О дихотомии решений линейных систем второго порядка с почти периодическими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

11. Завьялов, А. М. Влияние скорости движения дорожных катков на величину контактных напряжений при уплотнении асфальтобетонной смеси / А. М. Завьялов, М. А. Завьялов // Строительные и дорожные машины. — 2003. — № 9. — С. 22-23.

БЕЛИЦКИЙ Виктор Дмитриевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), заместитель заведующего кафедрой «Нефтегазовое дело», почетный работник высшей школы Российской Федерации.

КАТУНИН Александр Владимирович, аспирант кафедры «Нефтегазовое дело», заведующий лабораториями.

Адрес для переписки: thngss@rambler.ru

Статья поступила в редакцию 24.04.2013 г.

© В. Д. Белицкий, А. В. Катунин

УДК 5179 Л. В. БЕЛЬГАРТ

Омский государственный технический университет

О ДИХОТОМИИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Для указанного в названии статьи класса динамических систем получен достаточный признак экспоненциальной дихотомии в терминах коэффициентов.

Ключевые слова: экспоненциальная дихотомия, прямой метод Ляпунова, индефинитная эрмитова форма.

1. Одна из проблем теории устойчивости — разработка эффективных методов анализа поведения при большом времени динамических систем, параметры которых почти периодически зависят от времени. Во второй половине прошлого века получен ряд результатов по этой проблематике в рамках метода малого параметра — работы И. З. Штокало, Н. П. Еругина, В. Н. Фомина, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, В. Ш. Бурда, Ю. С. Колесова [1-7] и других авторов. Вместе с тем в ряде случаев возникающие в приложениях задачи расчёта динамических систем на устойчивость и дихотомию не вкладываются в схему этого метода.

Некоторое продвижение произошло в последние 20 лет. В цикле работ [8-20] группы сотрудников и аспирантов ОмГТУ получены прямым методом Ляпунова признаки экспоненциальной устойчивости для различных классов почти периодических уравнений — дифференциальных, разностных, функционально-дифференциальных — с существенно ослабленным по сравнению с общим случаем условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы.

Начиная с середины прошлого века в теории дифференциальных уравнений интенсивно изучается более сложный, чем устойчивость, тип поведения решений, получивший название «экспоненциальная дихотомия». Получены приложения теории экспоненциальной дихотомии к задачам теории нелинейных колебаний, теории автоматического управления и другие. Представляет теоретический и практический интерес распространение методов и результатов указанных выше работ по анализу устойчивости решений почти периодических систем на этот случай. Первые результаты в этом на-

правлении получены в вышедших в последние пять лет работах Р. К. Романовского и Л. В. Бельгарт [21-24]. В частности, в работе [22] доказан прямым методом Ляпунова критерий экспоненциальной дихотомии для линейной системы

х = А(ф, (1)

с почти периодической матрицей A(t) с ослабленным условием на производную функции Ляпунова вдоль траекторий системы. Данная работа является продолжением исследований, выполненных в этой работе.

Задачи теории колебаний, теории автоматического управления в ряде случаев приводят к анализу асимптотического поведения — устойчивости, дихотомии — линейных систем вида

ц + р({)ц + (3т(()и = 0, (2)

с периодическими и почти периодическими матрицами p(t), q(t). Результат работы [22] позволяет получить просто проверяемый достаточный признак экспоненциальной дихотомии для системы (2).

Далее в пунктах 2-4 даны необходимые определения и сформулирована теорема из [22], в п. 5 излагается новый результат.

2. Пусть заданы функция ОД: R^C и число е>0.

Число T = Це) называется е-почти-периодом

функции ОД, если выполняется неравенство |^ +

+ 7)-ОД|<е ^еЩ.

Функция ОД называется почти периодической (п.п.), если она непрерывна на оси и для любого е>0 существует такое число 7=7(е), что любой отрезок длины I на оси содержит хотя бы один е-почти-период.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013

Матрица A(t) называется почти периодической, если все её элементы почти периодические.

3. Говорят, что для системы (1) с непрерывной матрицей A(t) и матрицей Коши Щ(^ имеет место свойство экспоненциальной дихотомии (э-дихотомии), если фазовое пространство распадается в прямую сумму

Е = Е1+Е2

так что 1 о

1°) при некоторых p, v>0 выполняются оценки

xeE,^\u(t)x\< це"уМ | и(х). х є Ег => I u(t)x | < це-ї('-*) І и(т).

(f>4

(t< т)

и ' 0 I "

X = , А-

й .~ч -Р.

q’=q, q<-ml (лг>0) deth#0, h = q + pq + qp’ >0 привсех ieR.

(4)

Тогда для. уравнения (2) имеет, место свойство э-дихотомии.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим

I 0

0 д"1

Очевидно Fє й.

Покажем, что для матрицы G и формы и на решении х(^ верны равенства

G = -

0 0

0 q^hq'1

v(x(t),t) = -uq 1hq‘u. (5)

Имеем

G = F + FA + A'F-

"0 0 + I 0 " " 0 I + Су 1 I О '

0 -q 'qq -' 0 Ч~\ -q -р / -р

I 0

0 q~'

і I о ; о і + ' 0 I ' + 0 -I '

0 -q qq г1 -ч'р I -pV_

"0 0 "0 0

I = 0 -q'(q + pq + qp')q Ґ 0 -q'hq'

---diag(o,q'hq'),

u(x(f),f)=x"Gx = [u‘ u’] [O -uq-'hq-1]

0 0 0 -q'hq-'

= -u'q~'hq^u ,

2°) взаимный наклон движущихся подпространств Ek(t) = U(t)Ek отделён от нуля.

4. Обозначим S класс матриц F: R^Mat (N, C) со свойствами

FeC': F’=F, |detF| >const >0, F,F" n.n.:

форма v(x, t)= (F(t) x, x) индефинитна.

Теорема 1. [22] I. Если для. системы. (1) с п. п. матрицей A(t) существует, матрица Fe S такая, что

1°) G(t) = F + FA-\-A'F<0 (tei?),

2°) форма и (x,t)=(G{t)x,x), отлична от тождественного нуля, на каждом ненулевом, решении. x(t) системы (1): то для системы (1) имеет

место свойство э-дихотомии.

II. Если. для. системы. (1) с п. п. матрицей A(t) имеет. место свойство э-дихотомии, то существует матрица FeS со свойствами 1°, 2°.

5. Будем говорить, что для уравнения (2) имеет место свойство э-дихотомии, если это свойство имеет место для эквивалентной системы (1), где

(3)

Теорема 2. Пусть для уравнения (2) с почти периодическими матрицами р, q выполняются, условия

тем самым равенства (5) доказаны.

Пусть х(^ — ненулевое решение системы (1) с матрицами (3). Тогда ц#0: в противном случае из (2) получим и=0^х=0. С учётом этого из (3), (5) нетрудно убедиться, что если Л>0 условия 1°, 2° теоремы 1 выполняются. Теорема доказана.

Обратим внимание, что матрица G вырождена и заведомо не удовлетворяет, требованию G(t)< — m I, teR доказанного А. Д. Майзелем [25] критерия э-дихотомии для системы (1) с непрерывной матрицей А(^.

Рассмотрим важный для приложения частный случай, когда уравнение (2) скалярное и коэффициенты р(^, q(t) — вещественные тригонометрические многочлены:

р(0=а0 +ЇА sin(vii+Фі )

¿=1

g(0 = b0 + ±bk sin(mtf + vj

k=1

Предполагается

at,bt,vt,(ot>0 (k>1)

(6)

(7)

Теорема 3. Для того, чтобы, для. уравнения (2) с коэффициентами. (6) имело место свойство э-дихотомии, достаточно выполнение неравенств

Ь0 < -Цьк, 2 а0 + Ь0 + -£а>4Ь* > 0

(8)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В проверке нуждаются последние два требования (4). Из (6) — (8) легко получить: р<0, q<0,

|р(ф-("ао+£аД к(ф-(Ч+1>Д |<эф!>А-

\ i=l / V *=1 J

С учётом этого имеем

h = 2pq + q> 2min|pqr| - max|g| > 2 min|p| • imn|g| - max|g| >

^2Г“о+Ё“ЛГь0+^ьЛ-х;ша>о,

откуда следует требуемое.

Библиографический список

1. Штокало, И. З. Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных уравнений с квазипериодическими коэффициентами / И. З. Штокало // Матем. сб. — 1946. — Т. 19 (61), № 2. - С. 263-268.

2. Еругин, Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н. П. Еругин. — Минск : Изд-во АН БССР, 1963. — 273 с.

3. Фомин, В. И. Математическая теория параметрического резонанса в линейных распределенных системах / В. И. Фомин. — Ленинград : Изд-во ЛГУ, 1972. — 237 с.

4. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М. : Наука, 1974. — 504 с.

5. Бурд, В. Ш. Бифракция почти периодических колебаний дифференциальных уравнений с последействием нейтраль-

ного типа, с быстрым и медленным временем / В. Ш. Бурд // Исследования по устойчивости и теории колебаний : сб. науч. тр. — Ярославль, 1976. — С. 143— 153.

6. Колесов, Ю. С. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных почти периодических уравнений с последействием / Ю. С. Колесов // Вестн. Яросл. ун-та. — 1973. — № 5. — С. 28 — 62.

7. Колесов, Ю. С. Обзор результатов по теории устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Ю. С. Колесов // Исследования. по устойчивости и теории колебаний : сб. науч. тр. — Ярославль, 1977. — С. 82—141.

8. Боль, П. О некоторых дифференциальных уравнениях общего характера, применяемых в механике / П. О. Боль. — Юрьев, 1900.

9. Доброволький, С. М. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей / С. М. Добровольский, А. С. Котюргина, Р. К. Романовский // Матем. заметки. — 1992. — Т. 52, вып. 6. — С. 10—14.

10. Добровольский, С. М. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем / С. М. Добровольский, Р. К. Романовский // Матем. заметки. — 1997. — Т. 62, вып. 1. — С. 151 — 153.

11. Добровольский, С. М. Прямой метод Ляпунова для почти периодической разностной системы на компакте / С. М. Добровольский, А. В. Рогозин // Сиб. мат. журн. — 2005. — Т. 46, № 1. — С. 98— 105.

12. Кириченова, О. В. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / О. В. Кириченова, А. С. Котюргина, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журн. — 1996. — Т. 37, № 1. — С. 170 — 174.

13. Кириченова, О. В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений / О. В. Кириченова // Сиб. мат. журн. — 1998. — Т. 39, № 1. — С. 45 — 48.

14. Мендзив, М. В. Прямой метод Ляпунова для гиперболических систем с почти периодическими по времени коэффициентами / М. В. Мендзив // Омский научный вестник. — 2006. — № 3 (36). — С. 75 — 78.

15. Рогозин, А. В. Прямой метод Ляпунова для почти периодических систем в банаховом пространстве / А. В. Рогозин, Р. К. Романовский // Доклады АН ВШ РФ. — 2005. — № 2 (5). — С. 65 — 72.

16. Рогозин, А. В. Об устойчивости решений линейного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве

с почти периодическим оператором / А. В. Рогозин // Доклады АН ВШ РФ. - 2006. - № 1 (6). - С. 24-32.

17. Прямой метод Ляпунова для уравнений с почти периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский [и др.]. -Омск : Изд-во ОмГТУ, 2001. - 80 с.

18. Романовский, Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем нейтрального типа с почти периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский, Г. А. Троценко // Сиб. мат. журн. - 2003 - Т. 44, № 2. - С. 444-453.

19. Стругова, Т. М. Об устойчивости линейных стахостиче-ских разностных систем с почти периодическими коэффициентами / Т. М. Стругова // Матем. заметки. - 2005. - Т. 78, № 3. - С. 472-475.

20. Троценко, Г. А. Об устойчивости решений почти периодической системы функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа / Г. А. Троценко // Изв. вузов. Матем. - 2003. - № 6. - С. 77-81.

21. Бельгарт, Л. В. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почти периодической матрицей / Л. В. Бельгарт, Р. К. Романовский // Матем. заметки. - 2008. -Т. 84, № 4. - С. 638-640.

22. Бельгарт, Л. В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей / Л. В. Бельгарт, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журн. - 2009.- Т. 50, № 1. -С. 190-198.

23. Бельгарт, Л. В. Об экспоненциальной дихотомии решений систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами / Л. В. Бельгарт, Р. К.Романовс-кий // Изв. вузов. Математика. - 2010. - № 10. - С. 51-59.

24. Бельгарт, Л. В. Дихотомия решений задачи Коши для почти периодической гиперболической системы на плоскости / Л. В. Бельгарт, Р. К. Романовский // Доклады АН ВШ РФ. -2010. - № 2 (15). С. 14-24.

25. Майзель, А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений / А. Д. Майзель // Тр. Ур. ПИ. Сер. мат. - 1954. - № 51. - С. 20-50.

БЕЛЬГАРТ Любовь Васильевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики.

Адрес для переписки: belgart@rambler.ru

Статья поступила в редакцию 10.06.2013 © Л. В. Бельгарт

Книжная полка

514.18/Ч-37

Чекмарев, А. А. Начертательная геометрия и черчение [Электронный ресурс] : учеб. для бакалавров высш. учеб. заведений по техн. специальностям / А. А. Чекмарев. - 4-е изд., испр. и доп. - М. : Юрайт, 2012. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM) : цв. ; [471] с. : рис. - (Бакалавр) (Электронные учебники издательства «Юрайт»). - Загл. с титул. экрана.

В учебнике изложены основы начертательной геометрии в непосредственной связи с основами технического рисунка и черчения; основы машиностроительного черчения, правила выполнения схем; даны элементы строительного и топографического черчения; основы использования персональных электронных вычислительных машин для решения графических задач.

Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования третьего поколения.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (123) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ