Вычисление квадратичных функционалов Ляпунова–Красовского для линейных автономных систем с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Key words: optimization; management; drying; technology; humidity; drying speeds.

УДК 517.929

ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА-КРАСОВСКОГО ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© Ю.Ф. Долгий

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с последействием; устойчивость; квадратичные функционалы.

Для линейных автономных систем с последействием предложен метод вычисления квадратичных функционалов Ляпунова-Красовского. Нахождение их представлений сводится к решению краевых залач для функционально-дифференциальных уравнений.

Рассматривается линейная система дифференциальных уравнений с последействием

о

dx(t)

dt

= / +s),

где Ь € К+ = (0, +гс>), х '-[—г, +гс>) ^ К”, матричнозначная функция п имеет ограниченную вариацию на [—г, 0], п(0) = 0.

Методы вычисления вадратичных функционалов Ляпунова-Красовского для различных классов линейных автономных систем с последействием предлагались в [1-3]. В данной работе показано, что нахождение представлений квадратичных функционалов Ляпунова-Красовского связано с решением краевых залач для функционально-дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений с последействием описывается в гильбертовом пространстве Н = К” х ([—г, 0), К”) уравнением [4]

йхг .

-гг = Лхг, аЬ

где неограниченный оператор Л' О (Л) ^ Н определяется формулами

о

(.Лх)($) = , $ € [—г, 0), (Лх)(0) = J ац(в)х(в),

— Г

Б(Л) = {х(-) : х( ) € ([—г, 0], К”)} .

Задается линейный ограниченный самосопряженный оператор Ш ' Н ^ Н и рассматривается уравнение Ляпунова

и Л + Л*и + Ш = 0,

r

2507

решение которого U: H^ H определяет ограниченный квадратичный функционал u(x(-)) = = x(-) € H . Уравнение Ляпунова будем решать в случае, когда оператор W

допускает следующее представление

о

(Wx(-))($) = M(§, 0)x(0) + J M(§, s)x(s))ds, § € [-r, 0], x(-) € H,

—r

удовлетворяющее условиям:

1) MT(0, 0) = M(0, 0) € Rraxra;

2) для почти всех § € [-r, 0) полагаем MT(0,§) = M(§, 0) € Rraxra и отображение M(■, 0) € L2([-r, 0), Rraxra);

3) для почти всех точек (§, s) € [-r, 0) x [-r, 0) полагаем MT(s, §) = M(§, s) € Rraxra и отображение M(■, ■) € L2([-r, 0) x [-r, 0), Rraxra).

Условия 1)—3) обеспечивают принадлежность оператора W классу вполне непрерывных операторов Гильберта-Шмидта. Требуем, чтобы решение U уравнения Ляпунова принадлежало описанному выше классу вполне непрерывных операторов Гильберта-Шмидта.

В данной работе показано, что задача нахождения представления оператора U сводится к решению краевой задаче для матричного функционально-дифференциального уравнения

= J (X(т)dn(T - §) + dnT(T)Xt(t - §)^ +

—r

X(-r)n(-r - §) + J M(t,t - §)dT + M(§, 0),

—r

X(0) + XT(0) + M(0, 0) = 0,

X (-r))n(-r) = nT (-r)XT (-r).

ЛИТЕРАТУРА

1. Infante E.F., Castelan W.B. A Lyapunov functional for a matrix difference-differential equation // J. Different. Equat. 1978. V. 29. № 3. P. 439-451.

2. Delfour M.C., McCalla C.,Mitter S.K. Stability and the infinite-time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems // SIAM J. Control. 1975. V. 13. № 1. P. 48-88.

3. Мильштейн Г. Н. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с последействием // Диффе-ренц. уравнения. 1981. Т. 17. № 6. С. 984-993.

4. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке Программы фундаментальных исследований «Математическая теория управления» (проект 12-П-1-1019) и гранта РФФИ № 13-01-00094.

Dolgii Y.F. CALCULATION OF QUADRATIC LYAPUNOV-KRASOVSKII FUNCTIONALS FOR LINEAR AUTONOMOUS SYSTEMS WITH AFTEREFFECT

For linear autonomous systems with aftereffect method for calculating the quadratic Lyapu-nov-Krasovskii functionals is proposed. Finding their representations reduces to the solution of boundary value problems for functional differential equations.

Key words: differential equations with aftereffect; stability; quadratic functionals.

2508