Об устойчивости решений линейной почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Р.К. Романовский, R.K, Romanovsky,

Е.М. Назарук, Е.М. Nazaruk, e-mail: [email protected]

Г.А. Троценко, СЛ. Trotsenko, e-mail: [email protected]

Омский государегвенный технический университет, г. Омск, Россия

Omsk State Technical University, Omsk, Russia

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ABOUT STABILITY OF SOLUTIONS LINEAR ALMOST PERIODIC SYSTEM FUNCTIONALLY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Исследуется поведение при большом времени решений указанной в названии системы ФДУ сведением к такой же задаче для разностного почти периодического уравнения в гильбертовом пространстве. Получен признак устойчивости с оставленным - за счет почти периодичности - условием на матрицу, отвечающую за устойчивость.

216

We study the behavior for large time of solutions of rhis system in the name of FDE reduction to the same problem for almost periodic differential equation in Hilbert space. Obtained for the stability with weakened - by almost periodicity - a condition on the matrix is responsible for stability.

Ключевые слова: пространство, изоморфное W-J ( 0.1): сведение к разностному уравнению: почти периодичность; ослабленное условие.

Keywords: space isomorphic Wi (0,1): reduction to the difference equation; almost periodicity; weakened condition.

1. Одна из задач, возникающих в теории колебаний, теории автомагического управления. - разработка методов расчета на устойчивость почти периодических режимов колебательных систем. Применение теоремы Ляпунова к проблеме расчета на устойчивость решений линейных уравнений с почти периодическими (п.п.) коэффициентами. Этой проблематике посвящен вышедший в последние годы цикл работ группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ ([1-5], см также ссылхи в [4, 5]). Данная работа примыкает к этому циклу.

Рассматривается задача Коши для системы ФДУ запаздывающего типа 1

о

Здесь Т: [ОД]х R-» CNxN, Hl = W) {(0,1) -> CN), предполагается

Var^T < oo. r(0fi) = 0. Г o do t равномерно по s . (2)

Требование почта периодичности означает (приводится одно из эквивалентных определений): семейство сдвигов T\s,t+ г). Т^М. — предкомпакт в банаховом пространстве

ограниченных, непрерывных по t функций F: [О. l] х Ж —> с нормой

\\F\\ — sup s. t ]|. Имеет место однозначная разрешимость задачи (1)-(2) в классе функций

S.I

х: [0, —> „ принадлежащих W2 на каждом интервале полуоси [0? °о); класс таких

функций далее обозначается Jf1. Анализ устойчивости решений задачи (1)-(2) проводится сведением к такой же проблеме для разностного уравнения вида ип = ЛяМя_1 в фазовом пространстве, изоморфном Н~. Приведем основные результаты.

2. Построим гильбертово пространство

[

г

1

со скалярным произведением щ ) — \jfx ds + f* fx

\ t h J

9

Лемма 1 .Отображение (p —>n по формуле

p(0)

(3)

задает изоморфизм пространств H1. Е. Обратное отображение имеет вид

¥ f

т)= Г y/ds + f

(4)

Далее EndE — множество линейных ограниченных операторов Е —> Е , /„ — единицы б Lj (ОЛ), CN, IE = diag [ /. 10) — единила в Е .

3. Построим по матрице Т операторы А^. Вir S \L2 —> и матрицу Ги:

о о

nez.

|Г(1.г+л), 0 < j < г,

|г(1 -г-s.T-n). t<s< 1. Лемма l.Ompamop I — Ап имеет равномерно no п ограниченный обратный. Будем называть последовательность операторов Fn € End Е, rt s Ж , почти периодической. если семейство сдвигов Тп_т. гп<еЕ,- предкомпахт в топологии EndЕ. Из

требований (2) на матрицу Т вытекает Лемма 3. Формула

А_ =

(1-ЛТ1 о

о

В Г,

FT ?■

S L

n е

= -

(5)

задает почты периодическую последовательность операторов Ли - JT/jrf £ . 4. Рассмотрим задачу Коши в фазовом пространстве Е

/

(б)

Теорема 1. Имеет место взаимно однозначное соответствие между решениями Л"( ^) класса 'КХ задачи (1)-(2) и решениями ип задачи (6). Решению х Е задачи (1)-(2) отвечает, решение ип задачи (6) с начальным вектором (3), вычисляемое по формуле х(т + п)

и

, г е [ОЛ], л> О

х(п)

Обратно, решению ltn

¥ш L

задачи (б) отвечает решение х ЕЯ1 задачи (1)-(2) с

начальной функцией (4), вычисляемое по формуле ,г( Г + fi) = J у/я ds + fH,

я1

= и,

ге[0Л]. п>0 . При этом х( т + п ) 5. Пусть

F0cC™: F*0 = F0, F0> 0, /¡,fIel5((Oil)^C1')1

F F r\ 2

F =

sf; f,

A-F.-F^F,.

O)

21S

Лемма 4. Матрица ¥ задает эрмитов оператор Е —* Е . При этом

Д > 0 =• ¥ > 0 , Д > 51. 5 > О => ¥ > е!е при некотором £ > О. 6. Будем говорить, что решение 1 = 0 системы (1)-(2) экспоненциально устойчиво, если это свойство имеет место для решения ип = 0 уравнения (6): для любого решения ип задачи (6) верна оценка

Ме^®"

W>0. ILV = const >0

'оНЕ" —^" С®)

Обозначим J класс матриц (7) с отделенным снизу от нуля «определителем»: Д >51, 5 = 5(¥)> 0.

Теорема 1. Для того чтобы решение X О системы (1)-(2) было экспоненциаяъно устойчиво, достаточно существование матрицы ¥ е У такой, что

Сп=¥-А1¥Ан>0. и>0, (9)

и хотя бы при одном к > 0 оператор равномерно положителен: > а1Е. а > 0 Пример. Рассмотрим задачу Коши

x(t) = ax(t) + b{t)x(t-l) (t>l)7 х\т=<реН\

а е М,

А =

л = г) = й(г+и)(11)

Г, b{t)\R^M, b{t)i.iЯ1 =И^((0,1)->Ж).

Уравнение (10) имеет вид (1)-(2), где Т = 0 при s = 0. Т = а 0<s<L Т = а + Ъ (11 при s — 1. Матрица (5) имеет вид

V-^rV + ^A) (t-aS0Yl{a+bt,) S 1

Построим, в предположении ) ^ |я|, последовательность функций [ОД] —> Ш

и пусть сщ = Sl4>|cw| на [ОД]. Покажем: если

а < 0. (fi>0). ck < 2 при некотором к > 0,

то решение X — 0 системы (1)-(2) экспоненциально устойчиво. Положим

(/-<)(/-а{1-<)

-Sa(l-aS0) а2-а Матрица (13) имеет - с учетом требования а < 0 — вид (7). Вычисления дают

Д = Д (F) = (1 - \а\ fl (/- aS + a2S*S0) > (1 + \а\ )"'I

(учтено S0 + Sq = 5 > 0). Тем самым ¥ € J. Подставляя (11), (13) в (7). получим

(10) при

¥ =

(12)

(13)

G_ =

(14)

Матрица (14) имеет вид (7) с «определителем» Д (Стп )=1 — >

>1—саБ^0>[1—ся/2^1 (учтено < 1/2/), тем самым, с учетом (12), имеем:

Д () > 0 (п > 0). Д > 51 при некотором к > 0, где = 1 - ск /2 > 0. Применение леммы 4 дает: матрица (14) удовлетворяет условиям теоремы 2, что и требовалось.

Библиографический список

1. Кирнченова, О. В. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / О. В. Кирнченова, А. С. Когюргана, Р. К. Романовский И Сиб. маг. журн. - 1996. - Т. 37, № 1. - С. 17СМ74.

2. Алексенко, Н. В. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Н. В. Алексенко, Р. К. Романовский И Дифференц. уравнения - 2001. - Т. 37, № 2. - С. 147—153.

3. Романовский, Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почта периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский, Г. А. Троценко И Сиб. мат. журн. — 2003. - Т. 44. № 2. - С. 444-453.

4. Романовский, Р. К. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почта периодической матрицей / Р. К. Романовский, Л. В. Бельгарт Н Сиб. мат. журн. - 2009. - Т. 50. № 1.-С. 190-193.

5. Романовский, Р. К. Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Кошн для гиперболической системы на плоскости / Р. К. Романовский, Л В. Бельгарт И Дифферени. уравнения. - 2010. - Т. 46, № 8.-С. 1125-1134.

220