CC BY
1Fermionli Fok fazosidagi matritsaviy model operatorga mos
Fredgolm determinanti
Sharofat Mirmuhsin qizi Yaxyoyeva Buxoro davlat universiteti
Annotatsiya: Ushbu maqolada dastlab Fok fazosiga ta'rif berilib, uning qirqilgan qism fazosi haqida ma'lumotlar aytib o'tilgan. Fok fazosidan olingan elementlarning skalyar ko'paytmasi va normasi ko'rsatilib o'tilgan. Fok fazosining qirqilgan qism fazosida aniqlangan operatorli matritsa uchun Fredgolm determinant qurilgan.
Kalit so'zlar: kompleks sonlar fazosi, Hilbert fazosi, Fok fazosi, qirqilgan qism fazo, skalyar ko'paytma, norma, operatorli matritsa
Fredholm determinant corresponding to a matrix model operator in Fock space with fermions
Sharofat Mirmuhsin qizi Yaxyoyeva Bukhara State University
Abstract: This paper first defines the Fock space and gives information about its truncled subspaces. The scalar product and norm of the elements taken from the Fock space are shown. The Fredholm determinant is constructed for the matrix where the operator is defined in the cut subspace of the Fock space.
Keywords: space of complex numbers, Hilbert space, Fock space, cut subspace, scalar product, norm, operator matrix
€- bir o'lchamli kompleks sonlar fazosi bo'lsin. Ixtiyoriy n E N natural soni uchun L2[a, b]n orqali [a, b]n da aniqlangan kvadrati bilan integrallanuvchi (umuman olganda kompleks qiymatli) funksiyalarning Hilbert fazosini belgilaymiz.[1-4] Quyidagicha belgilashlar kiritamiz:
Ho:=C,Hn:=L2([a,b]n),nEN;
= Hn,H:= 0^=o Hn.
Ta'rif. H Hilbert fazoga Fok fazosi deyiladi, H(m) Hilbert fazosiga esa Fok fazosining qirqilgan m - zarrachali qism fazosi deyiladi.
Shunday qilib,
H(V:=Ho ®H± = {(fo,fi):fk E Hk,k = 0,1};
H(2).= H0^H1®H2 = i(fo,f1,f2):fk E Hk,k = 0,1,2}; H&-. = H0®H1®H2®H3 = {{f0,f1,f2,hy-fu ZHk,k = 0,1,2,3};
H(m). = HQ^H1 ®...®Hm-i = {(f0,fi.....fm)-.fk e Hk,k = 0,m}.
Odatda, L2[a,b] fazo yordamida qurilgan Fok fazosi F(L2[a,b]) kabi belgilanadi.
m e N - fiksirlangan natural son bo'lsin. Ixtiyoriy ikkita
f = (fo,fi,..., fm) eH(m)vag = (gQ, gx,..., gm) e H(m) vektor - funksiyalar uchun ularning skalyar ko'paytmasi
(f,g) = (fo,go)o + (fl,gi)l + ...+(fm,gm)m kabi aniqlanadi, bu yerda
(fo,go)o = fo-gö; (fk,gk)k = f fk(t) • gk(t)dt,k = i,m.
J a
Xuddi shuningdek, f = (f0, f1,..., fm) e H(m) vektor - funksiyaning normasi
\\f\\ =
N
m
£\\fk\\ k=0
tenglik yordamida aniqlanadi [5-8], bunda
' Olio ~ I' c
\\fk\\k: =
N
f lfk(t)l a
2 d , k = 1, m.
Endi H Fok fazosida skalyar ko'paytma va normani aniqlaymiz. Ixtiyoriy ikkita
F = (fo,fi,...,fn,...) e H vaG = (go,gi,...,gn,...) e H elementlar uchun ularning skalyar ko'paytmasi
(F,G):=£(fk,gk)l
k=0
kabi, F vektor - funksiya normasi esa
\\F\\: =
£\\fk\\
k=0
kabi aniqlanadi. [13-14]
K Hilbert fazosida ta'sir qiluvchi quyidagi ya'ni H(3) Hilbert fazosida quyidagi
A00 Aoi 0
A = (Aoi Aii Ai2 ) 1(1)
\0 A*i2 A22
www.openscience.uz / ISSN 2181-0842 17
3x3 operatorli matritsani qaraymiz, bu yerda A^: Hj ^ Ht, i,j = 0,1,2.
Operatorlar ushbu tengliklar orqali ta'sir qiladi:
C^oo/o)o = ^ofo; (¿olfl)o = fL
(^llfl)l(P) = ^i(p)fiip); (Al2f2)l(P) = SL2[a;b]V(t)f2(P,t)dt;
(A22f2h(p,q) = M2(p,q)f2(p,q)
fi E Hi, i = 0,1,2., №0 fiksirlangan haqiqiy son, ^(0 va v(-) funksiyalar L2[a,b] da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiyalar, w2(-,-)esa L2[a,b]2 da aniqlangan haqiqiy qiymatli simmetrik uzluksiz funksiya.
m = 3 bo'lgan holda A*0l va A^2 operatorlarning aniq ko'rinishlarini quyidagicha topiladi
(AOlfo) = v(t)fc
v(t) - haqiqiy o'zgaruvchili funksiya. Haqiqiy sonning qo'shmasi o'ziga teng ekanligidan oxirgi tenglikni quyidagicha yozish mumkin.
. y(y)fl(x) + v(x)fl(y)
(A12fl)(x,y) =---
Endi A operatorning muhim va diskret spektrlarini o'rganish maqsadida umumlashgan Fridrixs modeli deb ataluvchi operatorni kiritamiz. Bu operator H0 0 H-l Gilbert fazosida
A = /Aoo ¿ol\
kabi aniqlangan. Uning Atj,i < j,i,j = 0,1 matritsaviy elementlari yuqorida keltirilgan. A± operator chiziqli, chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma bo'ladi.
H0 0 Hl Gilbert fazosida A° operatorni qaraymiz va bu operator quyidagicha aniqlangan bo'lsin:
^=(0 An)
Aniqlanishiga ko'ra, A° operatorli matritsaning muhim spektri All operatorli matritsaning muhim spektri bilan ustma-ust tushadi hamda All operator ko'paytirish operatori ekanligidan foydalansak, All operatorning spektri ko'paytirilayotgan funksiyaning qiymatlar sohasiga teng ekanligini aniqlanishimiz mumkin ya'ni,
°ess(A0) = [m; M],adisk(A0°) = {0}.
bu yerda
m = min ml(p) ,M = max ml(p)
pEL2[a;b] pEL2[a;b]
munosabat o'rinli.
Yuqorida bayon qilingan mulohazalarni hisobga olsak, Al operatorli matritsaning muhim spektri uchun quyidagi tenglik o'rinli ekan:
Vessel) = Vessel) = [m; M]
C\[m; M] sohada regulyar bo'lgan
f v2(t) A(z) = m0-z-I ——-dt
h2[a;b](1(t) -Z
funksiyani kiritamiz. Odatda ^(-)funksiyaga A1 umumlashgan Fridrixs modeliga mos keluvchi Fredgolm determinant deyiladi.
Lemma. z E C\[m; M] soni A1 operatorli matritsaning xos qiymati bo'lishi uchun = 0 bo'lishi zarur va yetarlidir.
Isbot: Lemmani isbotlash maqsadida A1 operatorli matritsaning f = (fo,f1) vektorga ta'sirining ko'rinishi aniqlaymiz:
A f = (Aoofo + Aoifi\ Alf: Uifo + AiifJ
<A01f0 + A11f1
A1f opeartorli matritsaning elementlari yuqorida berilgan shartlarni qanoatlantiradi va A1f = zf,z E C\[m; M] xos qiymatga mos tenglamani qaraymiz.
\A00f0 + Aufi = zf0 [A01f0 + A11f1 = zf1
ya'ni,
(ofo + I v(t)fi(t) dt = zf0
JL2[a;b] (2)
v(p)f0 + Mi(p)fi(p) = zfi(p)
(2) tenglamalar sistamasining ikkinchi tenglamasidan f1 vektor funksiyani topib olamiz:
v(p)fo
(3) tenglamani 1- tenglamalar sistemasining birinchi tenglamasiga qo'yib, f0 vektor funksiyani topib olamiz:
v( ) fl
fo+ f v(0 V ( 0 dt = zf0 ;
Jj^n-h] Z—(i(t)
k2[a;b] Z-Mi(t)
( f v2(t)
((0—z—I dt)f0 = 0
V h2[a;b](1(t) — Z
Oxirgi tenglik o'rinli bo'lishi uchun ko'paytuvchilardan kamida bittasi nolga teng bo'lishi kerak. Ammo vektor funksiyaning ta'rifiga ko'ra f0 vektor funksiya noldan farqli demak,
I v2(t) „ Mr, — z — I —tt-dt
A(z) = (ßo — z — f
>L2[a;b](M —Z
ko'rinishida aniqlangan funksiya nol bo'lishi kerak Lemma isbotlandi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles. Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1, pp. 1-16.
2. Расулов Т.Х. (2011). О числе собственных значений одного матричного оператора. Сибирский математический журнал, 52:2, С. 400-415.
3. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138-144.
4. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining rezolventasi. Scientific progress. 2:2, 580-586.
5. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Икки каналли молекуляр-резонанс модели хос кийматларининг мавжудлиги. Scientific progress. 2:1, 111-120.
6. Rasulov T.H., Tosheva N.A. (2019). Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:5, pp. 511-519.
7. Расулов Т.Х. (2016). О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами. ТМФ, 186:2, C. 293-310.
8. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modelining sonli tasviri. Scientific progress. 2:1, 1421-1428.
9. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), C. 368-390.
10.Тошева Н.А. (2020). Уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства 3х3-операторных матриц. Наука, техника и образование, 8(72), 9-12.
11. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 39-43.
12. Tosheva N.A., Ismoilova D.E. (2021). Ikki kanalli molekulyar-rezonans modeli xos qiymatlarining soni va joylashuv o'rni. Scientific progress. 2:1, 61-69.
13. T.H.Rasulov, N.A.Tosheva. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 10:5 (2019), pp. 511-519.
14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
15. M.I.Muminov, T.H.Rasulov, N.A.Tosheva. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Communications in Mathematical Analysis. 23:1 (2020), pp. 17-37.
16. Тошева Н.А., Шарипов И. А. (2021). О ветвях существенного спектра одной 3х3-операторной матрицы. Наука, техника и образование, 2-2(77), 44-47
17. T.Rasulov, N.Tosheva. Main property of regularized Fredholm determinant corresponding to a family of 3x3 operator matrices. European science. 2.(51) 2020, pp. 11-14
18. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. (2020). Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy. 55:4, pp. 8-13.
19. Т.Х.Расулов, Н.А.Тошева. О числе и местонахождении собственных значений обобщенной модели Фридрихса. Тезисы 42-й Всероссийской молодежной школа-конференции Современные проблемы математики. Екатеринбург, 2011, Стр. 102-104.
