CC BY
7
УДК 517.9:533.5:539.3
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Н. И. ЕРЕМЕЕВА
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДОЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНЫ С ВЯЗКОУПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Описывается один из методов численного решения задачи о двустороннем обтекании полубесконечной пластины с двумя вязкоупругими элементами. Численный метод заключается в сведении решения задачи к исследованию системы интегро-дифференциапьных уравнений с помощью метода Галер-кина, в преобразовании системы в векторное интегральное уравнение Во-лыперра второго рода и решении интегрального уравнения методом простых итераций. Кроме того, выводятся условия, при которых применение метода итераций корректно.
Рассматривается плоская задача аэрогидроупругости о бесциркуляционном обтекании пластины-полосы с двумя вязкоупругими элементами (вставками) потоком идеальной несжимаемой среды. Вставками являются пластины из вяз-коупругого материала. Предполагается, что ширина пластины значительно превосходит ее длину. На плоскости хОу, в которой происходят совместные колебания вязкоупругих вставок и газа, на оси Ох пластине со-ответствуют отрезки [я,Ь], [е.г^, [Ъ,сю], вставкам - [Ъ,с] и [^]. В бесконечно удаленной точке скорость газа равна уО и имеет направление, совпадающее с направлением Ох. *
-------\ .------- лала,—--^
о Я А с 4 А д
Ри^. I Рдствсват схема пмспиы с венпяш
Если обозначить через w1(x,t)и ^^(х,!) прогибы пластин, ф- потенциал возмущенного потока, то математическая постановка задачи будет иметь вид:
лч>=ч)„ +(р>у (I)
Ф* = Дм (2)
(3)
<4)
^-чл
ф; ь^ + ^и^.леЦй),
£
О
а
п I ЙгЙ
:ЯС - '-0/)+ Л V, - 9- ] д е {Ь. с\у * о,
- ф,-) + ру, (|р; ^ Ф; } * е (у. а ). у = о,
№ и)
где р - плотность газа; D - изгибная жесткость; Я] (х,1),Я2(х,1) - ядра релаксации, характеризующие вязкоупругие свойства материала вставки и ее основания; М -погонная масса пластины; N сжимающая (растягивающая) пластину сила; р,,р2 -коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования; |30 - коэффициент жесткости основания. Кроме того, искомые решения w2 (хД) должны удовлетворять начальным и граничным условиям.
Авторы описывают один из численных методов решения рассматриваемой задачи, а также выводят условия, при которых метод корректен.
Выразим правые части уравнений (7) и (8) через функции прогиба и>|(*,/)^2(]с,:0. Для этого в области 3 = R2 \[а,со), считая / параметром, введем комплексный потенциал W = (р(х,уД^§(х,уД), где ф(х, >',/) - функция
тока, z = х + iy. Обозначим
ь
]К + т, К*1е 5«-
о(а:,г)= Ье-
(9)
С помощью функции ч' ^ ® конформно отобразим область 3 на
верхнюю полуплоскость "г Воспользовавшись интегралом
Шварца, будем иметь
ЛмМНч^й-.
Продифференцируем полученную функцию по ъ\
(Ю)
ГАгА-
]
■Ох
Ш)
Тогда по формулам Сохоцкого получим: 37 Вестник УлГТУ 1/2001
Ъ"г , т. v.r- adi.
-KUO7
х-* - г т \
Из этого следует, что уравнения колебаний можно записать в виде:
(12) (13)
2pv0
Т\'лг ;
ТС i
KfV^A+kfv)—
1 й Л-Т
ye—tjV*—л + Jffll fi. f ; ^
A ¡14]
Для численного решения уравнений (14) и (15) воспользуемся методом-Бубнова-Галеркина. Согласно этому методу решения уравнений будем искать в
fc f H i tf (* j, fi)/i (jt>N fié)
виде M
g >; (*) ш jk сол Xk (x- Bk sto\k (x ~ b)+Ctch'K t (x - b)+ Dkshlik (x- b),( l 7) где N*c™Vk(x-<thMtsmtik(x-<i}+ pti.h[it (x - d)+ Qk sh[iÉ (x - d).
Коэффициенты Ak,Bb,Dk,Ck,Nk,Mk,Pk,Qk и параметры Xk,\ik выберем так, чтобы выполнялись граничные условия для Wj(x,f) на [b,c\ и для w2(x,/) на [d,h\.
Заметим, что А, А, р. 4 и g*(x),/A.(x) - собственные значения и собственные функции краевой задачи ут(х) = ос4у(х) на [b,c] и [d,h] соответственно, еле-довательно, система функций {g;.(x),& = I...00} ортогональна на [bLc], а система
l> iC^I^ - J JНЭ [l-l j. Подставим разложения (16), (17) в уравнение (14) и найдем невязку урав-нения. Умножим невязку на gm (х) и проинтегрируем по отрезку \b,c\, тогда, учитывая ортогональность (х),А: = 1...сс| на \b,c\ и
вводя обозначения
к к í * л
= ^ К И*. Сйф- ^ {bbh te» Ы-л № -
'» л
- f \L ИчЙМ- л № + - К (tK(/,W-л (ф?+
11 f * л
л .-í
Л 1 л Я j
Получим систему п интегро-дифференциальных уравнений второго порядка:
*-! ¡t-1 t-i +Ёк« ^(O + ÍX* hit)-
A-l £4 ¿=í
J o
Аналогично получим систему еще п уравнений
^¡W+É^aíW + Ée-tííW + e-iPiWi+Sífe + t!)« l-l ¿-1
t-i й-l e _ o
-2p к Ш* M* * Щу„ №t № J 71 f ' 1
11 í1 * h 39 Вестник УлГТУ 1/2001
и* - - К ('Ь (й* М - & («)-*, №+
и = "-V.it К(л М Л № * - л № -
Л л 11 А
ТС 4
11 к тс ,, ,н
Итак, поставленная задача сведена к системе 2 п интегродифференциальных уравнений второго порядка, в которой искомыми являются функции ак^) и Ькф, к = \...п. Полученную систему можно решать различными численными методами, например, сводя к векторному уравнению Вольтерра. Для этого обозначим:
Тогда система примет вид:
+
*-! 4)
¿Ии,»;у {>)+■ £ С'Ь Х^Й-ь
4=1 4=1 * "I
*■■! П
Если принять 40 Вестник УлГТУ 1/2001
■ 11.1
4)= «М МО II Й ■ ■ 13 |н ти - *Й>
АЙ; ■ ■ 4Ц,
'Л?
я и
Уж* Хн1
№
г»
■'и /
*и
гц 011
«Я
в..
(3=
... о о
о ... я? о о о
л с
О О О
то получим уравнение в матричной форме
Л й'(()+ £«'{')+ Дм(0= . (21)
умножим обе части уравнения (21) на А 1 слева:
I
г(г)+ ¿иг(г)+2Г'и(г)= = [о/й = л 'д.
Теперь
(.22}
И, наконец, делая замену , "' . получим:
Г ° Ф) с= «ад
Здесь мы обозначили О,E,D,B,Q- квадратные матрицы порядка 2п.
Уравнение (22) является уравнением Вольтерра второго рода и поэтому имеет единственное решение, причем это решение можно найти методом 41 Вестник УлГТУ 1/2001
О £ О 0 0 £ ОМ -О-в,
итерации.
Выведем условия, при которых итерационный процесс будет устойчивым, то есть применение численного метода будет корректно. Численный метод называется корректным, если: 1)при любых входных данных решение задачи существует и единственно: 2} метод устойчив, то есть малому изменению входных данных (коэффициентов уравнения, начальных условий) соответствует малое изменение решения.
Естественно, что для практических расчетов можно использовать только устойчивые методы, так как неизбежные погрешности при расчетах на ЭВМ в случае неустойчивых методов приводят к неверному решению.
Рассмотрим на множестве L векторных функций V(t) (/, - линейное
пространство) отображение 0 Заметим, что некоо
торая степень отображения А является сжатием. Тогда уравнение AV -V имеет одно и только одно решение. Таким образом, доказано первое условие корректности метода - то, что решение рассматриваемой задачи существует и единственно.
Для доказательства второго условия рассмотрим на L еще одно преобразева-
ние о Очевидно, что В - линейный оператор, и
уравнение (22) можно записать в операторном виде
■ Зафиксируем в L некоторый базис, тогда уравнение переходит в матричное
(2J)
где ф - столбец координат векторной функции V{t), 7- столбец координат С, В -матрица оператора В в фиксированном базисе.
Уравнение (23) разрешимо относительно ф, так как вследствие единственности решения уравнения Вольтерра матрица (Е - В) всегда имеет обратную.
|=<Б-В)Г1,Г-ЛГ. (24)
%
ф = (Е - В)-1 • / = А • / . (24)
Пусть ф,. ф2 - решения уравнения (23) при / =/*, и I = 12 соответственно.
1огда 1 . Это означает, что, если ||Л| огра-
ничена, то малым изменениям I (начальных данных) соответствуют малые изменения ф (решения задачи). Аналогично доказывается, что если ср,, ф2 -решения уравнения (23) при В = В, +ДВ и В = В, соответственно, то если |'Ajj ограничена, то малому АВ (изменению коэффициентов уравнения) соот-ветствует малое изменение ф (решения задачи).
Итак, для доказательства корректности метода достаточно доказать ограниченность нормы матрицы Л.
Заметим, что матрицу О можно представить в виде
д-А->
"(Л1, А, (т, г)+ ЛГгнй, (т, г)1.
: -' Кроме
того, обозначим Y = - D, 2=~ В, тогда верна следующая теорема. Теорема. Если функции Япх.1) и Я2{хД) таковы, что ¡^ 3 числа М\,М1,А\,А1> 0, для которых
Т 1 Г 'М, 1
гх,Хк РА К«, ъм - Л"' оа1М; РА, к.И
у вчй М. ■
„ 4 ■ м/а
■ , ■
I 1
1*Я && ар
то независимо от элементов матриц Х2,У,2 матрица Л = (Е-В)-1 ограничена по норме, где В - матрица соответствующего оператора Вольтерра
( о' Е О'
В ■ ДОиИ*)* с й(Тр*} = о О Е
У 2 е-
- • • ■ 1, записанная в любом
базисе.
Доказательство.
Выберем в качестве базиса в линейном пространстве Ь (Ь - множество вектор-
ЧС'.Г
ных функций
гп
о
ьдо;
'01 ('1 ..Го1] о I
:£;.< 1
;
О
Находя образы базисных векторов, составим матрицу В оператора
и . Затем методом элементарных преобразований мож-
Ь-,
но найти Л = (Е- В)"1. Если обозначить
'¡-.3,^-1^1 ■■■ ¡Ът'Л^
Ч*. -1 У -
1.1ц'
где /( I - элементы матрицы Л, то
получим:
Е Е У
Е
г 3«
Е
2
2*' ¿1 2м ¿1 & 4. 2 2 'г 2
А*. & ¿г
& £ 4, -V
-Е Е 3
|А|.
'21 к
В качестве нормы матрицы Л возьмем | / ..., Учитывая
I ,={ структуру матрицы Л, для доказательства ограниченности |Л|[ достаточно доказать сходимость ряда £ w„ где wt- равен сумме модулей слагаемых, из которых состоит // j. Члены ряда YJWI задаются по формулам: ТЭ
^Ьш-йшА
Легко доказать, что ряд 2м{ сходится одновременно с рядом при
любом фиксированном к = 1...:п. Но вследствие способа задания и
оценок 1 1 следующих из условия теоремы, можно получить оценку
значит ряд сходится и таким образом теорема доказана.
Важным примером функций, удовлетворяющих теореме, являются функции
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1987. - 688 с.
2.Гахов Ф. Д. Краевые задачи. - М.: Физматгиз, 1963. - 640 с.
3.Вельмисов П. А., Решетников Ю. А. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1994.-176 с.
Вельмисов Петр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механико-математический факультет Саратовского государственного университета. Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэрогидроупругости, математической физике, устойчивости.
Еремеева Нина Игоревна, старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Димитровградского филиала УлГТУ, окончила механико-математический факультет Московского государственного университета. Имеет статьи по аэрогидроупругости, устойчивости.
