Об одном классе индефинитных функционалов Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 5179 Л. В. БЕЛЬГАРТ

Омский государственный технический университет

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ИНДЕФИНИТНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА_____________________________________

Исследуется прямым методом Ляпунова дихотомия решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости. Предложен подход к построению класса индефинитных функционалов Ляпунова, в терминах которых формулируется признак дихотомии. Приведен иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: гиперболическая система, дихотомия, прямой метод Ляпунова, индефинитная эрмитова форма, метод характеристик.

В последние годы в цикле работ группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ развит вариант прямого метода Ляпунова для подклассов динамических систем с конечным числом степеней свободы и с распределенными параметрами [1—22]. В частности, в работах [5, 9, 16—19] этим методом получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости в Ц-норме решений задачи Коши и смешанной задачи для гиперболической системы с двумя независимыми переменными, в работе [22] — достаточный признак экспоненциальной дихотомии в Ц-норме для систем этого класса. Основная трудность, возникающая при применении результатов работ [5, 9, 16—19, 22] к конкретным динамическим системам такого типа, состоит в построении функционала Ляпунова, обеспечивающего выполнение требуемого свойства решений. В дефинитном случае (экспоненциальная устойчивость) в работе [18] содержатся частные рекомендации по построению таких функционалов. В индефинитном случае (экспоненциальная дихотомия) таких результатов нет. Данная работа посвящена этой проблеме. Предложен подход к построению класса индефинитных функционалов Ляпунова по коэффициентам системы. Приведен иллюстрирующий пример.

2. Рассмотрим в фазовом пространстве Н = Ь2(Я®СН)

¥

со скалярным произведением ^, к) = | к*gds задачу Коши —¥

я я "|

+ А(х)-----+ В(х) и = 0, х = («, г)е Л 2

дг

=0 = h(s )e H ■

(1)

Здесь u = R2®CN, A, B — матрицы порядка N,

A = diag(a1I1,K,anIn), a1 > ... > an , ak e C1, BeC, Ik— единичная матрица порядка Nk , XNk = N.

Будем предполагать:

(i) ak, a’ks, a’fa , B ограничены в R2, |a^ > const > 0. Тогда, в частности, проходящие через каждую точку x= (s, t)eR2 характеристики

lk(x) = {(s,t) :s = sk(t 4 s'kt = ak(sk t), sk(t>x) = s}

k = 1, n, определены глобально и пересекают каждую горизонталь и вертикаль один раз.

(ii) a=sup

k ,x

1 aksdt

gk

< ¥

где gk — отрезок кривой

7k(x) от точки с ординатой т=0 до точки х. В частном случае A=A(s) оценка (ii) следует из условия (i), в этом случае a < ln(bc-), b = sup|ak|, c = inf \ak\.

В случае, когда начальная функция h принадлежит линеалу H0 финитных ^-гладких функций R®CN, задача Коши (1) однозначно разрешима в классе C1(R2), при этом ограничение u(t) решения на каждую горизонталь t=const принадлежит H0 , и оператор Коши: h®u(t) ограничен. В случае любой heH под решением задачи Коши (1) понимается функция u(t) = U (t)h, где U(t) — продолжение по непрерывности оператора Коши из H0 в H.

Далее j-j — эрмитова норма в CN, так же обозначается согласованная с ней матричная норма, jj-jj — норма в H.

Следуя [23], будем называть взаимным, наклоном, подпространств H+, ИсИ число

Sn(H+, Н) = inf j jh++h- j j , h±eH±, j jh± jj = 1.

Будем говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1), если фазовое пространство H распадается в прямую сумму подпространств H+, H_ так, что

1) при некоторых p., v> 0 имеют место оценки heH+^j jU(t)h j j<pe‘ v(t-T) j j U(t)h j j (t>t),

heH_ ^j j U(t)h j j<pe‘ v(t-‘> j j U(t)h j j (t>t),

2) взаимный наклон движущихся подпространств H±(t) =U(t) H± отделен от нуля:

Sn [H+(t), H_(t)] const > 0.

Обозначим J класс матриц

F(x) = diag (Fl Fm -F.+ i -Fn) (xeR2)

с диагональными блоками порядков N^..., Nn со свойствами

F* = Fi, mlIi<Fi <m2Ii , (mk > 0)

F1eC1, ddtFi ограничены,

где d1 /dt-производная по t вдоль характеристики 71(x). Построим по матрице FeJ функционал HxR ®R

и (к, г ) = (^к, к) = 1 к*( )р (*> г )к( М . (2)

—¥

Производная функционала (2) вдоль траекторий системы (1), лежащих в Н0, дается формулой (см. [22])

и(к, г) = (Ок, к), С(х) = Р',+ (РЛ)',-РБ-Б-Р. (3)

Теорема 1 [22]. Пусть, при условиях (1), (И), существует. матрица Fe J такая, что при некотором т > 0 выполняется неравенство

F'.+ (FA)' - FB-B*F<-m! (xeR2).

(4)

Тогда имеет, место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1).

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010

12

Re B > bI

1 (i = 1, m), Re B11<-bI1 (i = m +1, n). (5)

В случае строго гиперболической системы все Бч — числа, и это требование проверяется непосредственно.

Проведем через точку х=(в, 1) характеристику !(х) (рис. 1). Обозначим Ц^, х), где z=(o■, т)є71(х), решение задачи Коши

+ Bii(z)

d-

U = О

, U|z = x = I,

(б)

U*U, <1 в

2b(- г)I; (i = 1, m,- > t),

2 b (t—- )i, (, = m +1, n, - < t)

(7)

Обозначим

z

1 aisd-

в, (z, x) = ex , Wj (z, x) = вi (z, x)U* (z, x)U, (z, x)

Построим матрицы

1 Wj (z, x )d- (i = 1, m )

1+ _______________________

1 Wj (z, x )d- (i = m +1, n)

Гі (x ) =

— JW-

17

(8)

где I+, 1— — части /1(х), лежащие соответственно не ниже (т > 1) и не выше (т > 1) точки х и проходящие «снизувверх».

Лемма. Имеют, место оценки

V, <№j<n2 (pk > 0).

(9)

1

Г, (x) > 1 wi (z, x)d-

(1O)

где x1 — точка на I(x) с ординатой t+1. В силу требования |a's | < const a = mininf ais > -да.

Нетрудно получить:

1, a > 0,

ea,a < 0. (11)

li.y 'liri 1 £>.

в і(z, x )> P = j

В силу требования jBj<const из оценок Винтнера следуют соотношения

U*U. > в-2Р(-—t)I , р = maxsup|B„|.

І І 1 ' i x

(12)

*• s

Будем называть функционал (2) со свойством (4) индефинитным, функционалом. Ляпунова для системы

(I). Г 1

3. Представим матрицу Б в блочном виде В = [В;у ] 1, где Б^ — блок размера ИхК. Будем дополнительно к (1),

(II) предполагать:

(ш) при некотором Ь > 0 имеют место неравенства

Из (10) — (12) вытекает левая оценка (9) при ^1 = = (1 — е'2р)р/2р. Случай I = т +1, п рассматривается аналогично.

Из (8) с учетом '1 (х, х) = 14, (di ^г)е;- = —а^г, и вытекающего из (6) соотношения (^ /^) и1=Ба(х)и1 нетрудно получить:

d- Г, =— I, — a's Г, +riBii + B* Г,, dt

откуда, в частности, следует, что

^ Г,

dt i

< const .

(13)

(14)

В силу оценок (9), (14) для матрицы (8) при любом наборе чисел

® = (®1,_, ®п)(®1 > 0), (15)

имеем

Б(х,®) = diаg (ю1Г1,^, <впГп)єЛ. (16)

Поставим в соответствие набору (15) эрмитову индефинитную блок-матрицу

Из требования (5) и оценок Винтнера для решений линейной системы [23, с. 182] следуют соотношения

ю, riBij + WjBj, Гу

Z(x,w) = [zj] 1n , 2 = 0, z,J ^

(И).

J

Теорема 2. Пусть при некотором наборе (15) выполняется неравенство

Z(x, ю)> — eI (0 <є < 1).

(17)

Доказательство. В силу требования (11) и соотношений (7) имеет место правая оценка (9) при т2 = г2а/2Ь. Проверим левую оценку (9) для случая I = 1, т . С учетом '1 > 0 имеем

Тогда матрица (16) удовлетворяет, требованию (4), тем. самым, функционал (2) с матрицей (16) — индефинитный функционал Ляпунова для системы. (1). Доказательство. При условии (17) для матрицы

С=-0(7 + 1)0, 0 = diag юп ),

имеет место оценка

С< — т1, т=(1—е ).шш ю1 .

Покажем, что С = С, где С — матрица (3) при Р = = Р(х, ю). Представим матрицы С, С в блочном виде аналогично Б с блоками С., С. . Вычисления дают:

Ч' н

Gy = Glj(i^ j),Gtt = — w Ij,

G" = w, f dit Г' + ais Г — GiBii — BJj Г,

С учетом равенства (13) получаем С11 = С11.

Т еорема доказана.

Пример. Рассмотрим задачу Коши для гиперболического уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

[y'tt— y'L + 2py't + 2qys + ry = ^ (s,t)e R

j y|t=о = je W21 (R), yt| t=о=y e L2(R )

(18)

Замена u =

(p — q)y + y's + y't

приводит (1B) к

-

є

x

виду (1), где

A= "1 0" , B= I —1 q — "

0 —1

—c p + q

c = p2 — q2 — r(heH), (19)

Будем говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (18), если это свойство имеет место для решений задачи Коши (1) с данными (19). Здесь требования (1), (И) выполняются очевидным образом, требования (ш) означают:

p - q > 0, p + q < 0,

(20)

Вычисления с учетом (20) дают: U1 = e (p q)(t ч, U =e-(p + q)(t - 4

Г1 = j U12 dt =

1

2( p—q),

Г2 =—j U^dt =

2( p+q),

Z = 5

5 =—-

2^1 ю1ю2 ^p — q p + q

Ввиду оценки Ъ >- |5|1 требование (17) означает выполнение неравенства |5| <1. Решая это неравенство при <в = (р — д, — (р + д)) и применяя теоремы 1, 2, получим, что для экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши (18) достаточно выполнение (20) и какого-либо из неравенств

2 '2 2 1),

-[•Л

—IVq2 — p2 +11 <r <—(q2 — p2 +1)

q

+1)< r <у q 2 — p2 — 1

Индефинитный функционал Ляпунова (2), обеспечивающий экспоненциальную дихотомию решений, имеет вид

Библиографический список

1. Добровольский, С.М. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей / С.М. Добровольский, А.С. Котюргина, Р.К. Романовский // Матем. заметки.-1992. — Т. 52, № 6.-С. 10-14.

2. Добровольский, С.М. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем / С.М. Добровольский, Р.К. Романовский // Матем. заметки. - 1997.-Т. 62, № 1.-С. 151- 153.

3. Кириченова, О.В. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / О.В. Кириченова, А.С. Котюргина, Р.К. Романовский // Сиб. мат. журн. - 1996.-Т. 37, № 1.-С. 170-174.

4. Кириченова, О.В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений / О.В. Кири-ченова //Сиб. мат. журн. - 1998.-Т. 39, № 1.-С. 45-48.

5. Воробьёва, Е.В. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными / Е.В. Воробьёва, Р.К. Романовский // Сиб. мат. журн. -1998. - Т. 39, № 6. - С. 1290-1292.

6. Алексенко, Н.В. Устойчивость решений почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа//Изв. вузов. Математика.-2000,-№. 2.-С. 3-6.

7. Алексенко, Н.В. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти пери-

одическими коэффициентами / Н.В. Алексенко, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения. - 2001. - Т. 37, № 2. - С. 147-153.

8. Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами.: монография / Р.К. Романовский [и др. ] — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2001.- 79 с. - КВК 5-8149-0072-5.

9. Романовский, Р.К. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости / Р.К. Романовский, Е.В. Воробьёва, И.Д. Макарова // Сиб. журн. индустриальной матем. 2003.-Т. 6, № 1 (13).-С. 118- 124.

10. Романовский, Р.К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами / Р.К. Романовский, Г.А. Троценко // Сиб. мат. журн. - 2003-Т. 44, № 2.-С. 444-453.

11. Троценко, Г.А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Изв. вузов. Математика.-2003.-№. 6. -С. 77-81.

12. Добровольский, С.М. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / С.М. Добровольский, А.В. Рогозин // Сиб. мат. журн. - 2005.-Т. 46, № 1.-С. 98-105.

13. Стругова, Т.М. Об устойчивости линейных стахостиче-ских разностных систем с почти периодическими коэффициентами // Матем. заметки. - 2005.-Т. 78, № 3.-С. 472 - 475.

14. Романовский, Р.К. Метод функционалов Ляпунова для почти периодических систем функционально-дифференциальных уравнений.: монография / Р.К. Романовский, Г.А. Троценко, Н.В. Алексенко. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007.- 90 с.

15. Романовский, Р.К. Метод Римана для гиперболических систем.: монография / Р.К. Романовский, Е.В. Воробьёва, Е.Н. Стра-тилатова-Новосибирск: Наука, 2007. - 170 с.-КВК 5-02-023170-3.

16. Романовский, Р.К. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболических систем с периодическими по времени коэффициентами / Р.К. Романовский, М.В. Мендзив // Доклады АН ВШ РФ: научный журн. - 2006.-№ 1(6).- С. 78-85.

17. Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами // Омский научный вестник.-2006.-№ 3 (36).- С. 75-78.

18. Романовский, Р.К. Устойчивость решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости с периодическими по времени коэффициентами / Р.К. Романовский, М.В. Мендзив // Сиб. мат. журн.-2007.-Т. 48, № 5.-С. 1134-1141.

19. Мендзив, М.В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем на плоскости с периодическими по времени коэффициентами / М.В. Мендзив, Р.К. Романовский // Дифференц. уравнения. - 2008.- Т. 44, № 2.- С. 257 - 262.

20. Романовский, Р.К. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Р.К. Романовский, Л.В. Бельгарт // Сиб. мат. журн. - 2009. - Т. 50, № 1.-С. 190-198.

21. Романовский, Р.К. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Р.К. Романовский, Л.В. Бельгарт // Матем. заметки. - 2008.-Т. 84, № 4. - С. 638-640.

22. Романовский, Р.К. Исследование экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости прямым методом Ляпунова/ Р.К. Романовский, Л.В. Бельгарт; Омский гос. техн. ун-т.-Омск, 2009.-12 с.-Деп. в ВИНИТИ, 16.04.2009. № 223-В2009.

23. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.-М.: Наука, 1970.-534 с.

БЕЛЬГАРТ Любовь Васильевна, старший преподаватель кафедры высшей математики.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 04.06.2010 г.

© Л. В. Бельгарт

1

— ¥

1

w

2

2

¥

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (93) 2010 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ