Устойчивость прямолинейных движений омни-экипажа с учетом инерционности роликов колес Текст научной статьи по специальности «Физика»

78

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

11. Головин А.М., Фоминых В.В. Сопротивление капли с внутренним тепловыделением при ее движении в вязком потоке пара // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 2. 32-37.

12. Борис А.Ю. Медленное обтекание сильно нагретой сферы при вдуве или испарении с ее поверхности // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1982. 4. 128-134.

13. Maes R., Rousseaux G., Scheid B., Mishra M., Colinet P., De Wit A. Experimental study of dispersion and miscible viscous fingering of initially circular samples in Hele-Shaw cells // Phys. Fluids. 2010. 22, N 12. 123104.

14. Dushin V.R., Nikitin V.F., Phylippov Y.G., Legros J.C. Two-component fluid convective flow in thin gaps // Acta Astronaut. 2010. 66, N 5-6. 742-747.

Поступила в редакцию 08.12.2017

УДК 531.01

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ДВИЖЕНИЙ ОМНИ-ЭКИПАЖА С УЧЕТОМ ИНЕРЦИОННОСТИ РОЛИКОВ КОЛЕС

Г. Н. Моисеев1, А. А. Зобова2

Рассматривается динамика мобильного экипажа с тремя омни-колесами, движущегося по инерции по неподвижной, абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Для исследования влияния инерции ролика на устойчивость прямолинейных движений экипажа переднее колесо моделируется как два твердых тела: диск колеса и опорный ролик, причем ролик не проскальзывает относительно плоскости; задние колеса моделируются дисками, проскальзывающими без трения в перпендикулярном к их плоскостям направлении (безынерционная модель омни-колеса). Составлены динамические уравнения движения экипажа в форме лаконичных уравнений Татаринова для систем с дифференциальными связями. Показана их связь с динамическими уравнениями, полученными для экипажа с тремя безынерционными омни-колесами, и исследована устойчивость прямолинейных движений.

Ключевые слова: омни-колесо, устойчивость, мобильный экипаж, неголономные системы, уравнения Татаринова.

We consider the dynamics of a three-wheeled omni-mobile vehicle moving without control on perfectly rough horizontal plane. To analyze the effect of wheel roller inertial properties on stability of rectilinear motions of the vehicle, we model the front omni-wheel as two rigid bodies — a disk and a roller in contact with the plane — and assume that the roller does not slide. The other two wheels are modeled as rigid disks that can slide in the direction perpendicular to their planes (a non-inertial omni-wheel model). We use Tatarinov's laconic equations for systems with differential constraints to derive dynamic equations of the system. We compare them with the equations for a vehicle with three non-inertial omni-wheels and study the stability of rectilinear motions.

Key words: omni-wheel, stability, mobile vehicle, non-holonomic constraints, Tatarinov's equations.

1. Введение. Простейшей моделью омни-колеса, движущегося по абсолютно шероховатой плоскости, является абсолютно твердый диск, который скользит без трения в перпендикулярном к плоскости колеса направлении [1, 2]. Подобная модель основывается на бесконечной малости контактирующих роликов нулевой массы, которые равномерно распределены по ободу колеса [3]. Однако большая часть реальных моделей омни-колес содержит в конструкции лишь небольшое число крупных массивных роликов на ободе, массово-инерциальные характеристики которых могут повлиять

1 Моисеев Георгий Николаевич — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: moiseev.georgii@gmail.com.

2 Зобова Александра Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: azobova@mech.math.msu.su.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

79

на динамику экипажа. В настоящей работе рассматривается динамика экипажа с тремя ролико-несущими колесами некоторой конкретной конструкции (рис. 1), который совершает безотрывное движение по шероховатой горизонтальной плоскости в поле тяжести. Плоскости колес неподвижны относительно платформы экипажа. Задние колеса моделируются абсолютно твердыми дисками, скорости наинизших точек которых перпендикулярны к их плоскости (простейшая модель [1, 2]), а переднее колесо представляет собой систему двух тел: опорный ролик, который движется без проскальзывания, и основание колеса с зафиксированными неопорными роликами. Связи предполагаются идеальными.

2. Постановка задачи. Пусть 5 = (х,у) — центр масс экипажа, 9 — угол курса экипажа: угол между направлением Ох и вектором РР^ где Q — середина задней оси экипажа, Р\ — центр правого колеса. Через Р2 обозначим центр переднего колеса, через Р3 — левого; Х1, Х2 и — соответствующие углы собственного вращения колес (положительное направление отсчета углов — против часовой стрелки, если смотреть со стороны платформы). Проведем обезразмеривание: массу всего экипажа и радиус колеса положим равными единице.

Рис. 1. Экипаж (а), омни-колесо (б)

Введем также базисные векторы eg = QPi/|QPiev = QP2/IQP2I. Экипаж считается симметричным относительно прямой Qn; |QP¿| = 5¿, причем 5i = 5з = 5; |QS| = А. Будем рассматривать лишь такое движение экипажа, при котором касание колеса с плоскостью происходит посредством одного и того же ролика, т.е. нет "переключения" с одного опорного ролика на другой. С учетом

этого ограничения будем считать, что y2 €--, — (в положении Х2 = 0 центр масс ролика О2 ле-

V n и/

жит на одной вертикали с P2). Введем обозначения: O2Y — ось вращения опорного ролика; 02^Пв — правый трехгранник, оси которого являются главными для ролика в точке O2, а а — угол его собственного вращения (угловая скорость ролика относительно колеса ^рол = аe7). Внешняя поверхность ролика в собственных осях O27??/? задается уравнением 72 + ^\Jr¡2 + ¡3'2 + cos —j = 1

(аналогично [3]). Рассматривается частный случай n = 4. Положение системы описывается семью обобщенными координатами, на которые наложены четыре дифференциальные связи. 3. Динамика экипажа. Введем псевдоскорости v¿ по формулам

v1 = ¿cos в + yy sin в, v2 = — ¿sin в + y cos в, v3 = Лв;

суть Л будет объяснена позднее. Физический смысл vi и V2 — проекции скорости центра масс vs на базисные векторы eg и ev соответственно. Уравнения связей имеют вид

5 5 i

V-2 + д V-í - XI =0, V-2 - — V-i + Хз = 0, V-2- (р(х2)) á = 0,

г/i - 02 А и3 + Х2 = 0. (1)

Здесь первое, второе и четвертое уравнения выражают отсутствие проскальзывания всех колес в их плоскостях, т.е. равенство нулю проекции скорости точки контакта на плоскость колеса, а

третье — отсутствие проскальзывания ролика переднего колеса. Механический смысл функции р(х2) = (cos--eos таков: это величина, обратная расстоянию от точки контакта переднего

колеса M2 до оси вращения ролика.

Кинетическая энергия системы имеет вид

2T = x2 + y2 + Л2¿2 + Л2 (х? + XÍ) + Л2х2 + A2 (20á sin Х2 + а2) ,

где Л2 — момент инерции всего экипажа (включая колеса) относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс; Л2 и Л2 — момент инерции задних колес и переднего колеса соответственно относительно их осей вращения; A2 — момент инерции ролика относительно O2Y. Для безынерционной модели переднего колеса имеем A2 = 0.

С учетом уравнений связи и определений псевдоскоростей кинетическая энергия примет вид

¿2 Л)2 >

2Т* = (1 + А2) г/2 + (1 + 2А2 + АУ Ы) г/| + (l + 2А2 Ь-2 + А2 4 ~

2^2-А 2А2р(х 2)втх2 - 2А2 —^— г/1 г/3 Н--д-г/2 г/3.

Так как в системе действует только одна потенциальная сила — сила тяжести, а центр масс системы не меняет высоты, функция Лагранжа Ь совпадает с кинетической энергией Т (соответствующую Т* функцию Лагранжа будем обозначать Ь*). Чтобы составить уравнения движения экипажа, воспользуемся лаконичными уравнениями Татаринова [4] для систем с линейными по псевдоскоростям и не зависящими от времени связями:

3 = 1 3 = 1

где Qj, (а — соответствующие хз и а обобщенные силы (в нашем случае Qj = 0, (а = 0), а Рг определяются из соотношения

PxX + Py y + + PiX 1 + P2X 2 + РзХ 3 + P«a = ^ p¿v>¿.

i=1

Уравнения движения имеют вид

Л • , л • 1 - A2p(x2)cos Х2 fri, A1U1 - кА3и3 =---г/2г/3, (2)

(А2 + А2Р2(Х2)) г>2 + A2p(Xfin%2 г/3 = ^ +

+ А2Р1(х2)г/1г/2 - тА2Мх2)г^з - г ^2)0^X2 ^ (3)

h л ■ , А2РШ sinx2 . л . А2р2(х2) А2р'Ш sinx2 m

-кА3ь>Н--—-г/2 + А3г/3 =-—-щг/2 - т-—-г/2г/3, (4J

где Ai = 1 + A¡, А2 = 1 + 2А2, т = ~ А, а = у, А3 = 1 + (2а2 + г2)А2, к = ^--массово-

Л Л A3

инерционные характеристики экипажа; pi(X2) = р(Х2)р'(Х2), Р2(Х2) = р'(Х2) sinХ2 + p(X2)cos Х2-

Так как коэффициенты уравнения зависят от Х2, для замыкания системы необходимо добавить

уравнение (1). При A = 0 уравнения совпадают с уравнениями движения экипажа, когда для всех

трех колес используется безынерционная модель [2].

4. Исследование устойчивости прямолинейного движения. Уравнения (1)—(4) имеют

следующее решение:

v2 = v = const = 0, v1 = 0, v3 = 0, x2 = X0 = const (5)

ПРИ Х'2 £ 4^)' ВоспользУемся линеаризованной системой для анализа устойчивости прямоли-

нейного движения. Линеаризованная система имеет вид

лёи = с ,

где

А

( Ai

0

-кАя

А2

0\

0 А2 + А2(р0)2 sinX°0 А2

-к А3 — p°sinx2 0

0

Аз 0

С

/ 1 - А2р0 cos х2 \ 0 0 -4-0

Л

А2 piv 0 -гА2р°1ь ^2Р2„п тА2р\ sin xl

(у U —

V

л 10

Лр0 т

0

v 0 0

•ви = Т при р(х0) = р0, рх(х0) = р1, р2(х2) = Р0, р'(х2) = р°/р0. Характеристиче-

ское уравнение системы записывается следующим образом:

ёе1 (С — рА) = р2(а2р2 + ахр + а0) = 0,

где

02 = + A2{p°f COSX°) (1 - А2р° COS Х°)

1

а-1 = д- (-А2А2тр\ втхг/р0 - + А2(р0)2) А3к) и, а,0 = (МЛ

У уравнения два нулевых и два ненулевых корня, при этом р2 < 0, р0 < 0. Отсюда в случае V = 0 имеем 0,2 > 0, ао > 0, знаки ах и V противоположны. Тогда, согласно критерию Гурвица, имеем хотя бы один корень с положительной действительной частью при V > 0, следовательно, такое движение неустойчиво.

При V < 0 наблюдается критический случай двух нулевых корней, причем остальные корни имеют отрицательную действительную часть, а семейство решений (5) двухпараметрическое. Согласно теореме Ляпунова (см., например, [5, §34]), такое движение устойчиво, причем всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенному, стремится с неограниченным возрастанием времени к одному из установившихся движений этого вида.

Рис. 2. Возмущенные движения для безмассового и массивного ролика: сплошные линии

пунктир — А = 0

А = 0,08;

В безынерционной модели (А = 0) семейству (5) соответствуют решения вида vi =0, V2 = v = const, V3 = 0, устойчивые также при v < 0 [2], следовательно, на условие устойчивости добавление инерции ролика не повлияло. Однако при А = 0 существуют также прямолинейные движения вида vi = 0, V2 = v, V3 = 0, такие, что скорость центра масс S экипажа составляет некоторый ненулевой угол с осью симметрии, и именно таким будет в общем случае финальное движение экипажа в безынерционной модели омни-колеса при возмущении устойчивого прямолинейного движения. Таким образом, учет инерционности ролика ведет к качественным отличиям в финальных прямолинейных движениях экипажа. Этот результат проиллюстрирован численным моделированием. На рис. 2 показаны зависимости vi, V2 от времени (а, б) и траектории центра масс S (в) для следующих

3

числовых параметров: А = 0 (пунктир), А = 0,08 (сплошные линии), 6 = 2, 82 = 4, А = 1, Л = —,

Л2 = А = -, 1/1(0) = 0,05, г/2(0) = V = -1, г/3(0) = 0,01, %2(0) = 0, 0(0) = 0, ж(0) = у{0) = 0. Для 3

решения задачи Коши использовался метод Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага. На рис. 2, в, где изображены траектории, схематично (без соблюдения масштаба) показана ориентация экипажа.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 16-01-00338).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мартыненко Ю.Г., Формальский А.М. О движении мобильного робота с роликонесущими колесами // Теория и системы управления. 2007. № 6. 142-149.

2. Зобова А.А., Татаринов Я.В. Динамика экипажа с роликонесущими колесами // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 1. 13-22.

3. Косенко И.И., Герасимов К.В. Физически ориентированное моделирование динамики омнитележки // Нелинейная динамика. 2016. 12, № 2. 251-262.

4. Татаринов Я.В. Уравнения классической механики в лаконичных формах. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2005.

5. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

Поступила в редакцию 06.12.2017

УДК 532.5.031

О ФОРМЕ ВОРОНКИ ВЫБРОСА ПРИ ВЗРЫВЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ГРУНТА ШНУРОВОГО ЗАРЯДА КЛИНОВИДНОЙ ФОРМЫ

С. Л. Толоконников1

В твердожидкостной импульсной постановке исследована задача о взрыве на поверхности грунта шнурового заряда клиновидной формы. Построено общее решение задачи, проведен параметрический анализ. Изучена зависимость формы и размера воронки выброса от основных определяющих параметров задачи.

Ключевые слова: взрыв, воронка выброса, идеальная несжимаемая жидкость, импульсная постановка.

The problem of explosion of a wedge-shaped line charge on the surface of the ground is studied within the solid-liquid formulation of the pulse-hydrodynamic model. The general solution to the problem is constructed. A parametric analysis is performed. The dependence of the profile and dimensions of the explosion crater on the governing parameters is analyzed.

Key words: explosion, ejection crater, ideal incompressible fluid, pulse-hydrodynamic model.

В работе [1] академиком М.А. Лаврентьевым была предложена математическая модель взрыва в грунте, получившая название твердожидкостной. В этой модели грунт моделируется средой, являющейся идеальной несжимаемой жидкостью. Воздействие взрыва описывается заданным импульсом давления продуктов взрыва на среду. Считается, что в области, где возникает движение грунта при взрыве, скорость больше некоторого критического значения vo. При этом границей воронки выброса, отделяющей вовлеченный в движение грунт от твердого, является поверхность с постоянным значением модуля скорости, равным vo. В случае, когда заряд является шнуровым и имеет значительную протяженность, задача может быть рассмотрена как плоская.

Решения ряда задач о взрыве в грунте поверхностных или заглубленных шнуровых зарядов были получены, например, в [2-8].

В [4] исследована плоская задача об образовании воронки выброса при поверхностном взрыве плоского шнурового заряда. В настоящей работе рассматривается более общая задача о взрыве на

1 Толоконников Сергей Львович — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolsl@mech.math.msu.su.