Устойчивость программного многообразия одноконтурных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 2 (1). 2010. С. 72-78

УДК 517.925; 62.50

Устойчивость программного многообразия одноконтурных систем

С. С. Жуматов

Лаборатория динамических систем Институт математики ул. Пушкина, 125, Алматы, Казахстан 050010

Рассматриваются одноконтурные системы, обладающие заданным программным многообразием. Получены необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости программного многообразия относительно вектор-функции ш, когда матрица состояния имеет специальную структуру.

Ключевые слова: одноконтурные системы, программное многообразие, нелинейность, абсолютная устойчивость, функция Ляпунова.

1. Введение

Задача построения всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую, впервые была сформулирована в [1] Н.П. Еругиным, где был дан метод её решения. Этот метод получил дальнейшее развитие в исследованиях А.С. Галиуллина, И.А. Мухаметзянова, Р.Г. Мухарля-мова и их учеников. Подробный обзор приведён в [2]. Эти исследования посвящены постановке и решению различных обратных задач динамики, проблем построения систем программного движения. Заметим, что в процессе решения указанных задач построение устойчивых систем по заданному многообразию превратилось в самостоятельную теорию. В работах [3-7] решались задачи о построении дифференциальных уравнений устойчивого и оптимального движений, о стабилизации движения механических систем и приведения уравнения динамики к заданной структуре. В [8,9] исследовались вопросы динамики экономических объектов и проблемы их управления с помощью методов моделирования механических систем. Построению систем автоматического управления по заданному многообразию посвящены работы [10-12], где системы управления строились для случая, когда нелинейная функция ^>(о) является скалярной, и установлены достаточные условия абсолютной устойчивости. В [13,14] решены задачи построения систем автоматического управления, когда нелинейная функция является векторной и удовлетворяет условиям локальной квадратичной связи.

Целью данной работы является построение одноконтурных систем по заданному многообразию.

Для решения этой задачи воспользуемся подходом предложенной в работе [3].

Пусть дифференциальное уравнение

Ц = -Я'П1 (1)

где ц — п-мерный вектор, Я(п х п) — некоторая матрица, обладает (п — з)-мерным гладким многообразием П(£), заданным линейным векторным уравнением

= + д(1) = 0, (2)

где ш — 8 — п-мерный вектор, Н\ (в х п) — заданная постоянная матрица, д(Ь) — з-мерная заданная вектор-функция.

На основании критерия, что П(£) является интегральным для системы (1), имеем

дш дш .

- = ж + ^ = ^ (3) Здесь Р(Ь,Г1,ш) = 0 функция Еругина, обладающая свойством Р= 0.

Устойчивость программного многообразия одноконтурных систем 73

Следует отметить, что при построении систем, кроме условия (3), одним из основных требований является условие устойчивости многообразия относительно некоторой заданной функции.

Вместе с уравнением (1) рассмотрим систему вида

г] = -Я'Л - (&), ° = 1ТРТш - Рп+Ю, (4)

где ц, к, I — п-мерные векторы-столбцы:

г]Т = \\щ,...,'Пп\\, а = щ+и кТ = 0,..., 0||, 1Т = ||0,..., 0,а„+1||, а Р(в х п), Я(п х п) — постоянные матрицы

pi 0 0 .. .0 0

-«2 Р2 0 .. .0 0

Q = 0 -а3 Рз .. .0 0 . (5)

0 0 0 .. . -ап Рп

Нелинейная характеристика f (а) непрерывна по а и удовлетворяет условиям f (0) = 0 Л ha2 < f (а)а < k2a2 V а = 0, (6)

где ki и — положительные постоянные.

Известно, что функция f (а) по существу является функцией управления по отклонению от программы и при ш = а = 0, в силу условий (6), система (4) принимает вид (1). Следовательно многообразие fi(i) является интегральным и для системы (4).

Если положим

Xi = Tli, О = хп+1, Pi = Т-1 > 0 Л ai = Т-1 = jiPi > 0 V , (7)

то получим одноконтурную систему, состоящую из п +1 апериодических звеньев, замкнутую нелинейной обратной связью. Апериодическими звеньями могут служит двигатели разных типов (электрические, гидравлические, пневматические и т.д.), электрический генератор постоянного тока, резервуар с газом и т.д. [15]. Обычно процессы в такой системе описываются следующими уравнениями [16]:

(Tip +1)xi = -71/(хп), (Тгр +1)хг = -Ъ xi-i, Vi%+1, (8)

d т

где р = —, li, 7i — положительные постоянные: dt

Ti > 0 Л ъ > 0 V (9)

Предположим, что Р = —Аш, (—А(в х в)) — гурвицева матрица, тогда, дифференцируя многообразие (2) по времени ¿, в силу системы (4) получим

т т

Со = —Аш — — к/(а), & = I Р ш — рп+1о\ (10)

Определение 1. Программное многообразие называется абсолютно устойчивым относительно вектор-функции ш, если оно асимптотически устойчиво в целом на решениях системы (10) при любых ш(1о,щ) и функции f (а), удовлетворяющей условиям (6).

Рассмотрим линеаризованную систему

Со = —Аш — ЬИа, (7 = стш — рп+\(т, (11)

которая получена из (10) при /(а) = И а, Ь = = Р1. Предположим, что она

асимптотически устойчива при V И:

к1 —е < И < к2 + £, (12)

Спрашивается, будет ли программное многообразие системы (10) асимптотически устойчиво в целом относительно вектор-функции ш V /(и) € ^[к1,к2]?

2. Необходимые условия устойчивости. Определение гурвицева угла

Теорема 1. Для абсолютной устойчивости программного многообразия (2) системы (10) относительно вектор-функции ш в гурвицевом угле необходимо, чтобы система (11) была асимптотически устойчивой при условии (12).

Характеристическое уравнение системы (11) имеет вид:

А(И,А)

А + АЕ

И

Рп+1 + А

8+1

ат(И)А

ш=0

5+1-т _

0.

(13)

Составляем из коэффициентов характеристического уравнения матрицу Гур-вица

Гт(И)

ах(И) 1 0 . а3(И) а2(И) а1(И) .

0 0

(И) ат-2 (И) ат(И)

0

Vms1+1

(14)

Введём следующие обозначения:

= ш! £т(И) VmSl

8 + 1

(15)

^т(И) = 4еЛГт(И) VmSl+1, (16)

тогда в силу теоремы Гурвица для асимптотической устойчивости в целом необходимо выполнение неравенства

> 0 VmSl+1.

При этом гурвицев угол определяется как пересечение на прямой

8+1

[ к1 — е, к2 + е] = р| и(И) > 0 V И.

(17)

(18)

га=1

Устойчивость программного многообразия одноконтурных систем 75

3. Алгебраический критерий устойчивости

Для системы (10) строим функцию Ляпунова вида

и

V = шТЬш + /3 I /(а)6а, (19)

о

где Ь = ЬТ, 3 — параметр. Дифференцируя функцию (19), в силу системы (10), находим

—У = шТ Си + 2иТ д/ + 3рп+1 о!, (20)

где С — симметрическая матрица

С = АТЬ + ЬА, д = ЬЬ — (3/2)сТ. (21)

Полагая Ь(а) = /(о)/а из (20), получим

—V = шТ Сш + 2шТдк(а) + 3рп+1к(а)а2. (22)

С[Н(а)\

> е > 0, (23)

Чтобы —V > 0, необходимо и достаточно выполнение усиленного неравенства Сильвестра:

С дН(а)

дТк(а) 3Рп+1Ь(а)

где е — достаточно малое положительное число. Как известно, если (—Л) гур-вицева матрица, Ь = ЬТ > 0, тогда С > 0 , следовательно, для установления справедливости условия (23) достаточно потребовать выполнения неравенства

3рп+1 — ЬдТС-1д > е (24)

при условии Ь(а) > е. Зададим матрицу С = Цс^Щ > 0 таким образом, чтобы выполнялись следующие соотношения:

||с= дт Ут\. (25)

Тогда достаточные условия абсолютной устойчивости С > 0 эквивалентны необходимым 8 условиям (17). Теперь положим, что

Ы(3рп+1 — кд ТС-1 д)= да. (26)

п

Таким образом, если выполняется соотношение Ь = ЬТ > 0 Л 3 > 0, при условии (25), (26), то на основании метода кажущейся линеаризации Зубова верна

Теорема 2. Если матрица —А — гурвицева, существует Ь = ЬТ > 0 Л 3 > 0 и выполняется равенство (26), то абсолютная устойчивость программного многообразия (2) системы (10) относительно вектор-функции ш в угле (18) следует из асимптотической устойчивости системы (11) в том же угле.

Параметр / определяется из условия (26). Подставляя значение д в (26), получим относительно этого параметра квадратное уравнение

П32 — 2 т2/ + т3 = 0, (27)

где

П = к/4(сТС-1 с) > 0, Т2 = 1/2(ЬсТС-1Ь + рп+1).

(28)

Чтобы существовало 3 > 0, необходимо и достаточно выполнение неравенства

Т2 > 0 Л т2 - Т1Т3 > 0. Предположим, что Ь = diag || Ь1,... ,Ьв ||,

(29)

А =

р1 0 0

—а,2 р2 0

0 —аз Рз

0 0 0

0 0 0

-ая

(30)

тогда имеем

С = А1 Ь + ЬА =

Здесь

Положим

С11 — 21 0 . . . 0 0

— 21 22 — з2 . . . 0 0

0 — Сз2 зз . . . 0 0

0 0 0 ... Св-1,в-1

0 0 0 ... 3—1 Св,8

С-гг — 2 ргЬг, <Ч] = агЬу.

(31)

сц = 2р1Ь1, | а^2 =

\ Ci j|3

д1 -а.2Ь1 —«2Ь1 2р2Ь2 —азЬ2 0 —аззЬ2 2азЬз

д1 —а2Ь1 —а2Ь1 2р2Ь2 0

9з

= 92]

(32)

. . . , 1 Сгз\

г 3 \ 1

Отсюда легко устанавливается рекуррентная формула для коэффициентов матрицы

Ьг = (дг + дг-2а2гЬ2г-1)/2ргдг-1 V ^ (д-1 = 0, д0 = 1), (33)

где дг определяется формулой (15). Вычисляя вектор д из (21) в силу (5), имеем

дш1

т 9 =

а1 Ь1 — (1/2)ап+1/р 1г

, ^1—--(1/2)ап+1/Р в

Теорема 3. Пусть в (19) Ь является диагональной, а матрица А имеет структуру (30) и выполняется условие (29). Тогда матрица С определяется из (31), (32), и программное многообразие (2) системы (10) абсолютно устойчиво относительно вектор-функции ш в угле (18).

4. Частотный критерий устойчивости

На основании леммы Якубовича-Калмана [17] справедлива следующая

Теорема 4. Программное многообразие (2) системы (10) абсолютно устойчиво относительно вектор-функции ш в угле (18), если выполняется следующее частотное неравенство

П(ш) = /к + И,ес1 (А + ]шЕ)-1Ь ^е > 0 V ш е [0, то].

(34)

р

в

в

Устойчивость программного многообразия одноконтурных систем

77

Неравенство (34) эквивалентно условию (24).

Пусть в (19) Ь является диагональной, а матрица А имеет структуру (30). Тогда

ёе! ||А + зъЕ|| = + 3т),

г=1

5 + 1 5 т / ■ \

Ч 1, тлг /-Л, ^ 1 т)

1 ' ' 1 + -т) = а- '

ст(А + зшЕ)-1Ь = Паг/ ПО9*

=г =1 Ф("

8 + 1

" = т2, а =l[аi, ^(зш) = \[(Р1 — зш), Ф(") = Ц(р2 + ").

г=1 г=1 г=1

Предположим, что Ф(з'т) = X(") — ]тУ(¡1). Тогда из условия (34) следует неравенство

П(") = 1 — к1 ра+т 0 (35)

Теорема 5. Пусть в (19) Ь является диагональной, а матрица А имеет

структуру (30) и выполняется условие

аХ (")

1 — к1-—— > д3, (36)

Рп+1Ф(")

Тогда для абсолютной устойчивости программного многообразия (2) системы (10) относительно вектор-функции ш необходимо и достаточно выполнение неравенства (35).

5. Заключение

Построены одноконтурные системы, программные многообразия которых обладает свойством абсолютной устойчивости относительно вектор-функции ш. Такие системы широко применяются в электротехнике. Заметим, что многоконтурные системы управления со стационарной частью и выделенным нелинейным элементом также можно свести к одноконтурной системе вида (8).

Найдены необходимые, а также достаточные аналитические условия абсолютной устойчивости программного многообразия одноконтурных систем. Для получения достаточных условий построена функция Ляпунова «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности». Частотный критерий абсолютной устойчивости установлен с помощью леммы Якубовича-Калмана для случая, когда матрица Ляпунова является диагональной и матрица состояния имеет специальную структуру.

Литература

1. Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, заданную интегральную кривую // Прикл. мат. и мех. — 1952. — Т. 16, № 6. — С. 653-670.

2. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г. Обзор исследований по аналитическому построению систем программного движения // Вестник Российского ун-та Дружбы народов. — 1994. — № 1. — С. 5-21.

3. Мухарлямов Р. Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифференц. уравнения. — 1969. — Т. 5, № 4. — С. 688-699.

4. Мухарлямов Р. Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений оптимального движения по заданному многообразию // Дифференц. уравнения. — 1971. — Т. 7, № 10. — С. 1825-1834.

5. Мухарлямов Р. Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т. 39, № 3. — С. 343-353.

6. Мухарлямов Р. Г. Стабилизация движений механических систем на заданных многообразиях фазового пространства // Прикл. мат. и мех. — 2006. — Т. 70, № 2. — С. 236-249.

7. Мухарлямов Р. Г. Приведение к заданной структуре уравнений динамики систем со связями // Прикл. мат. и мех. — 2007. — Т. 71, № 3. — С. 401-410.

8. Мухарлямов Р. Г. Моделирование динамики простейших экономических объектов как систем с программными связями // Вестник РУДН, серия «физ.-мат.науки». — 2007. — № 3. — С. 25-34.

9. Ахметов А. А., Мухарлямов Р. Г. Применение методов моделирования механических систем для управления экономическими объектами // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. — 2008. — № 23. — С. 81-84.

10. Мухаметзянов И. А. Об устойчивости программного многообразия. I // Дифференц. уравнения. — 1973. — Т. 9, № 5. — С. 846-856.

11. Мухаметзянов И. А. Об устойчивости программного многообразия. II // Дифференц. уравнения. — 1973. — Т. 9, № 6. — С. 1037-1048.

12. Мухаметзянов И. А., Саакян А. О. Некоторые достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных интегральных многообрази // Проблемы механики управляемого движения. — 1979. — С. 137-144.

13. Майгарин Б. Ж. Устойчивость и качество процессов нелинейных систем автоматического управления. — Алма-Ата: Наука, 1980.

14. Жуматов С. С., Крементуло В. В., Майгарин Б. Ж. Второй метод Ляпунова в задачах устойчивости и управления движеием. — Алматы: Наука, 1999.

15. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. — М.: Наука, 1975.

16. Труха Н. М. Об одноконтурных систем абсолютно устойчивых в гурвицевом угле // А. и Т. — 1968. — № 11. — С. 5-8.

17. Якубович В. А. Частотные условия абсолютной устойчмвости систем управления с нелинейными и линейными нестационарными блоками // А. и Т. — 1967. — № 6. — С. 5-30.

UDC 517.925; 62.50

Stability of Program Manifold Single-Tuned System

S. S. Zhumatov

Laboratory of Dynamic Systems Institute of Mathematics Pushkin str.,125, 050010 Almaty, Kazakhstan

The single-tuned systems possessing by given program manifold are considered. The necessary and sufficient conditions of the programm manifold's absolute stability with respect to vector-function w are obtained when the matrix of state has special structure.

Key words and phrases: single-tuned systems, program manifold, nonlinearity, absolute stability, Lyapunov's function.