CC BY
7
А.В. АНКИЛОВ, П.А. ВЕЛЬМИСОВ
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ СТЕНКИ КАНАЛА
Исследуется устойчивость стареющих вязкоупругих пластин- элементов стенки канала с учетом взаимодействия с потоком идеального газа (жидкости). Принятые в работе определения устойчивости вязкоупругого тела соответствуют концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову[1]. Подобные задачи в плоском случае рассматривались в [2-5]. В данной работе рассматривается трехмерная задача.
Построение решения аэрогидродинамической части задачи (а именно: решения трехмерной краевой задачи для уравнения Лапласа) проводится методом Фурье. Решение задачи сводится к исследованию системы интегро-дифференциальных уравнений с частными производными для функций прогибов.
Исследование устойчивости проводится на основе построения положительно определенного функционала, соответствующего указанной системе уравнений.
Подученные условия устойчивости накладывают ограничения на меры релаксации пластин и оснований, сжимающие (растягивающие) н сдвиговые усилия, скорость невозмущенного однородного потока, коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования, коэффициент жесткости основания и другие параметры.
Исследуется задача о движении идеального несжимаемого газа в трехмерном канале прямоугольного сечения, одна из стенок которого содержит вязкоупругие элементы в виде прямоугольных пластин.
Исследование устойчивости проводится в линейной постановке, соответствующей малым возмущениям однородного потока газа и малым прогибам вязкоупругих элементов стенок канала. Рассмотрим движение газа в канале
0<у<И,0<кв^. Скорость невозмущенного потока газа равна V и
направлена вдоль оси Ох. Предположим, что вязкоупругими являются части стенки у=Ь при = |/с2:х &\ак,Ьк], г е[сд ,</*]}, £ = 1 + При этом
пластины не перекрывают друг друга.
Введем обозначения: м>к{х,г,1\к~ \ + п) - прогибы вязкоупругих
вставок; а> - (р{х,у, г, г) - потенциал скорости возмущенного потока газа;
т = {(х,г) б К1:0 < х < /,0 < г < в).
Математическая формулировка задачи имеет вид
<Рхх (х,у>г)еА (1)
<py(x,h,z,t) = 0, (х,г)бПШпД
î /
py(x,0,z,t)=0, (x,z)eT;
<py(x,h,z,t)= *V, +У л. ' (*,г)еП4,*=1 + и,
(x,>>,(), t) = <рг t) = 0, 0 < x < /,0 < y < h,
<p(0,y,z, t) = <p(l,y,z, t) = 0, 0 < y < h,0 < z < в-, LkO*) = -p{<pt{x>h,z>t) + V<px(x Д z,/)),(x,z) еП4)Ьки;
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
+ 2
âc2âz2 dz
+
¿3c ¿è
tS aS ^
+ 2-
+ 2 (x,z,T) + ^-~(x,z,T)\dT] + —r
+ + + —+ Nm -^f- + A* (.')»'* +
+
+
(S)
Здесь и в дальнейшем индексы x,y,z,i снизу обозначают производные по x.y,z,t; точка - производная по t; р - плотность газа: V - скорость невозмущенного потока; ¿Л — изгивные жесткости; л\ti г,11.н->il t.î) —ядра
релаксации, характеризующие вязкоупругие свойства материала вставок и их оснований; Mk - погонные массы пластин; NiJr), Nt(r^ - сжимающие
(растягивающие) и сдвиговые усилия; - коэффициенты внутреннего демпфирования; - коэффициенты внешнего демпфирования; /30к -коэффициенты жесткости оснований. Начальные данные:
гт I "
отенциал скорости ç(x,y,z,t) будем искать в виде
(9)
i m-}
/1 РА \ * - i
s,m
S
Уравнение (1) и условия (3), (5), (6) выполняются. Удовлетворим граничным условиям (2),(4). Введем обозначение a>(x,zj) = <py(x,h,z,t),(x,z) е Г.
sinv^xcos/^z sh{^¡v2m+£h\ +
(П)
+ smvmx sh(vmh) = a>(x,z,r)
m= l
Интегрируя равенство (11) по переменной z в пределах от 0 до в, умножая полученное равенство на sin vrx, r = l + 8 и интегрируя затем по х в пределах от0 до /, найдем (pm{t)
1 61
9т(0 = д т/ ,Ч J¡Oí{x,z,t)sinv^dxdz. (12)
Умножим равенство (11) на cosprz, г = и проинтегрируем по г в пределах от 0 до #
I>«(0sin(v-x)61 + f<y(*,z,í)cos^zúfe
ж=1 О
Умножая это равенство на sin vrx, г - 1 + 5 и интегрируя по х в пределах от О
до I. найдем ©___(Л
~ 0 /
(/) = —-------_ , _ ^ f f¿y(x,2,sin cosfiszdxdz (13)
ЙУ»í + MÍ^УV¿ + ¡4hJ óo С учетом (12), (13) уравнения (7) примут вид
/г _ .
í i . 2 . I i i
4р 4, «av ,
h = X —^гт—2 sin cos/¿í" 2- J №
и í^r=i \rm + ¿c '»i c,
2p * . . . .. x sinvmxcosfiszdzdx- — ¿j-^mvj^ J Ж + Vwa)smvmxdzdx~
& 1 K-rr 1=1 C,C,
j¡ v ntfJ.iv2 л /i -ч tpv р » \У» ■-■•I V^ f f • тл - U4» ---— > -^--mn; Yí-íTeii -7> i ii w +Vw i.tmv гу v
Шх-í i 2 2 ---"и-----rr¿jj Д "/ ' '
9 r- ^ s в ^
X cosi^zí&fr—— J.cfM'v,/?)«).?j + ;sinv^xdzdx,(x,z) eiík,
a, c,
T \
i ле опеоатоо Ll i w,. i имеет вил í 5 í.
- - А V ft /
Получим достаточные условия устойчивости решений системы интегро-дифференциальных уравнений (14) по отношению к возмущениям начальных условий.
Будем предполагать, что ядра релаксации 1,2;* = 1 + я) при
О < г < / удовлетворяют условиям
а('.')=о,
-а Иг(т-',£а !+а<0оо>> а
(15)
Введем функционал
' щ С( О
и^т))2 +2(<(х>г,/)т))2 +(тС(адО-<(адО)2 Ы
I ,> >
V
ч 2
» 2 ) г 1 , Х-1 /' Т . Г ^
¿=1
А Ч »(«II
АСУ
¿—I
го
га . _ ; 1 1. и
и 71
/1 ™ * 1
^ ^хсо&^аЫх
Ч 'ж 1 л**
щ
ж#ч 2р^ак{утк)( «А
/„ (?) = — У —у Г С05 у_хсЬск! .
^ ' ГЦ ,, Л— ^ ^ * ™ I
М И=1 Ут )
МО
1
¿^ \2 I , ! 2 ¿-г ] ■)
СЯ ,,^.11..«* < (,,2 , „¿IV у..
М^СОЗУ^ХХ
п Ьч
т ■ • щ ь,-
\2
х соз /л^сЬсЫ + ~ £ ( сое у^соь^тхкдх
N 2
\
ее
гпс V Г]
I I " Н И----ГН
(17)
где степени а и у - некоторые оптимизационные параметры условий устойчивости.
Найдем производную от Ф по 1 Предполагая, что
М{ > О, Д > 0, Д0д > 0, О, /=1 + л, (18)
с учетом условий (15) будем иметь
* ь<*1
ф < }|{ м^щ + д[(1++2«+«)■
1+
+ ¡^(К(*,*,'Х<(х'*>0 - <(*>*>*))+ х
X (*£(х,г,/) - (х,г,т)) + <(х,{х,2,г) - т)Ут] +
Ш
! дт
1 2
-.¥ (г»;" И? -Г м?"чЛ — М а-'го' \dzdx + V (т 4- У V
-л"ЛГ.- -г/..... _ .........ч 'гдо:
= м№ + + + ~ * ■'=5 я, лЛ о СП
^ _ ] Г ^ - ^: ^ У"' - | ~
1 1 2 . . »т • < I ^ 1 т «с . \ -ьг 1 # (¡11 V 1 / т т \
- + 2 ^»Д*^* + я¡еиа + ¿,{1,+
Пусть концы пластин закреплены жестко, тогда граничные условия для (г = 1 -ни)имеют вид
/ Л г? Л ... { . л .Л ...» I.. J .Л /ч /лт
) = п^х,^ ) = и, ) = ; = и.
Потребуем также выполнения условий
4>0, ^>0. (21)
Тогда для функций н>г(х,г,/)(г = 1-^и), являющихся решениями системы уравнений (14), полученное неравенство принимает вид:
л М
1=1 а, с.
И»,
Ар £ + ^ . - М/ Ч
X -/ 2 , ^^сов^гХ 1Я V, + I х
X 5111 СОБ^^Ых + 2--8Ш ^Х^ 111 Н-, + I X
Ш »=1 Кя <=1 с, 7
X 3111 Утхй2(1х + —- 2, -■ , --С05ГМХС05^ГХ
01 *** +
л М) 7 оУ S Х I I + ^Чх)^ ^т*ЫЪЦ^йх + =-— X С*Л(умй)с08 УжХ X
м1(, « т= 1 и ^ 2
Подставляя в это неравенство выражения для Д (Г),/2 (Г), Л(0> Л (')> получим
1.
Так как < 0(г ~ 1,2), то согласно (16),
' \
ль 'Л ч - 8: ? < , , . 7/ лЧ . „ / .<2/ лЧ . л „2 / л\ . Ш? и / "ч > I |< лл -IV"! Г 7 1М+ I I11(4?" IV Г 1114- ¿И" { ? 7«» +
■ '' — ¿-4 } J ( - ¡ \ : ( ^ ЦН ---аг 1 ^ =
'"1 а, и
л-«,"2/» /ши^/у лг 2/v л )-1.
+ - )}(Шх + ¿/,70/
Рассматривая краевые задачи для уравнений у1¥(х) = -Лу/"(х), х = 1ч-и) с краевыми условиями (19) и = -Ху/"(г),
Г ч - ч
г е|с,,й(, |{г = 1ч-«) с краевыми условиями (20), запишем для функции м--, (х,2,1) неравенства Рэлея:
ч
Л,(1х) г « 1+и, (24)
а,
д. ф
Ы^2 (х,г,О<к > 4{1г) / и£2 (х,г,* = 1 + и, (25)
где ~ наименьшие собственные значения рассматриваемых
краевых задач. Далее, воспользовавшись неравенством Буняковского, будем иметь:
у>} (х,г, /) < (¿V - а,) }(х, г, Г)сЬс, I = 1 -г- п.
«I
4
< - ъ ) } (х,г, I = 1 + п.
Пусть выполняются условия
(26) (27)
д
2 * ^ + [ Д сй(утн)
"(В '■
Л
У
г~т\'т ■ } V ' I гз
1Г
г? 1
1
V.. л.... / а* -Р.! .у., А,. . 1/>* -К . 1.
■и.) 'К.") Н*} { ' ) ■'
(28)
(29)
(30)
/1 1 ч
(32)
(33)
в которых введены обозначения Ц =д(1+^;(0,со)], =Д„(оо)(1+^(0,оо)). Оценивая функционал (16) снизу, используя неравенства (24)-(27) и
Л/о ПЛТЕЗТ* О {'^ЯЛ-^Х'УЛ ТЗГЛ-П о л тгжттт*\* & т>т.?
Г=1
Ч
д
б?
21 — . .......
^ •/:( У1 + и:) +д;
\ 2 г
■ +
«=1
/ С/
И
]*?(*,г,+
с, 1=1
А
д*-
л 1 !
К ! <• -
. т,}^, г сгМ-/у1 -4- I
й, ^ V *» ■ "I............... . ____
01 У^ + а*;] >
*
V
Таким образом доказана теорема.
ТЕОРЕМА. Пусть выполнены условия (15),(18),(21) и (28Н32). Тогда решения ^(х^,/) системы уравнений (14) устойчивы по отношению к возмущениям начальных значений скоростей и кривизн щ (х,2,0), и^ (х,2,0), ^ (х,г,0), (х,2,0)(| = если щ (х,г,0
удовлетворяют краевым условиям (19), (20).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука,1983. 336 с.
2. Вельмисов П.А., Дроздов А.Д., Колмановский В.Б. Устойчивость вязкоупругих систем. Саратов: Изд-во СГУ, 1991.180 с.
3. Вельмисов ILA., Решетников ЮА. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. Саратов : Изд-во СГУ, 1994. 176 с.
4. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов токхсстенкьгх хоиструпщкй при аэрогидродинамическом воздействии, МоскваД998.131с. ВИНИТИ-Ш522-В98.
5. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих элементов проточных каналов. Москва, 1999, 100 с. ВИНИТИ-КЗ601-В99.
Вельмисов Петр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий* кафедрой «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета. Окончил механико-математический факультет Саратовского государственного университета. Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэрогидроупругости, математической физике, устойчивости.
Анкилов Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры «Высшая математика» Ульяновского госудорстяеинпр.о технического университета. Окончил механико-математический факультет Ульяновского филиала МГУ. Имеет статьи по аэрогидроупругости, устойчивости.
