Вариационные задачи для квадратичных функционалов. Доказательный вычислительный эксперимент Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929+517.534

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ. ДОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

© В.А. Шишкин

Shishkin V.A. Variational problems for quadratic functionals. Demonstrative computing experiment. The computer-assisted study of variational problems with quadratic functionals is considered. Use of exact evaluations or evaluations with a guaranteed estimation of an error proves a regularity of obtained results.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим задачу о минимизации квадратичного функционала

^ = ТЖх,т2!х)11+(Т„х)х (1)

при ограничениях

лО) = 0,/ = 1,...,и, и<7у(х)<0,7 = 1 (2)

Решение задачи ищется в банаховом пространстве X, изоморфном прямому произведению вещественного гильбертова пространства Н и пространства т -мерных вещественных векторов К"' ( т < п1). Линейные ограниченные операторы ТЬ,Т21, / = 1,..., ,

отображают X в Н ; Т3 - линейный ограниченный функционал (ТгеХ ); /?(, 1 = и ,

/ = - аффинные функции.

С помощью метода редукции [I], основанного на использовании изоморфизма X = Я х й’, задача (1)-(2) после подстановки х = Лг + Ка сводится к задаче минимизации в гильбертовом пространстве

/,г = 1/2(0г,г)„-(/„*)„+ф (3)

при ограничениях

gi(x) = 0, / = 1- пг и /г;(х) < 0, у = 1 ,...,п2. (4)

Линейный ограниченный оператор Q в функционале (3) по построению является самосопряжённым.

Известно [2], что если задача (3) (4) имеет решение г , то найдутся такие не равные одновременно нулю и Х2, что бЦгД, ,Х2)/дг = 0, где Ь(г,Х^,Х2) = + Х^+ ХгИ - функция Лагранжа

задачи (3)-(4). Если же г - стационарная точка функции Лагранжа, и оператор Q является строго положи-

тельно определённым, то этого достаточно, чтобы задача (3)—(4) имела решение.

Таким образом, исследование вопроса о существовании решения исходной задачи сводится к решению параметрического операторного уравнения = / ( X! , /. , ) И проверке знакоопределённости оператора .

ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ

Здесь и далее будем предполагать, что оператор

можно представить в виде разности / — К, где I - тождественный оператор, а К - оператор Гиль-берта- Шмидта. Также считаем, что Н = Ь2[а,6].

Один из методов приближённого решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода г — Кг = /(Хх,Х2) - замена ядра интегрального оператора К близким к нему вырожденным и сведение интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений.

Вырожденное ядро, т. е. функцию вида Х*=1М;(0у,(х) можно получить несколькими способами, например, вычислением двумерного интерполяционного многочлена или с помощью сплайн-интерполяции, но лучшие результаты получаются при разложении исходной функции в ряд Фурье по подходящей системе ортогональных функций. В качестве базиса аппроксимации следует использовать полную систему функций, ортогональных с единичным весом, например, ортогональные многочлены Лежандра или функции Радемахера -Уолша.

Разрешимость приближённого уравнения ещё не гарантирует существования решения исходного урав-нения. Обозначим разность ядер исходного и прибли-жённого интегральных операторов через АК , а резольвенту приближённого уравнения через / + /? . Множество операторов, имеющих ограниченные обратные, является открытым, поэтому [3] выполнение условия ЦА^Ц < 1 /|/ + Щ (т. е. если аппроксимация является достаточно точной) гарантирует существование (/ — К)'. Если условие не выполнено, то вопрос об обратимости I — К остаётся открытым.

Для проверки положительной определённости оператора О = / - К используется тот факт, что спектр положительного самосопряжённого оператора содержит только положительные числа, т. е. если Q >0 , то элементы спектра оператора К (спектр точечный, т. к. К по условию вполне непрерывен) должны быть меньше единицы. Пусть известна тах(ст) - верхняя

граница спектра приближённого к К конечномерного оператора Выполнение условия [4]

гпах(ст) + ЦДА’Ц <1 гарантирует положительную определённость оператора / - К. Если же шах(ст) — ||Л^|| > 1, то 1 — К гарантированно не является положительно определённым. Случай 1 - ПААТ)! < гпах(ст) < 1 +1ААГ||^ требует дальнейшего исследования.

ДОКАЗАТЕЛЬНЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

При проверке неравенств ||А/к|| < 1/||/ + и тах(а) + ЦаАГЦ < 1 требуется, чтобы все промежуточные вычисления выполнялись точно или с гарантированной оценкой погрешности.

Современные системы компьютерной алгебры имеют возможность работы с рациональными числами, числители и знаменатели которых являются числами неограниченной (точнее, ограниченной только размерами машинной памяти) точности. Например, обращение матрицы с использованием рациональной арифметики даёт точную обратную матрицу, а многочлены с

рациональными коэффициентами отображают множество рациональных чисел в себя.

Вторым возможным подходом является замена точных значений некоторыми интервалами, границами которых служат машинные числа. Если все операции сводятся к четырём действиям арифметики, то можно использовать возможности направленного округления, аппаратно реализованного в современных процессорах. В результате происходит некоторая потеря точности, однако скорость вычислений уменьшается незначительно по сравнению с рациональной арифметикой.

Использование рациональных и интервальных вычислений гарантирует, что полученные результаты не являются следствием неконтролируемого накопления ошибок округления. Точное решение исходной задачи (1)—(2) лежит внутри приближённого интервального решения аппроксимирующей задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматухчина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т комп. технологий, 2002.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

3. Канторович Л.В., Акичов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

4. Рисс Ф.. Сёкефальви-Надь />. Лекции по функциональному анализу, М.: Мир, 1979.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 04-01-96016, 04-06-96002, 06-01-00744, 07-01-96060.

Поступила в редакцию 20 июля 2006 г.