Устойчивость стационарных движений систем, допускающих общие и частные первые интегралы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 531.36

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМ, ДОПУСКАЮЩИХ ОБЩИЕ И ЧАСТНЫЕ ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

А. В. Карапетян1

Получены условия устойчивости стационарных движений систем, которые наряду с общими допускают частные интегралы. Рассмотрен пример.

Ключевые слова: устойчивость, стационарные движения, инвариантные множества.

Several stability conditions are obtained for steady motions of systems with general and particular first integrals. An example is considered.

Key words: stability, steady motions, invariant sets.

1. Рассмотрим динамическую систему

х = и(х), (1)

где х — фазовые переменные, х = йх/ЛЬ, £ — время: £ € М+ = [0; х € Мга, и(х) € С1 : Мга ^ Мга.

Предположим, что система (1) допускает общие

1о (х) = со, (2)

I (х) = с (3)

и частные

1 (х) = 0 (4)

первые интегралы. Здесь

10(х) € С2 : Мга ^ М, I(х) € С2 : Мга ^ Мг, 1 (х) € С2 : Мга ^ Мт (0 < 1<п, 0 < т <п, I + т<п - 1). Соотношения (2)—(4) означают, что

Согласно теории Рауса [1—6], критические точки х0 одного из общих интегралов (2), (3) (пусть интеграла 1о(х)) на фиксированных уровнях других общих интегралов (т.е. I(х)) и нулевых уровнях частных интегралов (4) соответствуют стационарным движениям

х(г) = х0 (6)

системы (1). При этом

и(х0) = 0, I (х0) = с0, 1 (х0) = 0.

Более того, если точка х0 доставляет интегралу (2) локально строго экстремальное (минимальное или максимальное) значение при условиях

I (х) = с0, 1 (х) = 0, (7)

1 Карапетян Александр Владиленович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-

мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

то стационарное движение (6) системы (1) устойчиво при возмущениях, удовлетворяющих соотношениям (4). Такая устойчивость называется условной [3]. При наличии частных интегралов (4) (т.е. при т > 0) из условной устойчивости стационарного движения (6) в общем случае не следует его безусловная устойчивость, т.е. устойчивость по Ляпунову.

Теорема 1. Если х° — точка локально строгого экстремума интеграла 1°(х) системы (1) при условиях (7), причем отационарное движение (6) устойчиво по отношению к функциям .](х), то оно устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Из устойчивости решения (6) системы (1) по отношению к функциям .](х) следует, что в окрестности точки х° при всех £ £ М+ существует непрерывно дифференцируемая функция V(£,х), удовлетворяющая условиям [7]

V(г,х°) = о, V(г,х) ^ а(и(х)||),

• . . дV (дV \ (8)

где а(в) — функция Хана, т.е. а(в) £ С : М+ ^ М+, а(0) =0 и а($1) > а(в2) при любых $1 > в2 ^ 0. Рассмотрим функцию Ляпунова

Ш1(г,х) = Vl(t,x) + V (г,х),

где

Vl(t,x) = |1°(х) - 1°(х°)| + III(х) - о°Ц.

Очевидно,

Ш1(£,х°) = 0, ^ VI(х) + а(Ц,1 (х)||) ^ 0,

причем

]^1(£,х) = 1/(1) (£,х) < 0. (9)

Если а(Ц,1 (х)||) = 0, то .](х) = 0; при этом Vl(х) > 0 при всех х, лежащих в некоторой выколотой окрестности точки х°, поскольку х° — точка локально строгого экстремума интеграла 1°(х) при условиях (7). Если же а(||7(х)||) = 0, то V(Ь,х) ^ а(||7(х)||) > 0 при всех £ £ М+ в некоторой (выколотой) окрестности точки х .

Поскольку функция Vl не зависит от времени, а функция V ограничена снизу функцией, не зависящей от времени, то функция Ш1(Ь,х) определенно-положительна в окрестности точки х° и, значит (см. [3]), удовлетворяет теореме Ляпунова об устойчивости, из которой и следует утверждение теоремы 1.

2. Предположим теперь, что система (1) вместо интеграла (2) допускает невозрастающую вдоль решений этой системы функцию 1°(х) £ С2 : Мга ^ М. Это означает, что вместо первого из соотношений (5) выполняется соотношение

Согласно модифицированной теории Рауса [8], критические точки х° функции 1°(х) на фиксированных уровнях первых интегралов (3) и (4) (см. (7)) по-прежнему соответствуют стационарным движениям (6) системы (7), а точки локально строгого минимума функции 1°(х) — стационарным движениям (6), устойчивым при возмущениях, удовлетворяющих соотношениям (4).

Теорема 2. Если х° — точка локально строгого минимума невозрастающей вдоль решений системы (1) функции 1°(х) при условиях (7), причем стационарное движение (6) системы (1) устойчиво по отношению к функциям .] (х), то оно устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова

^(^х) =тах {1°(х) - 1°(х°), Ц1(х) - о°|| + V(£,х)} , (11)

где функция V(£, х) удовлетворяет условиям (8) теоремы Румянцева об устойчивости по части переменных. Очевидно, Ш2(£,х°) = 0, причем функция (11) не возрастает (см. (9) и (10)) вдоль решений системы (1). Покажем, что функция Ш2(Ь,х) определенно-положительна в некоторой окрестности точки х°. Действительно, если ||1 (х) - 0°|| + V(Ь,х) = 0, то имеют место соотношения (7); при этом 1°(х) -1°(х°) > 0

при всех x, лежащих в некоторой выколотой окрестности точки x0. Если же ||I(x) — c01| + V(t,x) > 0 (при этом x = x0), то возможны два случая:

W2 = Io(x) — Io(x0) > 0, (12)

W2 = III(x) — c01| + V(t,x) ^ III(x) — c01| + a(HJ(x)||) > 0. (13)

В случае (12) функция W2 не зависит от времени и положительна при x = x0, а в случае (13) эта функция ограничена снизу не зависящей от времени функцией, также положительной при x = x0. Таким образом, функция (11) удовлетворяет теореме Ляпунова об устойчивости, из которой и следует утверждение теоремы 2.

3. Частные интегралы (4) системы (1) определяют (см. последнее соотношение (5)) ее инвариантное множество. Если оно устойчиво, то стационарное движение (6), лежащее на инвариантном множестве (4), заведомо устойчиво по отношению к функциям J(x) (обратное, вообще говоря, неверно). В случае устойчивости инвариантного множества (4) системы (1) процедуру применения теорем 1 и 2 можно существенно упростить.

Предположим, что функции J(x) независимы в точке x0, т.е.

rank ( ^ ) = т. (14)

\9xJ x=x0

Перейдем в окрестности точки x0 от исходных переменных x к новым переменным y £ Rm и z £ Rra_m по формулам

y = J (x), z = K (x). (15)

Дважды непрерывно дифференцируемые функции K (x) : Rra ^ Rra_m выбираются так, чтобы соотношения (15) были разрешимы относительно переменных x:

x = x(y,z) (16)

(это всегда можно сделать при условии (14)). При этом соотношения (16) независимы в точке y = 0, z = z0 = K (x0):

В новых переменных уравнения (1) принимают вид

dx \ ( dx \

+ (19)

При условии (17) уравнения (18) разрешимы относительно производных:

y = v(y,z), z = w(y,t); (19)

при этом u(0,z) = 0, w(0,z0) = 0. Очевидно, система (19) допускает частные интегралы y = 0, общие интегралы U(y, z) = I(x(y, z)) = c и либо первый интеграл (см. п. 1), либо невозрастающую функцию (см. п. 2) U0(y,z) = I0(x(y, z)).

Введем следующие обозначения:

w(0, z) = w0(z), U(0, z) = U0(z), U0(0, z) = U00(z)

и рассмотрим систему уравнений

z = w0 (z). (20)

Эта система допускает стационарное решение z(t) = z0, соответствующее стационарному движению (6) исходной системы, первые интегралы U0(z) = const и либо первый интеграл U$(z) = const, либо не возрастающую вдоль решений системы

(20) функцию U0°(z).

Таким образом, если инвариантное множество системы (1), определяемое частными интегралами (4), устойчиво, то исследование устойчивости стационарных движений (6) этой системы, лежащих на инвариантном множестве (4), сводится к исследованию устойчивости стационарных движений системы (20),

которая представляет собой исходную систему (1), редуцированную на инвариантное множество (4). Это исследование можно проводить на основе классической теории Рауса и ее модификаций (см. [8]).

4. Проиллюстрируем предложенные соображения на примере исследования стационарных движений физического маятника в сопротивляющейся среде, горизонтальная ось подвеса которого может вращаться вокруг вертикали под действием постоянного момента.

Пусть Ох, Оу и Ог — главные оси инерции тяжелого твердого тела массы т, а А, В и С — соответствующие моменты инерции, причем центр масс тела расположен на оси Ог на расстоянии в от точки О, ось Ох горизонтальна и может вращаться вокруг восходящей вертикали OZ, вдоль которой приложен постоянный момент Р.

Положение тела определяется углом в между нисходящей вертикалью и осью Ог и углом ф поворота оси Ох вокруг оси OZ. При этом кинетическая энергия Т и потенциал V системы определяются соотношениями

т = -

2

Лв2 + (Б sin2 в + C cos2 в)ф2 , V = -mgs cos в

(g — ускорение свободного падения). Полагая, что диссипативная функция Рэлея F пропорциональна кинетической энергии (F = kT; k > 0), выпишем уравнения движения маятника

£дТ_дТ dV дТ

— — -Р к —

dt dip dip'

Система (1), (2) допускает асимптотически устойчивое в целом инвариантное множество

dT P

= (22)

определяемое ее частным интегралом дТ/dp) — p = 0:

dT \ дТ

Р ) = ( — -Р I е

t=to

-k(t-to)

дф ) \дф

Уравнение (21), редуцированное на множество (22), можно представить в виде

в + в + W '(в) = 0, (23)

где штрих означает производную по в, а

_ mgs cos в _р£_

Щв) ---— + 2А{В^в + Ссо^вУ (24)

Очевидно, уравнение (23) допускает невозрастающую функцию

h = Н(в,в) = !/2 в2 + W (в): h = -кв2 < 0.

Согласно общей теории, критические точки во приведенного потенциала (24) (W'(во) = 0) соответствуют стационарным движениям

• p

в = во, 0 = 0, <P = <Po(t-to)+<Po, ф = Фо = р . 2 д , ^-27" (25)

Б sin2 в0 + C cos2 в0

рассматриваемой системы, причем точки минимума (максимума) — устойчивым по отношению к в, в и ф (неустойчивым) стационарным движениям.

Среди критических точек потенциала (24) при любом p имеются точи в = 0 и в = п, соответствующие равномерным вращениями маятника вокруг вертикально расположенной оси Oz при наинизшем (в = 0) и наивысшем (в = п) расположении центра масс. Кроме того, при соответствующих значениях p потенциал (24) допускает критические точки в = в(р), соответствующие равномерным вращениям маятника вокруг вертикально расположенной оси, лежащей в плоскости Oyz.

Анализ характера критических точек представлен на рис. 1-3, соответствующих случаям

В< 3/4 С (1), 3/4 С<В<С (2), В>С (3).

На рисунках знаком "+" (" —") отмечены точки минимума (максимума) функции (24), соответствующие устойчивым (неустойчивым) стационарным движениям (25), и приняты следующие обозначения:

2 C2,mgs 2 C2,mgs Ро = ~ 77' Рп ~

B-C

C — B

Ра

16 Зл/З

Bmgs

B

CB

а = arccos

B

3(C - B)

к/2

----------+ + + + + + + + + +

+ + + + + + +■ + + +++++++++++

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-00290).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Routh E.J. A treatise on the stability of a given state of motion. London: MacMillan, 1877.

2. Ляпунов А.М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. Харьков: Изд-во Харьков. матем. о-ва, 1888.

3. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во Харьков. матем. о-ва, 1892.

4. Salvadori L. Un' osservazione su di un criterio di stabilita del Routh // Rend. Accad. sci. fis. e mat. Soc. naz. sci. lett. ed arti. Napoli. 1953. 20. 269-272.

5. Пожарицкий Г.К. О построении функции Ляпунова из интегралов уравнений возмущенного движения // Прикл. матем. и механ. 1958. 22, вып. 2. 145-154.

6. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1976.

7. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по части переменных. М.: Наука, 1987.

8. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: УРСС Эдиториал, 1998.

Поступила в редакцию 17.12.2007

УДК 539.2:3

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫНУЖДЕННЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ОСНАЩЕННОГО СТЕРЖНЯ

Г. Л. Бровко1, С. А. Кузичев2

Рассматривается модель оснащенного упругого стержня, в осредненном смысле демонстрирующая свойства одномерного континуума Коссера в продольно-крутильных движениях. Исследованы собственные и вынужденные (при нагрузке обтекающим потоком) крутильные колебания модели, выявлены условия устойчивости колебаний и условия выхода из колебательных режимов. Обнаружены характерные особенности движений: нали-

1 Бровко Георгий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Кузичев Сергей Александрович — студ. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].