Исследование оптимизации процесса теплообмена в технологии сушки овощей Текст научной статьи по специальности «Математика»

— 2 , — (K - 1)(3 - K) , (K - 1)(K + 1 - 4к)2

<Jyср — 2 + Ступр, Uynp — 2 + 3K(K + 1)2 ‘

В третьем варианте, определяемом условием 0 ^ к ^ ко,

°упр — (K - 1)(2 - 2к - (1/6)VK(K + 1)VK + 1 - 4к).

Приведенные формулы дают силовой критерий состояния предразрушения растягиваемой полосы, содержащей поперечный слой из менее прочного материала.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дильман В.Л., Остсемин A.A. О напряженно-деформированном состоянии при растяжении пластического слоя с двумя осями симметрии // Извстия РАН. Механика твердого тела. 2001. № 6. С. 115-124.

2.Ерошкина Т.В., Дильман В.Л. Математическое моделирование напряженного состояния поперечного пластического слоя в круглом стержне // Известия ВУЗов. Математика. Казань, 2011. № 11. С. 12-22.

Dilman V.L., Nosacheva A.I. MATHEMATICAL SIMULATION OF CRITICAL STATES OF THE PLASTIC LAYER

Mathematical models critical states of heterogeneous connections with plastic layer were developed and investigated on the basis of approximate solutions of boundary value problems for a system of nonlinear partial differential equations of hyperbolic type. The power fracture criteria for such compounds are obtained.

Key words: nonlinear hyperbolic equation; plastic layer.

УДК 664.66.085

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ТЕПЛООБМЕНА В ТЕХНОЛОГИИ СУШКИ ОВОЩЕЙ

© К.А. Додаев, Ш.М. Маматов

Ключевые слова: оптимизация; управление; сушка; технология; влажность; скорости сушки.

Статья посвящена задаче оптимизации многоступенчатых теплообменных систем в технологических процессах сушки овощей. Задача приведена линейным дискретным системам и с помощью принципа максимума найдено оптимальное управление для решения поставленной задачи, произведено численное исследование.

В современных условиях жёсткой конкуренции на рынке выдвигается проблема повышения эффективности переработки сырья биологического происхождения с выработкой качественных, полноценных и безопасных в санитарном отношении пищевых продуктов. Повышение качества продукции и экономических показателей её производства во многом определяются достижениями в совершенствовании гидромеханических и теплообменных процессов [1].

Новым, перспективным научно-техническим направлением в перерабатывающей промышленности является тепловая сушка применяемых во всех регионах. Этот способ сушки продуктов основан на передаче тепла высушиваемому продукту за счет энергии нагретого сушильного агента - воздуха или парогазовой смеси. Сушка продуктов при этом способе происходит при смывании продукта нагретым газом, воздухом, топочными газами, перегретым паром и другими теплоносителями, которые имеют температуру, отличную от

2504

температуры подвергающегося сушке материала. При этом способе сушки за счет сообщаемой продукту тепловой энергии идет испарение находящейся в продукте влаги, а унос паров влаги осуществляется сушильным агентом. В пищевой промышленности чаще всего применяют конвективный способ сушки, при котором воздух, имеющий более высокую температуру, соприкасается с продуктом, отдает часть теплоты и воспринимает влагу из продукта. Теплообменные установки часто встречаются в пищевой промышленной технологии. Поэтому даже незначительное улучшение их конструкции может дать существенные выгоды. Теплообменные системы обычно проектируются многоступенчатыми способами. В этой заметке мы рассмотрим задачу оптимизации многоступенчатых теплообменных систем [2], [3].

Рассмотрим простой системы последовательно соединенных теплообменников, холодный воздух поступает в первую ступень с определенной температурой г0 = а и покидает последнюю ступень с температурой = Ь. На каждой ступени он подогревается горячим поперечным потоком. Входная и выходная температуры горячего потока на п -ступени будут, соответственно, ЬП и Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь случая, когда ШСр, произведение скорости потока W удельной теплоемкости Ср, одинаково для всех участвующих в процессе потоков.

На пищевых производствах широко применяется рациональное теплоиспользование, когда в качестве греющего теплоносителя используются жидкие пищевые продукты, вторичные пары и конденсаты. В большинстве случаев непосредственный контакт пищевых продуктов с другими теплоносителями недопустим, поэтому теплопередачу осуществляют в различных теплообменниках с поверхностью нагрева - твердой стенкой, разделяющей рабочие среды. Такие теплообменники называются поверхностными; поверхность нагрева конструктивно выполняется в виде труб, пластин, рубашек и др. Основной задачей проектного расчета поверхностных теплообменников является определение величины и конфигурации поверхности нагрева - площади этой поверхности, геометрических размеров ее элементов и т. д. Поэтому наша задача будет состоять в выборе такой площади каждого теплообменника, чтобы общая площадь всех теплообменников была минимальной при условии, что г^, гУ и ЬП, п = 1, заданы. Уравнение теплового баланса для п -ступени

шср(4 - 4-1) = ШСР(ЬП- % ),

или

/1 _ г 1 = /2 _ г 1

Ьп гп Ьп гп— 1,

показывает, что разности температур потоков на входе и выходе ступени равны. Приравнивая количество теплоты, приобретенной

ШСР(гП- гП-1) = ипОп (/П- 2П), (1)

где ип - суммарный коэффициент теплоотдачи для п -ступени. Разрешив уравнение относительно х1п, получаем уравнение преобразования п -ступени холодным потоком, количество теплоты, отданной на этой же ступени горячим потоком, получаем

1 = 2п-1 + ип Ьп@п и = ип (2)

2п = 1 + ипвп , п = ШСр. ( )

Вводя новую переменную состояния г2, удовлетворяющую уравнению преобразования и начальному условию соответственно

4 = 4-1 + вп г0 = о, (3)

2505

отсюда с помощью соответствующего выбора последовательности вп, п = 1, 2 , 3,...,М можно минимизировать значение гУ. Из равенств (2) и (3), применяя принцип максимума,

получим

Т(4-ъ вп) =

4-1 + иХвп і ; в) = в

, G(zn-1; вп) = вп

1 + ипвп 1 п-Ъ П>

Беря частные производные от обеих частей выражения (4) по г^_1 и вп, находим

дТ(гп_1; вп)

dz1 (Jzn-1

1

1 + ипвп

n = 1, 2,N,

дТ(zn-i; вп) = Un(tln — zi-1) двп (1 + Unen)2

9G(zi_1; en)

, n = 1, 2,N,

dz1 dzn-1

dG(zln_ 1; en)

дв„

= 0, n = 1, 2,...,N,

= 1, n = 1, 2, ... , N.

Используя функции Гамильтона из уравнений (5)—(8), получим

(1 + Unen)2

Un(tn 4-^ Un+1(tn+1 zn)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Решая уравнение (1) относительно ипвп и подставляя результат в уравнение (9), получаем

4-1 = 4 + (4 - О

Un(zn - tn) _Un+1(zn+1 — tn+1)

1

(10)

Так как значение гу фиксировано, мы можем начать вычисления, задавшись значением гу_ 1- Соответствующие значения гп, п = N — 2, N — 3,..., 2 , 1 находим из уравнения (10). Цикл вычислений повторяется до тех пор, пока вычисленное значение г0 не будет близко к заданному числу. После этого не представляет труда из уравнения (1) определить оптимальные площади каждого теплообменника.

Нами с помощью принципа максимума полностью исследовано оптимальный выбор площади каждого теплообменника для общей задачи, описываемой линейными дискретными системами и произведено численное исследование для конкретных видов простых трехступенчатых теплообменных аппаратов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чагин О.В. , Кокина Н.Р. , Пастин В.В. Оборудование для сушки пищевых продуктов. Иваново: Ивановский химико - технологический университет. 2007. 138 с.

2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К вопросу о распространении принципа максимума Л.С.Понтрягина на дискретные системы // Автоматика и телемеханика. 1966. № 11. С. 46-51.

3. Абдурахмонова Ю.М., Ботиров Т.В., Файзиев Ш.И. Субоптимальное адаптивное оценивание расширенного вектора состояния динамических систем // Химическая технология. Контроль и управления. 2010. № 4. С. 75-77.

Dodayev K.A., Mamatov Sh.M. RESEARCH OF OPTIMIZATION OF PROCESS OF HEAT EXCHANGE IN TECHNOLOGY OF DRYING OF VEGETABLES

Article is devoted to a problem of optimization of multistage heatexchange systems in technological processes of drying of vegetables. The task is given to linear discrete systems and by means of the principle of a maximum optimum control for the solution of an objective is found, numerical research is made.

2506

Key words: optimization; management; drying; technology; humidity; drying speeds.

УДК 517.929

ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА-КРАСОВСКОГО ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© Ю.Ф. Долгий

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с последействием; устойчивость; квадратичные функционалы.

Для линейных автономных систем с последействием предложен метод вычисления квадратичных функционалов Ляпунова-Красовского. Нахождение их представлений сводится к решению краевых залач для функционально-дифференциальных уравнений.

Рассматривается линейная система дифференциальных уравнений с последействием

о

dx(t) dt

где t € К+ = (0, +гс>), x : [—r, +гс>) ^ К”, матричнозначная функция п имеет ограниченную вариацию на [—r, 0], п(0) = 0.

Методы вычисления вадратичных функционалов Ляпунова-Красовского для различных классов линейных автономных систем с последействием предлагались в [1-3]. В данной работе показано, что нахождение представлений квадратичных функционалов Ляпунова-Красовского связано с решением краевых залач для функционально-дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений с последействием описывается в гильбертовом пространстве H = К” х L2([—r, 0), К”) уравнением [4]

dxt .

-гг = Axt, dt

где неограниченный оператор A: D(A) ^ H определяется формулами

о

(Ax)(§) = ^, § € [—r, 0), (Ax)(0) = J dn(s)x(s),

—r

D(A) = {x(-) : x( ) € W1 ([—r, 0], К”)} .

Задается линейный ограниченный самосопряженный оператор W : H ^ H и рассматривается уравнение Ляпунова

U A + A*U + W = 0,

— Г

2507