CC BY
4
УДК 517.9
Р.К. Романове кии, R.K. Romanovsky
Г.А. Троценко, СЛ. Trotsenko, e-mail: [email protected]
Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
Omsk State Technical University. Omsk, Russia
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
STABILITY OF SOLUTIONS OF LINEAR ALMOST PERIODIC: DIFFERENCE SYSTEMS EN A HILBERT SPACE
Длл указанного б названии класса систем развит вариант прямого метода Ляпунова с ослабленным, за счет почти периодичносгн. условием на разностную производную функции Ляпунова вдоль траектории снсте-
For the title of class systems developed version of tlie direct method of Lyapunov-impaired, due to almost periodicity condition on the difference derivative of the Lyapunov function along the trajectories of the system
Ключевые слова: некомпактностъ единичной сферы; почти периодичность; фунюрш Ляпунова; ослабленное условие; строгое сжатие
Keywords: non-compactness of the unit sphere; almost periodicity; Ly арапом function; weakened condition; strict contraction
1. В вышедшем в последние два десятилетия цикле работ группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ ([1-7], см. также ссылки в [6, 7[) построен вариант прямого метода Ляпунова
220
для подклассов эволюционных уравнении с почти периодическими коэффициентами, в котором условие на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с общим случаем. В частности, в [2] получен результат такого типа для разностной системы
(1)
*л=лЛ-1
в фазовом пространстве С с почти периодической матрицей Ап (здесь речь идет о разностной производной). Выполняемые в [2] построения существенно опираются на локальную компактность фазового пространства. В данной работе предпринята попытка перенести результат из [2] на более общую ситуешию.
2. Пусть Н — гильбертово пространство над полем . , End Н — множество линейных ограниченных операторов Н —> Н, Лн — оператор- функция Z —> End Н _ Целое число Т называется £ — почти-периодом Аи, если |Л(|_- — Л?,||<£. ие J. Оператор-функция Ли называется почти периодической, если дтя любого £ > 0 существует относительно плотное на оси множество £— почти-периодов: существует целое число ] = }{£)> 0 такое, что .любой отрезок [и, п + /] содержит хотя бы один £ — почги-пернод. Рассмотрим разностное уравнение (1) в фазовом пространстве Н с почги периодической Аш Будем говорить, что решение xw =0 уравнения (1) экспоненциально устойчиво, если для любого решения х : Z —> Н верна оценка
Ы^/И^Ы (">")- (2)
Зафиксируем оператор-функцию Рщ : Z —> End Н со свойствами
F* = Fn, Ft!> al. а = const> О. Fa почти периодична. (3) Построим эрмитову форму
u(xJn)= (Fnx, х), хеН. Разностная производная формы U вдоль траекторий системы (1) дается формулой
0{.т. я) = (G„x, .г), Gn = Л^Д, -■ Теорема. Пусть для уравнения (1) с почти периодическим оператором существует почта периодический оператор Fn со свойствами (3) такой, что
Gn < 0. п е Z, Gk < —Ы при некоторых k F Ж, b > 0. (4)
Тогда решение хя = 0 уравнения (1) экспоненциально устойчиво. Доказательство. 'Замена Ляпунова
х =F%y
п и . »1
где Fjf- — эрмитово положительный корень из FK, приводит (1) к вид}7 формы и. 0 — к виду
уп = АУп-V А =
(5)
и = {у, V), 0=((^Ч-/)у;у). При этом, как нетрудно убедиться, требования теоремы принимают вид
221
Ат почти периодичен,
-<А</, (б)
Д*Ац < с! при меко?порол * с е ( 0.1), требуемая оценка (2) принимает вид
||гн||<^-"Ы. п>0 (7)
(для упрощения дальнейших записей и не в ущерб общности принято в (4) к = О ив (2)
т = 0).
Пользуясь тем, что, в силу последнего требования (6), оператор Д-, — строгое сжатие, и строя почти-периоды оператора Ап с достаточно малым £>0, построим относительно плотную на полуоси последовательность целых точек
V -
I
(8)
0 = Bq <и1 <п2 <... <пjr<—, max такую, что операторы Ая — равномерные по j строгие сжатия:
4 л» < ql, q = const е{О. l), j = 0.1. 2..........(9)
Построим по решению v„ уравнения (5) последовательность чисел
Очевидно, для решений, равных нулю начиная с некоторого номера, опенка (7) представляет интерес при уп Ф 0. поэтому можно считать Ф 0 . С учетом этого имеем
U
рт-1
п > 1.
тем самым, с учетом второго требования (б) и оценки (9),
U.
— < L и>1.
и.
Чч
где и, — числа (8). Представим дробь в виде
и и и
__ я _ _
Ч Ч, 1 4 2
^<q<\. 7 = 0,1,2,...,
FJ-1
ч
Из оценок (8), (10) следует: отрезок [О. л] содержит не более
(10)
СИ)
отрезков вида
Г "1 11
1 , где J.
— целая часть п/1, и на каждом из них хотя бы один множитель (11) не более д < 1. Так как все множители (11) не больше 1, получаем:
Ц
1т]
<q l-q', n> 1,
u„
откуда, с учетом ün = г J , следует требуемая оценка (7) при
_L i
ll = а 2, V = —111 <? V 2/
Теорема доказана.
Замечание. Ранее в [2] в конечномерном случае Н=. опенка (2) была получена, с использованием компактности единичной сферы в l при несколько более слабых по сравнению с (4) требованиях на матрицу Gn:
Gn <0. (Gnxn. хп) ^ 0 на каждом решении Ля фО.
Центральным местом в доказательстве является построение компакта Е = :Ч [Аг ]....... S , где
'К [ Ап ] - оболочка почти периодической матрицы Ав, S — единичная сфера в CN ; и непрерывного отображения f: Е —> (О, <»); вытекающая отсюда оценка v0 = min f 0 дает подход к построению постоянной V в (2).
Библиографический список
1. Добровольский, С. ML, Об устойчивости решений линейных систем с почли периодической матрицей /СМ. Добровольский, А. С Котюрпша, Р. К. Романовский Н Мат. заметки. - 1992. - Т. 52, № 6. - С. 10-14.
2. Кнриченова, О. В. Метод функции Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами f О В. Кнриченова, А. С. Котюргина „ Р. К. Романовский Н Сиб. мат. журн. - 1996. - Т. 37, № 1. - С. 170-174.
3. Алексенко, Н. В. Устойчивость решений почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнении запаздывающего типа / Н. В. Алексенко Н Изв. вузов. Математика. - 2000. - № 2. - С. 3-6.
4. Троценко, Г. А. Об устойчивости решений почти периодических системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа У Г. А. Троценко // Изв. вузов. Математика. -2003. -№ 6.-С. 77-81.
5. Добровольский, С. М. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / С. М. Добровольский. А. В. Рогозин И Сиб. мат. журн. - 2005. -Т. 46, № 1- С. 98-105.
6. Романовский, Р. К., Бельгарт Л.В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Р. К. Романовский. Л. В. Белгард // Сиб. мат. журн. -2009. - Т. 50, № 1.-С. 190-198.
7. Романовский, Р. К. Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши дтя гиперболической системы на плоскости / Р. К. Романовский, Л. В. Белгард // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46, № 8. - С. 1125-1134.
223
