CC BY
69УСТОЙЧИВОСТЬ ВИХРЕВОГО ВИБРАЦИОННОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ
Д. А. Полежаев
Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Под действием вибраций жидкость во вращающемся цилиндре совершает осредненное азимутальное движение относительно стенок полости. Изменяя частоту вибраций и скорость вращения цилиндра, можно возбуждать обгоняющее или отстающее течение жидкости [1]. Осредненное азимутальное течение жидкости возникает в результате фазовой неоднородности колебаний жидкости в вязком пограничном слое Стокса вблизи твердой границы. Независимо от своего направления двумерное течение может испытывать неустойчивость к возникновению вихрей Тейлора - Гертлера. Появление вихревого течения связано с развитием центробежной неустойчивости осциллирующего движения жидкости в вязком слое Стокса [2]. В надкритической области обгоняющее вихревое течение пороговым образом теряет устойчивость и становится турбулентным. Изучается переход к турбулентному режиму течения в зависимости от параметров вибраций, скорости вращения цилиндра и относительного заполнения полости.
Ключевые слова: вибрации, вращение, осредненное течение, центробежная неустойчивость, вязкий пограничный слой.
Динамика центрифугированного слоя жидкости во вращающемся цилиндре определяется совместным действием вибраций, силы тяжести и сил инерции. Поперечные к оси вращения цилиндра вибрации генерируют в жидкости осредненные азимутальные потоки. В
© Полежаев Д.А., 2009
зависимости от безразмерной частоты вибраций n = fv /fr (f -частота вибраций, f - скорость вращения цилиндра) жидкость совершает двумерное опережающее (при n > 1) или отстающее (n < 1) движение. Вибрации вызывают колебания жидкости вблизи твердой границы, в результате фазовой неоднородности колебаний за пределами пограничного слоя возникает среднее “акустическое” течение, увлекающее весь объем жидкости [1]. Скорость такого течения мала по сравнению со скоростью вызвавшего его колебательного движения. Поэтому даже незначительное увеличение скорости “акустического” течения может сопровождаться развитием центробежной неустойчивости в вязком слое Стокса и появлением вихрей, аналогичных вихрям Тейлора - Гертлера [2]. Направление осредненного движения не оказывает существенного влияния на развитие неустойчивости в колеблющемся слое жидкости, вихревое течение возбуждается как в обгоняющем, так и в отстающем течении. Эксперименты показывают, что динамика пространственных структур в надкритической области зависит от направления осред-ненного движения жидкости: при n < 1 вихри постепенно угасают, и движение жидкости вновь становится двумерным, при n > 1 вихревое течение испытывает неустойчивость и разрушается, а движение жидкости становится турбулентным.
В отсутствие вибраций центрифугированный слой жидкости также совершает осредненное движение (в этом случае роль осциллирующей силы выполняет сила тяжести [3]), отстающее и неустойчивое к появлению вихрей Тейлора - Гертлера. Гравитационное действие несущественно, когда безразмерное ускорение Г° g/W2R << 1, где g - ускорение силы тяжести, Wr = 2pf - угловая скорость вращения, R - радиус цилиндра.
В предлагаемой работе изучается переход от вихревого течения к турбулентному. Условия эксперимента таковы, что Г << 1, и сила тяжести не оказывает влияния на динамику жидкости.
1. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Схема экспериментальной установки показана на рис. 1. Кювета K крепится на плите электродинамического вибростенда B типа VEB GERATE-UND REGKER-WERKE TELTOW, который создает поступательные вертикальные колебания частоты fv и амплитуды b . Для работы электродинамического вибростенда используются
два источника питания: источник постоянного тока для катушки подмагничивания и источник переменного тока для вибрационной катушки. Катушка подмагничивания подключена к трем последовательно соединенным блокам постоянного тока БП типа МА8ТЕСН НУ5005Е.
Рис. 1. Схема экспериментальной установки
Управление вибрационной катушкой вибростенда осуществляется при помощи генератора ГСПФ-052 компьютера РС . Генератор вырабатывает электрический сигнал нужной частоты и заданной амплитуды. Для усиления электрического сигнала используется усилитель мощности У типа БЮКУКТНЕТІС БР3200. Усиленный сигнал подается на вибрационную катушку стенда.
Для контроля качества вибраций используется одноосный акселерометр А типа ПАМТ 4 0.225, который крепится в центре плиты вибростенда и измеряет вертикальную составляющую амплитуды вибраций. Предварительные измерения амплитуды двух горизонтальных (поперечных) компонент вибраций показывают, что они всегда на один-два порядка меньше вертикальной компоненты. Данные акселерометра в режиме реального времени анализируются электронным осциллографом АЭСЬаЪ.
Помимо основной гармоники с частотой / в спектре колебаний имеются гармоники более высоких порядков, 3/ , 5/ и т.д. Оценки амплитуды гармоник показывают, что амплитуда наиболее существенной гармоники 3/ не превышает 1 % от амплитуды ос-
новной гармоники, амплитуды более высоких гармоник быстро убывают с повышением частоты.
Амплитуда вибраций изменяется в интервале Ь = 0 - 0.50 мм, погрешность измерения не превышает 2 %. Частота вибраций варьируется в пределах / = 17 - 35 Гц.
Вращение кюветы осуществляется посредством шагового двигателя Д типа 8МБ-40М, который устанавливается соосно с кюветой и соединяется с ней резиновой трубкой, исключающей передачу посторонних колебаний кювете. Для управления двигателем используется генератор сигналов Г типа Г3-112/1, обеспечивающий плавную регулировку скорости вращения в диапазоне / = 2 - 26 об/с; нестабильность вращения не превышает 0.01 об/с. Наблюдения проводятся в свете стробоскопической лампы Л типа СШ-5, частота вспышек которой согласована со скоростью вращения цилиндра.
Кювета изготовлена из плексигласовой трубы внутренним радиусом Я = 2.5 см и длиной Ь = 31.8 см (рис. 2). В качестве рабочей жидкости используется вода (кинематическая вязкость V = 0.01 Ст). При быстром вращении кюветы жидкость центрифугируется, образуя цилиндрический слой толщины И = Я - а, где а - радиус воздушного столба.
Рис. 2. Схема кюветы: Я - радиус полости, а - радиус воздушного столба, И = Я - а - толщина слоя жидкости
Для визуализации течения жидкости вблизи твердой границы используется алюминиевая пудра, для исключения коагуляции частиц которой в воду добавляется поверхностно-активное вещество (ПАВ). Концентрация ПАВ контролируется и постоянна во всех экспериментах. Для измерения скорости течения на свободной гра-
Ь
нице жидкости используются легкие маркеры плотностью р = 0.24 г/см3.
Количество жидкости в полости характеризуется относительным наполнением q = V / У0, где V - объем жидкости, У0 - внутренний объем цилиндра. Наполнение варьируется в диапазоне q = 0.16 - 0.32 , при этом толщина слоя жидкости в центрифугированном состоянии изменяется в интервале И = 0.21 - 0.44 см.
После заполнения жидкостью кювета закрепляется на плите вибростенда, горизонтальность положения кюветы контролируется жидкостным уровнем. Цилиндр приводится в быстрое вращение, и жидкость переходит в центрифугированное состояние. После этого включается вибратор с заданными значениями частоты и амплитуды, которые в ходе отдельного опыта остаются неизменными.
Как правило, эксперимент начинается при условии, что скорость вращения равна частоте вибраций (/ = /у ). Далее / уменьшается с шагом 0.1-0.2 об/с. Опыты показывают, что при /г ф / жидкость совершает среднее азимутальное движение относительно полости. О скорости течения можно судить по движению легких маркеров на свободной поверхности жидкости. Во вращающейся системе отсчета скорость течения составляет А/ = 1/Т , где Т - период азимутального движения маркеров. Если жидкость относительно стенки вращается в том же направлении, что и цилиндр, то А/ > 0 и движение называется опережающим, и наоборот.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ
В быстро вращающемся цилиндре жидкость центрифугируется и равномерным слоем распределяется по цилиндрической стенке полости. При этом тяжелый визуализатор ровным слоем распределяется на поверхности цилиндра.
Рассмотрим движение жидкости в условиях вибрационного воздействия при / = 25 Гц, Ь = 0.28 мм и q = 0.20 (рис. 3, а, точки 2). При скорости вращения / = / жидкость совершает твердотельное движение вместе с полостью. При этом легкие маркеры на свободной поверхности жидкости не изменяют своего положения во вращающейся системе отсчета.
При уменьшении скорости вращения (/г < /у ) маркеры начинают двигаться относительно кюветы в направлении ее вращения
(рис. 3, а). Траектория движения маркеров - окружность. В лабораторной системе отсчета жидкость вращается быстрее полости. Интенсивность обгоняющего движения медленно возрастает по мере уменьшения / вплоть до критической скорости вращения (точка а), при которой происходит резкое увеличение скорости А/ .
а б
Рис. 3. Зависимость скорости осредненного движения жидкости от скорости вращения цилиндра при q = 0.20 : а - / = 25 Гц, Ь = 0.13 , 0.28 и 0.46 мм (1-3); б - Ь = 0.28 мм, / = 20 , 25 и 30 Гц (1-3)
На свободной поверхности жидкости возникает азимутальная волна, имеющая форму вытянутого вдоль оси вращения горба, радиальные и поперечные размеры которого малы. Азимутальная скорость вращения волны равна циклической частоте вибраций. Вблизи точки а наблюдается перераспределение алюминиевой пудры на стенке полости. Образуются вытянутые вдоль линий тока жидкости зоны, покрытые визуализатором, и чередующиеся с ними области, свободные от него (рис. 4, а). Возникающие “кольца” достаточно регулярны и покрывают всю цилиндрическую поверхность. Пространственный период равен примерно 1 мм. Специальные измерения критической скорости возникновения периодической структуры и ее периода в эксперименте не проводились.
В надкритической области скорость жидкости быстро возрастает, при этом периодическая структура становится более регулярной. Качественное изменение структуры течения происходит в окрестности точки б. Изначально правильные “кольца” становятся изогну-
тыми (рис. 4, б), а при дальнейшем уменьшении / теряют свою целостность - по длине “колец” образуются разрывы.
Рис. 4. Распределение пудры на цилиндрической стенке вращающейся полости (q = 0.20, Ь = 0.28 мм): / = 35 Гц, / = 25 об/с, А/ = 2.7 Гц (а);
/ = 20 Гц, / = 13.1 об/с, А/ = 2.2Гц (б) и / = 12.0 об/с, А/ = 2.3 Гц (в); расстояние между метками равно 5 см
Одновременно соседние “кольца” могут обмениваться частицами визуализатора. Интенсификация осредненного движения приводит к тому, что регулярная структура полностью разрушается (рис. 4, в). Критерием устойчивости при изучении порога разрушения периодических структур служит нарушение целостности “колец”. Наблюдения показывают, что в случае полностью разрушенной пространственно-периодической системы, траектория движения легких маркеров становится сложной: наряду с азимутальной компонентой скорости А/ появляется осевая компонента. Траектория движения напоминает винтовую линию, шаг закрутки которой составляет несколько сантиметров и непрерывно изменяется. Как правило, маркер совершает несколько оборотов по винтовой траектории, затем осевая компонента скорости изменяет свое направление, и маркер движется по другой винтовой линии. Таким образом, маркеры за несколько азимутальных периодов могут пересечь полость слева направо и обратно, справа налево. При этом траектории различных маркеров пересекаются, что затрудняет измерение скорости движения: это приводит к увеличению погрешности в определении А/ выше критической точки б.
Интенсивное движение жидкости исчезает пороговым образом по достижении критической скорости вращения (рис. 3, а, точка в). Практически полная остановка жидкости происходит в течение од-ной-двух секунд, после чего жидкость совершает медленное азимутальное движение.
Интенсивность движения жидкости и положение порогов а-в зависят от амплитуды вибраций. Так, увеличение амплитуды вибраций приводит к увеличению скорости течения во всем диапазоне / (рис. 3, а). Пороги возникновения и разрушения пространственнопериодического течения (а и б) и остановки интенсивного течения (в) также чувствительны к изменению вибрационного воздействия: при увеличении амплитуды вибраций пороги а и б смещаются в область больших / .
Подробное описание динамики жидкости в порогах возникновения и исчезновения интенсивного движения можно найти в [1].
В рассматриваемой работе измеряется критическая скорость среднего течения в пороге разрушения пространственнопериодических структур. Динамика жидкости существенно зависит
от амплитуды вибраций. При малых амплитудах сразу за порогом происходит уменьшение скорости среднего движения и последующая остановка интенсивного движения (рис. 3, а, точки 1). При умеренных амплитудах в надкритической области скорость жидкости практически не изменяется вплоть до порога в (точки 2). И только при больших амплитудах в надкритической области происходит существенная интенсификация движения (точки 3). Таким образом, порог разрушения пространственно-периодического течения может быть определен не только визуально, но и по излому на зависимости А/ (/ ).
Общим в исследуемом интервале амплитуд вибраций является то, что вблизи точки в происходит незначительное уменьшение скорости А/. Скорость вращения цилиндра при остановке интенсивного движения увеличивается при понижении амплитуды вибраций. При уменьшении / ниже критической величины направление движения жидкости изменяется на противоположное: в лабораторной системе отсчета жидкость вращается медленнее, чем полость (отстающее движение).
Рассмотрим случай, когда в экспериментах остается одинаковой амплитуда Ь , но изменяется частота вибраций / (рис. 3 б). При изменении частоты вибрационного воздействия динамика жидкости качественно не меняется. Изменяются только пороги переходов а-в (не показаны на рисунке). С увеличением частоты / пороговые значения скорости вращения цилиндра и скорости осредненного течения увеличиваются.
3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Природа пространственно-периодического течения и условия его возникновения обсуждаются, в частности, в [2]. Под действием бегущей по границе вода - воздух азимутальной волны жидкость вблизи твердой стенки совершает колебания вдоль направления распространения волны. В результате центробежной неустойчивости такого колебательного движения в пристеночной области возникают продольные вихри с чередующейся левой и правой закруткой. Трехмерное течение имеет структуру, аналогичную вихрям Тейлора - Гертлера [4]. В [2] показано, что неустойчивость вибрационного течения наступает по достижении критического значения модифицированного числа Гертлера О = V8/у^/8/Я , где V - ам-
плитуда скорости колебательного течения жидкости в вязком пограничном слое, 5 - толщина пограничного слоя Стокса.
В [5] было сделано предположение, что пороговое разрушение вихревых структур связано с неустойчивостью пограничного слоя Стокса. Однако оставалось непонятным, почему разрушение вихрей наблюдается только при обгоняющем осредненном течении. Если неустойчивость вихрей развивается в осциллирующем пограничном слое, то направление осредненного течения не должно быть определяющим для ее возникновения.
Построим пороговую кривую разрушения регулярных вихревых структур на плоскости ю, Кг , где ю°Огк2 /V - безразмерная частота вращения, Кг ° ык/п - число Рейнольдса (рис. 5). Здесь 0.г = 2 л/. - угловая скорость вращения цилиндра и ы = 2пА/Я -линейная скорость осредненного азимутального движения поверхности жидкости относительно кюветы.
0 1200 ю 2400
Рис. 5. Зависимость критического числа Рейнольдса от частоты вращения в пороге устойчивости вихревого течения. Относительное наполнение q = 0.16 - 0.32 (1-4)
Критическое значение числа Рейнольдса, рассчитанного по скорости осредненного движения свободной поверхности жидкости и толщине центрифугированного слоя, линейно возрастает с безраз-
мерной частотой, Кг ~ ю . Выпадающая из общей закономерности крайняя левая точка серии 4, получена непосредственно вблизи порога обрушения центрифугированного слоя жидкости. При этом на поверхности центрифугированного слоя жидкости возбуждаются интенсивные стоячие и бегущие волны, влияющие на интенсивность и структуру течения. То, что все пороговые точки согласуются на плоскости ю, Кг , свидетельствует о неустойчивости осред-ненного течения в самом центрифугированном слое жидкости, чем и обусловлено разрушение вихрей. При этом определяющую роль играют скорость движения поверхности жидкости и толщина слоя.
Неустойчивость развивается во всем объеме жидкости, а значит, зависит от распределения скорости внутри слоя жидкости. При анализе распределения скорости течения внутри жидкости остановимся на механизмах генерации течения. Бегущая по поверхности жидкости азимутальная волна создает вблизи твердой и свободной границ вязкие пограничные слои, которые генерируют осредненные потоки в направлении распространения волны [5, 6]. На интенсивность среднего течения, генерируемого вблизи поверхности, может оказывать влияние и поверхностно-активное вещество, добавляемое в жидкость для смачивания используемой в качестве визуализатора алюминиевой пудры.
Для оценки величины скорости среднего течения за пределами вязких пограничных слоев вблизи твердой и свободной границ жидкости воспользуемся выражениями [6]:
5 А2Ш
4 sinh kh
^U^ = -4A2Wosck coth kh, dn
где A - амплитуда бегущей волны, Wosc - частота колебаний жидкости, k = - волновое число, n - нормаль, направленная от
свободной границы внутрь жидкости. Волна распространяется по цилиндрической поверхности радиуса а, волновое число k = 2р1 = 1 а . Толщина слоя жидкости h не превышает нескольких миллиметров, т.е. kh << 1 и, следовательно, sinh kh » kh, coth kh »1. Из сравнения u1 и u2 видно, что вклад пограничного
слоя вблизи свободной поверхности в движение жидкости пренебрежимо мал. Это означает, что за пределами вязкого пограничного слоя жидкость движется как единое целое.
Рис. 6. Зависимость числа Рейнольдса от частоты вращения в пороге устойчивости вихревого течения
На скорость осредненного течения может оказывать влияние поверхностно-активное вещество, добавляемое в жидкость для исключения коагуляции визуализирующих частиц. Изменение формы поверхности жидкости в результате ее движения вызывает сжатие или растяжение поверхностного слоя и, следовательно, изменение концентрации ПАВ. В результате на свободной поверхности появляется тангенциальная сила, которая может быть представлена в виде:
ft = grad s = Is grad g,
Эу
где s - коэффициент поверхностного натяжения, g - концентрация ПАВ на поверхности жидкости.
Учет поверхностной силы имеет смысл только тогда, когда вязкость жидкости мала. Другими словами, влиянием ПАВ можно
пренебречь при больших значениях числа Рейнольдса [7, 8]. Разрушение вибрационного вихревого течения происходит при числах Рейнольдса Re = 103 -104, следовательно, поверхностный механизм генерации среднего течения несущественен.
Полученные результаты хорошо согласуются с данными [5], в том числе при частоте вращения w □ 102 (рис. 6).
Заключение. Исследована вибрационная динамика центрифугированного слоя жидкости во вращающемся цилиндре. Внимание уделено изучению порога разрушения пространственнопериодического течения. Сделан вывод, что вихревые структуры в пограничных слоях Стокса разрушаются в результате неустойчивости осредненного движения в самом слое жидкости. Это подтверждается тем, что определяющим параметром является число Рейнольдса Re = uhn , рассчитанное по толщине слоя жидкости h , и неустойчивость наблюдается только в обгоняющем течении. Показано, что пороговое значение числа Рейнольдса линейно повышается с частотой Re ~ w .
Работа выполнена при поддержке Рособразования (темплан 0120.0600475).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Иванова А.А., Козлов В.Г., Полежаев Д.А. Вибрационная динамика центрифугированного слоя жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 2. С. 147-156.
2. Kozlov V.G., Polezhaev D.A. Stability of Riming Flow under Vibration // Microgravity Science and Technology. 2009. V. 21. P. 79-82.
3. Иванова А.А., Козлов В.Г., Чиграков А.В. Динамика жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 98-111.
4. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.
5. Полежаев Д.А. Экспериментальное исследование вибрационной динамики центрифугированного слоя жидкости : Дис. на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Пермь: ПГПУ, 2006. 107 с.
6. Longuet-Higgins M.S. Mass transport in water waves // Philos. Trans. A 245. 1953. P. 535-581.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. М.: Наука, 1986. 736 с.
8. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 700 с.
STABILITY OF VORTICAL VIBRATIONAL FLOW OF LIQUID IN A ROTATING HORIZONTAL CYLINDER
D.A. POLEZHAEV
Abstract. Under vibration liquid in a rotating cylinder performs mean azimuth flow in the rotating frame. The variation of frequency of vibration and rate of rotation enables to excite a leading or retrograde azimuth motion of liquid [1]. This flow appears due to the phase inhomogeneity of liquid oscillations in the viscous boundary layer near the cylindrical wall. Independently of the direction of the flow it is unstable to the appearance of Taylor - Gortler vortices. The excitation of the vortices is caused by centrifugal instability of the oscillating flow in the Stokes layer [2]. The experiments demonstrate that vortical leading flow is unstable and becomes turbulent. The main scope of the research is to study the transition between vortical and turbulent flows as a function of amplitude and frequency of vibration, rate of rotation and liquid volume.
Key words: vibration, rotation, mean flow, centrifugal instability, viscous boundary layer.
