CC BY
16Л2 = А = 1/1 (0) = 0,05, г/2(0) = V = -1, г/3(0) = 0,01, %2(0) = 0, 0(0) = 0, ж(0) = у{0) = 0. Для 3
решения задачи Коши использовался метод Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага. На рис. 2, в, где изображены траектории, схематично (без соблюдения масштаба) показана ориентация экипажа.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 16-01-00338).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мартыненко Ю.Г., Формальский А.М. О движении мобильного робота с роликонесущими колесами // Теория и системы управления. 2007. № 6. 142-149.
2. Зобова А.А., Татаринов Я.В. Динамика экипажа с роликонесущими колесами // Прикл. матем. и механ. 2009. 73, вып. 1. 13-22.
3. Косенко И.И., Герасимов К.В. Физически ориентированное моделирование динамики омнитележки // Нелинейная динамика. 2016. 12, № 2. 251-262.
4. Татаринов Я.В. Уравнения классической механики в лаконичных формах. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2005.
5. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию 06.12.2017
УДК 532.5.031
О ФОРМЕ ВОРОНКИ ВЫБРОСА ПРИ ВЗРЫВЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ГРУНТА ШНУРОВОГО ЗАРЯДА КЛИНОВИДНОЙ ФОРМЫ
С. Л. Толоконников1
В твердожидкостной импульсной постановке исследована задача о взрыве на поверхности грунта шнурового заряда клиновидной формы. Построено общее решение задачи, проведен параметрический анализ. Изучена зависимость формы и размера воронки выброса от основных определяющих параметров задачи.
Ключевые слова: взрыв, воронка выброса, идеальная несжимаемая жидкость, импульсная постановка.
The problem of explosion of a wedge-shaped line charge on the surface of the ground is studied within the solid-liquid formulation of the pulse-hydrodynamic model. The general solution to the problem is constructed. A parametric analysis is performed. The dependence of the profile and dimensions of the explosion crater on the governing parameters is analyzed.
Key words: explosion, ejection crater, ideal incompressible fluid, pulse-hydrodynamic model.
В работе [1] академиком М.А. Лаврентьевым была предложена математическая модель взрыва в грунте, получившая название твердожидкостной. В этой модели грунт моделируется средой, являющейся идеальной несжимаемой жидкостью. Воздействие взрыва описывается заданным импульсом давления продуктов взрыва на среду. Считается, что в области, где возникает движение грунта при взрыве, скорость больше некоторого критического значения vo. При этом границей воронки выброса, отделяющей вовлеченный в движение грунт от твердого, является поверхность с постоянным значением модуля скорости, равным vo. В случае, когда заряд является шнуровым и имеет значительную протяженность, задача может быть рассмотрена как плоская.
Решения ряда задач о взрыве в грунте поверхностных или заглубленных шнуровых зарядов были получены, например, в [2-8].
В [4] исследована плоская задача об образовании воронки выброса при поверхностном взрыве плоского шнурового заряда. В настоящей работе рассматривается более общая задача о взрыве на
1 Толоконников Сергей Львович — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolsl@mech.math.msu.su.
Рис. 1. Схема течения (а), параметрическая область (б), область изменения комплексного потенциала (в)
поверхности грунта шнурового заряда, имеющего форму клина с щеками длиной l, наклоненными к поверхности грунта под углом па (0 ^ а ^ 1/2). Схема течения в физической плоскости z = x + iy показана на рис. 1, а. На участке области течения DAD', соответствующем заряду, задано постоянное значение потенциала р = —ро = —pt/p, где pt — импульс давления, р — плотность. На линии тока CBC' модуль скорости постоянен и равен некоторому критическому значению vo. Эта линия принимается границей воронки выброса, ее форма заранее неизвестна и определяется в процессе решения задачи. На участках свободной поверхности грунта DC и D'C' значение потенциала р = 0. Вследствие симметрии будем рассматривать только область течения ABC DA, расположенную слева от плоскости симметрии.
Решение задачи строится отображением областей изменения комплексного потенциала w и комплексной скорости dw/dz течения на область изменения вспомогательного параметрического переменного и, в качестве которой выбирается правый верхний квадрант (рис. 1, б). Областью изменения комплексного потенциала является полуполоса (рис. 1, в).
Для построения отображения dw/du(u) проанализируем его особенности в параметрической области. В точке B (и = 0) вследствие нарушения конформности отображения w(u) в его тейлоровском разложении по степеням и отсутствует линейный член, функция dw/du(u) имеет в точке и = 0 нуль первого порядка. При обходе точки A (и = а) по бесконечно малой полуокружности увеличению arg(u — а) на п соответствует увеличение arg(w + р0) на п/2, откуда следует, что функция dw/d^^ имеет в этой точке особенность вида (и — а)-1/2. В точке D (и = 1) функция w(u) имеет логарифмическую особенность, а dw/dи(и) — простой полюс.
При аналитическом продолжении dw/dv,(v,) на всю плоскость и, согласно принципу симметрии [9], добавляются простой полюс в точке и = —1 и особенность вида (и + а)-1/2 в точке и = —а. Следовательно,
dw и
lhi,= (и — 1)(Ч/, + 1)(г/, — а,)1/'2(и + а,)1/2' ()
где N — некоторая постоянная.
Интегрируя (1) по бесконечно малой полуокружности вокруг точки и = 1, находим
2д/1 - а2Ро . W =-г.
п
(2)
Функция dw/dz(u) в точке В (и = 0) является регулярной. При обходе точки О (и = 1) увеличению а^(и — 1) на п соответствует уменьшение arg(dw/dz) на п — па. Следовательно, dw/dz(u) в точке и = 1 имеет особенность вида (и — 1)а-1. Аналогично устанавливается, что в точке и = а имеется особенность вида (и — 1)-а. При аналитическом продолжении на всю плоскость и добавляются в точках и = —1 и и = —а особенности (и + 1)1-а и (и + а)а соответственно. Таким образом,
dw dz
■IVо ■
(u + iy-a(u + а)с (и - 1)1"°(г/, - а)с
В формуле (3) учтено также, что dw/dz(0) = iv0. С использованием (1)—(3) находим
(3)
dz du
Ро Vo
и
п (и — 1)а (и + 1)2-а (и — а)1/2-а (и + а)1/2+а'
2
Интегрирование (4) по отрезку и € [а, 1], соответствующему участку А^ заряда в параметрической области, позволяет найти:
кро
3 (а)
п
1
,]{а) = 2л/1 - а2 J
и ¿и
(1 - и)а(1 + и)2-а(и - а)1/2-а(и + а)1/2+а'
(5)
С учетом (5) соотношение (4) записывается в виде
1 ^ I ^и
2 у/1 - а.2_и_
./(а) (г/, - 1)«(г/, + 1)2"«(г/, - а)1/2-«(г/, + а)1/^
(6)
Функция 3(а), определенная на интервале а € (0,1), является монотонно убывающей, ее область значений — интервал (0,- ]. Таким образом, для каждого значения безразмерного пара-
метра 0 < с < ст, где ст
1 — а 1
из (5) определяется единственное соответствующее значение
п(1 — а):
а € (0,1). После того как найдены значения параметра а, с помощью формул (3) и (6) можно вычислить все интересующие геометрические и физические характеристики течения. В частности, с помощью (6) определяется форма границы СВ воронки выброса.
На рис. 2, а показаны найденные путем расчета формы границ воронки выброса при а = 1/6 и различных значениях с. Уменьшение параметра с, которое можно трактовать как усиление импульсного воздействия заряда, приводит в увеличению размеров воронки. При стремлении с к нулю размеры воронки неограниченно возрастают. В другом предельном случае с ^ ст расстояние между точками В и А стремится к нулю, а форма воронки оказывается близкой к окружности радиуса I с центром в точке
При с ^ ст решения, соответствующего рассматриваемой схеме, не существует. В этом случае границей воронки также будет окружность с центром в точке но радиус ее меньше I, т.е. выброс произойдет только на краях заряда и часть заряда в некоторой окрестности его центральной точки А сработает впустую [4].
Рис. 2. Форма границы воронки выброса ВС в случае: а — а = 1/6 при значениях пс = 0,1; 0,15; 0,2; 0,3; 0,5;0,8; 1,19 (кривые 1-7 соответственно); б — пс = 0,3 при различных значениях а: а = 0 (сплошная линия); а =1/4 (пунктирная линия); а = 1/3 (штрихпунктирная линия); а =1/2 (точки)
0 3
На рис. 2, б представлены найденные расчетом формы границ воронки при с = —и различных
п
значениях а. Для случая а = 0 граница воронки совпадает с найденной в [4].
Определим ширину воронки 5 как расстояние между точками С и С', а ее глубиной Н будем считать максимальное расстояние от точек линии ВС до уровня поверхности грунта у = 0.
На рис. 3, а, б показаны рассчитанные зависимости величин 5/1 и Н/1 соответственно от а при различных значениях параметра с. Обращает на себя внимание немонотонность этих зависимостей.
Для каждого с максимальные значения 5/1 и Н/1 достигаются при а = а1 (с) и а = а2 (с) соответственно, причем а1(с) < 1/4 < а2(с). Уменьшение параметра с приводит к росту а1(с) и убыванию а2(с), причем при с ^ 0 имеем а1(с), а2(с) ^ 1/4. Отсюда можно сделать вывод о том,
с
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2018. №6
85
Рис. 3. Зависимости от а относительных ширины S/1 (а) и глубины H/1 (б) воронки при значениях пс = 0,05; 0,7; 0,1; 0,15; 0,2; 0,3; 0,5; 1 (кривые 1-8 соответственно)
что при малых значениях с с целью получения воронки максимальных размеров следует выбирать
а = 1/4.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 16-01-00519).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М.: Изд-во АН СССР, 1962.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973.
3. Кузнецов В.М. Математические модели взрывного дела. Новосибирск: Наука, 1977.
4. Кузнецов В.М. О форме воронки выброса при взрыве на поверхности грунта // Прикл. матем. и техн. физика. 1960. № 3. 152-156.
5. Ильинский Н.Б., Поташев А.В., Рубиновский А.В., Фищенко П.А. Решение некоторых задач теории взрыва в импульсно-гидродинамической постановке // Тр. семинара по краевым задачам. Вып. 14. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1977. 98-109.
6. Кузнецов В.М., Поляк Э.Б., Шер Е.Н. О гидродинамическом взаимодействии шнуровых зарядов ВВ // Прикл. матем. и техн. физика. 1975. № 5. 93-101.
7. Поляк Э.Б., Шер Е.Н. О форме воронки выброса при взрыве шнурового заряда в двухслойной среде // Прикл. матем. и техн. физика. 1973. № 2. 143-146.
8. Кузнецов В.М., Поляк Э.Б. Импульсно-гидродинамические схемы расчета взрыва на выброс шнуровых зарядов ВВ // Физ.-техн. пробл. разработки полезных ископаемых. 1973. № 4. 32-39.
9. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979.
Поступила в редакцию 25.04.2018
