + a,
a
y = (C1 + C2)sinct — (C1 — C2)cosct + —.
Demak, (4) differensial tenglamalar sistemasini umumiy yechimi quyidagi ko'rinishda bo'ladi
x = (C1 + C2)cosct + (C1 — C2)sinct--
a'
y = (C1 + C2)sinct — (C1 — C2)cosct + —
Endi quyidagi boshlang'ich shartlar
|x(0) = xq
ly(o) = y0
ni hisobga olgan holda integral chiziqni hosil qilamiz:
_ b
a
Vo = ~Ct + C2+-a + b
Xo ~ yo — 2 —
x0 + y0 = 2 C2 +
c
a — b
May, 2022
722
r _ X0 - y0 | a + b r _ xo + yo CL-b
2 2c '
/x0-y0 a + b x0+y0 a — b\
X = + — + —---2T)C0SCt
(Xq — y0 a + b x0 + y0 a — b\ b
+ + ---— + —)SinCt—c
( b\ / a\ b
= ( X0 + —) C0 S Ct — (y0--) S inct--,
fx0-y0 a + b x0+y0 a-b\ .
y = {-^ + — + —---2T)S inCt
_ (Xo - y0 CL + b _ Xp +y0 g-b\
( 2 2 c 2 2 c )
( b\ / a\ a
= ( X0 + —) S inCt + (y0--) C0 S Ct + —.
NATIJA
Demak, (3) vektor maydonning (x0,y0) nuqtadan o'tuvchi integral chizig'i quyidagi
x(t) = (x0 + cosct — (y 0 — s inct — -
\ c) \ c) c (6)
y(t) = (x 0 + s inct + (y0 — ^ C0SCt + -
parametrik tenglama yordamida aniqlanadi.
(3) vektor maydonning (x0,y0) nuqtadan o'tuvchi integral chizig'i qanday chiziq aniqlashini topaylik. Buning uchun (6) sistemada t parametrni yo'qotamiz.
X + — = (x 0 + —) C0 S Ct — (y0--) S inct
a ( b\ / a\ y--= ( X 0 + —) S inct + (y0--) C0 S Ct
Bu tengliklarni kvadratga ko'tarib qo'shamiz:
2
(x + C) +(y — C) =((x 0+C)C 0 S C t — (y0—C)s inc ^ + + 1 ( Xn + — ) s inct + ( yn--) C0SCt I = (xn + —) C0S2Ct —
((x 0 + —) S inct + (y0 — C0sCtt) = (x0 + —)
May, 2022
723
—2 (x0 + —) (y0--) s inctcosct + (y0--) s in2ct + (x0 + —) s in2ct +
+2 (x0 + —) (y0--) s inctcosct + (y0--) cos2ct =
= (x0 + —) ( cos2ct + sin2 ct) + (y0--) ( cos2ct + sin2ct) —
—2 (x 0 + —) (y0--) s inctco s ct + 2 (x0 + —) (y0--) s inctco s ct =
= {x0+t) +
Demak, (3) vektor maydonning (x0,y0) nuqtadan o'tuvchi integral chizig'i
markazi ( —~>~) nuqtada, radiusi r = J(x0 + + (y0 — ga teng bo'lgan
aylanadan iborat ekan.
Misol 3. X = (—4y + 14x + 1 2)vektor maydonning (0 ,0 )
nuqtadan o'tuvchi integral chizig'ini toping.
Yechish. (6) dan foydalanib berilgan vektor maydonning (x0,y0) nuqtadan
o'tuvchi integral chizig'ini quyidagicha yoza olamiz:
( ) ( ) ( )
{y( t) = (x 0 + 3 )s inc t + (y0 — 4)co s c t + 4' Yuqorida keltirilganlarni hisobga olib, berilgan vektor maydonning (x0 ,y0) nuqtadan o'tuvchi integral chizig'i, markazi (—3,4) nuqtada, radiusi r =
ga teng bo'lgan aylana ekanligini hosil qilamiz.
d d
Shulardan xulosa qiladigan bo'lsak, X = (—4y + 1(4x + 12) —
vektor maydonning (0, 0) nuqtadan o'tuvchi integral chizig'i markazi (—3,4) nuqtada, radiusi r = 5 ga teng bo'lgan aylanadan iborat bo'ladi.
XULOSA VA TAKLIFLAR
Ushbu maqolada Yevklid tekisligidagi ixtiyoriy Killing vektor maydonning umumiy ko'rinishi topilgan. Tekislikda umumiy ko'rinishda berilgan Killing vektor maydonlarining integral chiziqlari va oqimlari topilgan. Demak, ikki o'lchamli Yevklid tekisligida Killing vektor maydonlarnining klassifikatsiyasini hosil qildik. Bu natijalardan geometriya ixtisosligi magistr talabalarining maxsus kurslarida va ilmiy ishlarda foydalanish mumkin.
May, 2022
724
REFERENCES
1. Molino P. Orbit-like foliations// Geometric Study of Foliations, -Tokyo 1993. P. 97-119, World Scientific, 1994.
2. Olver P. Application of Lie Groups to Differential Equations. Second edition. // Springer 1993.
3. Sussman H. Orbits of families of vector fields and integrability of distributions // Transactions of the AMS. 1973. V. 180. N-6. P. 171 - 188.
4. Sussman H., Levitt N. On controllability with two vector fields // SIAM J. Control 13, N-6, 1975,pp.1271-1281.
5. Stefan P. Accessibility and foliations with singularities// Bull.AMS, v. 80, N-6, 1974.
6. Tamura I. Topology of foliation: an introduction// Translations of mathematical monographs. American Mathematical Soc.,2006.
7. Нарманов А.Я., Касимов О. Геометрия сингулярных римановых слоений// Узбекский математический журнал. -Ташкент, 2011. N-3. -с. 129-135.
8. A.Ya.Narmanov, J.Aslonov. Geometry of orbit of Killing vector fields. Uzbek mathematical journal. N 2, 2012, pp 77-85.
9. A.Ya.Narmanov, S. Saitova. On geometry of vector fields. Journal of Mathematical Sciences (United States). 245(3) 2020, pp 347-352.
10. X.F.Sharipov, B. Boymatov, N. Abriyev. Singular foliation generated by an orbit of family of vector fields. Advances in Mathematics: Scientific Journal 10 (2021), no.4, 2141-2147 ISSN: 1857-8365 (printed); 1857-8438 (electronic) https://doi.org/10.37418/amsj.10.4.28
May, 2022
725
