Устойчивость вязкоупругих элементов стенки канала при гидродинамическом воздействии Текст научной статьи по специальности «Физика»

III. СООБЩЕНИЯ

УЦК 539.3: 533.6: 517.9

A.B. А11КИЛОВ, П.А. ВЕЛЬМИСОВ

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУ1СРУТ ИХ ЭЛЕМЕНТОВ С ГЕНКИ КАНА. IA ПРИ ГИДРО ЩНАМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Статья посвящена исследованию устойчивости стареющих вязкоупругкх пластин-элементов стенки канала, с учетом взаимодействия с потоком идеальною газа (жидкости). Принятые в работе определения устойчивости вязкоуппугпго тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунов Подобные задачи рассматривались в [1-6].

Аэрогидрсдинамичсское воздействие на пластину определяется из асимптотических уравнений, полученных на основе анализа уравнений а рогк,родинамики. Рассматривается плоская задача аэрогидромеханики, в связи с чем уравнение, описывающее динамику пласгины, совпадает по форме с уравнением колебаний стержня. Предполагается, что пластина сжата продольной силой и опирается на вязкоупругое стареющее основание, реакция которого определяется на основе модели Винклпра Заляча исследуемся в линейной постановке

Механическое поведение материала пластины описысастся моде чью вязкоулругого тела, которая основана на фундаментальных концепциях Больимана и Вольтерра и теории реологических моделей, восходящих к Дж. Максвеллу. В. Фойхту и Дж. Томпсону Согласно этой модели напряжение в любой точке пластины зависит от предыстории деформирования материала в данной точке. Связь между напряжением и деформацией подчиняется линейному уравнению Вольтерра-Фойхт4 Под таренпег,: материала понимается изменение его физико-механических свойств во времени.

Построение решения аэпогидродинамнческой части задачи (а именно решения двумерной краевой адачи для уравнения Лапласа) проводится методом исключения потенциала скорости, при этом аэрогидродинамическая нагр>зка (давление газа или жидкости) определяется через функцию, описывающую неизвестный поогиЬ пластины При подстановке выражения для давления в уравнение колебаний пластины решение задачи сводится к исследованию интегро-дифференциального уравнения с частными производными для функции прогиба.

Исследование устойчивости проводится на основе построения положительно определенного функционала, соответствующего указанному уравнению Полученные условия устойчивости накладывают ограничения на меры релаксации пластин и оснований, сжимающее пластину усилие скорость невозм1 тленного однородного потока, киэффициенгы внугреннего и внешнего демпфирования, коэффициент жесткости основания и другие параметры.

Рассматриваегся плоская задача о динамической устойчивое га вязкоунру-гих плас лан-элементов стенки канала при протекании в нем потока иде&(ь-

86

Вестник УлГТУ 1/99

ной несжимаемой жидкости, на входе и выходе из которого ¿алан закон изменения потенциала скорости. Магматическая постановка задачи имее! ви, г

^+<^=0. х е(0,хо),.у е(0,.уо), (1)

2к-\>а2к)>

(3)

кг-. 1

Ьк(\Ук)ш

р(0,д/,Г) = 0. Ф(х„у, Г) = 0, уе{0,уо), (4)

%к(»к) = -Р(1Р, (*>.М) + У<рх(х,у0,П), хе( а2к_х,а2к\ (5)

н

( А Л

' г >

\к(х>Ш

V о >

Исдекеы снизу сбозЕат.ают производные по х,у; пггрих и точка- производные но х и ? соответственно; р - плотность жидкости V - скорость невозмущенного потокз газа; П - изгиппая жесткость; ядра релаксация, ЬЛ~ погонная масса пластин, N - сжимающа» ^растягивающая; пластину сила, - коэффициенты внепшего и внутреннего демпфирования; Д - коэффициент жесгкости основания Неизвестными ф\нкциями яь шются

- прогибы вязкоуппугих пластин и <р(х,у,()~ потенциал скорости. Возьмем потенциал скорости в виде

® >> +е'я*у)*шЛкх " У ктт

а21-\

Условия (1)-<4) выполняются Нодставляя выражение д,1я потенциала скорости в уравнение (5), решение задачи можно свести к исследованию системы уравнении гщя н (х,г » :

= —з—1

ХС к=1 лк ¿=1 Ь

+ УАк ятЯ^х] (

м'Дг.?) + Ри1, (т, ?)) сояЯ^г ¿/г

соя Я., х | (Л. (г, 0 + Ум>' (т, /)) со« Як т с1т +

(6)

Исследование устойчивости проводится на основе функционала: Вестник УлГТУ. 1/99

п 2г

т=£ \

'=1

а2/ I

Ш? + I

I $ 0

+ Д

0.

{1 + 0,,(X, 0,ПК2 + Г— |г

¿с+ /(/) +Л/),

| *=1 'ч «=1 )

Пусть концы Еязкоупругих элементов закрещены жестки (и = и>' - 0),

дОъ

я^ра релаксации =--удовлетворяют услозиям

¿Уь д1

ск

(*А0 - о,

дг скд1

1+С^(х,0,оо)>0, 0<г<//г = 1,2 и выполнены неравенства

Ц >0, Д, >0. Дъ <0, Д >0, £ >0, N . Тогда для функций являю-

"щхся решением системы ураьнений (6), имеем Ф(г) ^ 0, Ф(г) <; ф(0). С огласно неравенств)' Реттея получим слетуюшие оценки

о-,, а2,

1

#1

«21 -1

«2.-1 - аИ

а2. 1

где Л, -наименьшие собственные >начения краевых задач лтя уравнения 1//""(х) = -Яу/"(х) с указанными выше граничными условиями [6,7] юльзуясл этими неравенствами и предполагая, что выполняются условия

2рУ2 <&сткЛА

>

10

2 х

-I

0 *=--!

'к У

по 1учим следующую оценку

2рУ" ^сОнл у

/=1

Л

ч Ч

*=1 А

-ы:

({а/,*?(*,<)) + 1=1 =1

\ 2

10 Л* 1=1 Ча

2 -1

5

у

У

88

Вестник УтГТУ 1/99

Из этого неравенства следует, что решения системы уравнений

устойчивы пс отношению к возмущениям начальных значений и; (х,0),и>Д.х,0), и>%х:,0).

Область устойчивости на плоскости (F, Л) ограничена прямой V = с и ветвью параболы N = d - ß 2 ,с > 0,d > 0,/ > 0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих тел и элементов конструкций // Итоги науки и техники. Т.19, Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1987. С. 3-77.

2. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоцно-родных тел. М.: Наука, 1983. 336 с.

3. Вельмисов H.A., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих систем. Саратов: Изд-во СГУ, 1991. 180с.

4. Вельмисов U.A., Колмановский В.Б., Решетштков Ю.А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью // Дифференциальные уравнения 1994 ТЛО Вып. 11. С. 1966-1981.

5. Вельмисов П.А., Решетников Ю.А. Устойчивость ьязкоупрутих пластин при аэротидродииамическом воздействии. Саратов : Изд-во СГУ 1994." 176 с.

6. Анкилов А В., Вельмисов H.A. Устойчивость ьязкоупрутих элементов тонкостенных конструкций при аэрогидродинамическом воздействии. Москва. 1QQ8. 131с. РИНИТИ-Ы2522-В98.

Вельмисов Петр Александрович, канОиоит физико-математических наук, Ооцент заведующий кафедрой «Высшая математика» Ульяновского государственного те хнического университета Окончил механико-математический факультет Саратовского государственного университета. Имеет монографии и статьи по аэрогиоромеханике, аэроупругости, математической физике, устойчивости.

4гасччп9 АидреИ ЗлсЗимирозич, аспирант Ульхпиа^кого госуоарапвенного технического университета. Окончил механико-математический факультет Ульяновского филиала Московского государственного университета. Имезт статьи по аэрогидроупругисти, устойчивости.

Вестник УлГТУ. 1/99

89