Устойчивость управления градиентными системами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Solodusha S.V. Using polynomial Volterra equations of the first kind in the automatic control problems. The question of the existence of solutions of polynomial integral Volterra equations of the first kind is considered. These equations appear in an automatic control problem of a nonlinear dynamic system of black box type with vector input.

Key words: Volterra equations of the first kind, nonlinear integral inequalities, system of automatic control.

Солодуша Светлана Витальевна, Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, г. Иркутск, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией «Неустойчивые задачи вычислительной математики», e-mail: solodusha@isem .sei .irk.ru.

УДК 517.9

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРАВЛЕНИЯ ГРАДИЕНТНЫМИ СИСТЕМАМИ

© В.В. Стружанов, Н.В. Бурмашева

Ключевые слова: градиентная система; потенциальная функция; невыпуклость потенциалов; параметры состояния и управления; критические точки; сепаратриса; устойчивость управления.

Рассматривается один класс градиентных систем, поведение которых описывается невыпуклой потенциальной функцией, зависящей от конечного числа параметров состояния и управления. Показано, что устойчивость управления определяется сепаратрисой потенциальной функции, построенной в пространстве управлений. В качестве примера исследована устойчивость специальной стержневой системы, осуществляющей трехосное растяжение элементарного куба из нелинейного материала.

Рассмотрим один класс градиентных дискретных механических систем, к которому относятся, например, стержневые системы при их активном деформировании. В таких системах положение элементов опредляется конечным числом обобщенных координат (обобщенных перемещений). Часть этих координат могут быть задаваемыми величинами и представлять собой параметры управления. Тогда остальные играют роль параметров состояния. Поведение градиентной механической системы характеризуется ее потенциальной функцией Ш(qi,Qj)(г = 1,...,М;] = ), зависящей от параметров состояния qi системы и

параметров управления Qj [1]. Эта функция есть сумма потенциальных функций элементов системы. Если часть потенциальных функций элементов системы являются невыпуклыми (имеют области выпуклости вниз, выпуклости вверх и седловые точки), то существует возможность потери устойчивости управления данными системами (потеря устойчивости процесса деформирования).

Положения равновесия системы определяют критические точки потенциальной функции которые являются решениями системы Ш = 0 . Здесь ^N — оператор Гамильтона в евклидовом пространстве состояний Км . В силу того, что некоторые потенциальные фукнции элементов системы являются невыпуклыми данные уравнения могут иметь одно или несколько решений, или вообще не иметь решения. Особое значение имеют вырожденные критические точки, в которых матрица устойчивости Н(Ш) = Vм вырождена.

Здесь H(W) — матрица Гессе вторых производных функции W. Такие точки структурно неустойчивы [1]. Возмущение потенциальной функции W вызывает качественные изменения в поведении самой функции. Вырожденная критическая точка расщепляется на несколько изолированных (невырожденных) критических точек. Устойчивость управления (нагружения) нарушается, и механическая градиентная система скачком переходит в новое устойчивое положение равновесия.

Вырожденные критические точки образуют в евклидовом пространстве управлений Rf

W

ниченной сепаратрисой, градиентная система имеет лишь одно положение равновесия или положений равновесия не существует. Внутри данной области имеется несколько положений равновесия [1]. Устойчивость управления нарушается при выходе изображающей процесс управления точки в пространстве управлений из области, ограниченной сепара трисой [1, 2].

В качестве примера рассмотрена специальная стержневая система, осуществляющая трехосное растяжение элементарного куба из нелинейного материала, свойства которого характеризует невыпуклый потенциал, приведенный в работе [3]. Нагрузка на куб передается тремя линейно упругими стержнями. Свободным концам стержней задаются монотонно возрастающая величина перемещений (параметры управления). Параметрами состояния являются перемещения граней куба, совпадающие по величине с его деформациями. Построена потенциальная функция системы, представляющая собой сумму невыпуклого потенциала куба и трех потенциальных энергий упругих деформаций стержней. Получены уравнения равновесия для определения критических точек потенциальной функции системы, к которым присоединено уравнение, получающееся приравниванием к нулю детерминанта матрицы Гессе. Осуществлено численное решение данной системы нелинейных уравнений и в пространстве управлений, построена сепаратриса потенциальной функции системы. С помощью сепаратрисы определены области устойчивости управления и величины управляющих параметров, при достижении которых устойчивый характер управления нарушается.

Проведено исследование влияния на вид сепаратрисы жесткости линейно упругих стержней, передающих нагрузку на элементарный куб. Показано, что с увеличением жесткости сепаратриса вырождается, и появляется возможность устойчивого управления деформированием механической системы при определенном характере изменения управляющих параметров, когда изображающая процесс управления точка в пространстве управляющих параметров обходит область, ограниченную сепаратрисой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2 кн. М.: Мир, 1984. Кн. 1. 350 с.

2. Стружимое В.В. Об устойчивости двухосного растяжения квадратной пластины в одной градиентной механической системе // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16. № 5. С. 187-195.

3. Стружимое В.В., Просвиряков Е.Ю., Бурмишеви Н.В. Об одном методе построения единого потенциала // Вычисл. мех. сплошн. сред. 2009. Т. 2. № 2. С. 96-107.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 10-08-00135).

Struzhanov V.V., Burmasheva N.V. The stability of the gradient system control. A class of gradient systems, whose behavior is described by a nonconvex potential function depending on finite number of state and control parameters is considered. It was shown that stability control is determined by the separatrix of the potential function, built in the space of controls. As an

example, the stability of a special rod system performing triaxial tension of an elementary cube made from the nonlinear material is investigated.

Key words: gradient system; potential function; potential’s nonconvexity; state and control parameters; critical points; separatrix; stability control.

Стружанов Валерий Владимирович, Институт машиноведения УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, e-mail: stru@imach.uran.ru.

Бурмашева Наталья Владимировна, Институт машиноведения УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, инженер, e-mail: nat_burm@mail.ru.

УДК 517.95, 517.977

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ С ФАЗОВЫМИ

ОГРАНИЧЕНИЯМИ

© H.H. Субботина, Л.Г. Шагалова

Ключевые слова: уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана; фазовые ограничения; вязкостные решения; минимаксные решения; оптимальное управление; функция цены; субдифференциал .

Рассматриваются две задачи Коши с фазовыми ограничениями для уравнений Гамильтона-Якоби, возникающие, соответственно, в молекулярной биологии и экономике. Эти задачи не имеют классических решений. Вводятся обобщенные решения, супердифференцируемые в области определения. Предложен метод конструирования обобщенных решений с помощью вспомогательных задач оптимального управления. Приведены результаты и анализ численных экспериментов.

Рассматривается следующая задача Коши:

ди,/(И + Н(х,ди/дх)=0, 0 ^ 1< ос, —1 ^ х ^ 1, (1)

и(0,х) = и0(х), —1 ^ х ^ 1. (2)

Предполагается, что гамильтониан в уравнении (1) имеет вид

Н (х,р) = —! (х) + 1 — ^ е2р — ^ е-2р (3)

или вид

Н (х, р) = е-а°-а1Х + еао+а1Х — е-ао-а1Хер — еа0+а1Хе-р. (4)

Нетрудно заметить, что гамильтонианы вида (3) и (4) являются вогнутыми по импульсной переменной р при х € [—1, 1] .

Уравнение (1) Гамильтона-Якоби с гамильтонианом вида (3) было получено в [1] для модели Кроу-Кимуры молекулярной эволюции. Входящая в выражение (3) функция f (■) называется фитнесом и полагается непрерывно дифференцируемой.