Уравнения программных движений манипуляционных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917

Уравнения программных движений манипуляционных систем

Р. Г. Мухарлямов *, Г. Йоро Н. В. Абрамов *

* Кафедра теоретической механики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

^ Кафедра математики и информатики Университет Абобо-Аджамэ Абиджан Кот Д' Ивуар, 02 Вр 801 Абиджан 02 иЕЕ-БЕЛ * Кафедра экономической информатики Самарский государственный экономический университет ул. Советской Армии, 141, Самара, Россия, 443091

Предлагается метод построения уравнений динамики манипуляционных систем в обобщённых координатах и в канонических переменных. Управляющие воздействия определяются в соответствии с требованием экспоненциальной устойчивости интегрального многообразия системы дифференциальных уравнений динамики, соответствующего уравнениям связей. Приводится решение задачи управления программным движением плоского двухзвенного манипулятора.

Ключевые слова: программные движения, двухзвенный манипулятор, управления связей.

1. Введение

Уравнения динамики управляемого манипуляционного робота могут быть составлены, если известны его кинетическая энергия, внешние силы, способ воздействия управляющих сил и программа движения схвата или отдельных звеньев, представленная уравнениями связей. Известны разнообразные формы определения выражений динамических показателей и уравнений связей и алгоритмы составления уравнений динамики манипулятора. В [1-5] представлено достаточно полное описание динамики манипулятора на основе методов Лагранжа-Эйлера и алгоритмов определения функции Лагранжа. В [6] динамика манипуляцион-ного робота с программными связями и с заданными уравнениями возмущений связей представлена уравнениями Лагранжа второго рода. Построенные уравнения позволяют определить значения управляющих сил и моментов, обеспечивающих необходимые движения схвата и звеньев манипулятора, согласованные с программными связями. В [7] приводятся условия устойчивости многообразия, определяемого уравнениями связей.

В настоящей работе предлагается метод построения уравнений динамики манипуляционных систем в обобщённых координатах и в канонических переменных. Определяются управляющие воздействия, обеспечивающие устойчивость интегрального многообразия уравнений динамики, соответствующего уравнениям связей. Формулируются условия экспоненциальной устойчивости интегрального многообразия системы дифференциальных уравнений динамики, соответствующего уравнениям связей. Приводится решение задачи управления программным движением двухзвенного манипулятора в обобщённых координатах и в канонических переменных.

Статья поступила в редакцию 12 февраля 2009 г.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (06-01-00664) .

2. Постановка задачи

Рассмотрим систему твёрдых тел, положение которой определяется обобщёнными координатами д1,..., дп, составляющими вектор д = (д 1,..., дп). Пусть V = (VI,..., ип) — вектор обобщённых скоростей V = ^, Т = 2 утМу — кинетическая энергия системы, М = (тц), т^ = т^(д), г,] = 1,...,п,Р = Р(д) — потенциальная энергия, Ь = Т — Р — лагранжиан, Q = Q(q,у, 1) - вектор обобщённых непотенциальных внешних сил.

К звеньям манипулятора приложены управляющие силы и моменты, составляющие вектор обобщённых сил К, который должен быть определён так, чтобы удовлетворялись уравнения связей, наложенных на обобщённые координаты и обобщённые скорости,

/(д, *) = 0, /(д,У, *) = 0, /'(д,У, г) = 0, (1)

где / = /1,..., /т и /' = (/т+1,..., /г) — соответственно векторы левых частей

уравнений голономных и неголономных связей, а вектор f = /1,..., / т определяется производной от уравнений голономных связей:

99

I = I + /г, }д = (/^г), /г = (/^г), /^г = , /^г = 9^ , ^

^ = 1,... ,т, 1 = 1,...,

Требуется построить уравнения динамики манипуляционной системы, обеспечивающие стабилизацию связей по отношению к начальным отклонениям от уравнений связей (1), которые неизбежно приводят к отклонениям от уравнений связей при численном решении.

3. Уравнения динамики системы в обобщённых

координатах

Для описания динамики манипуляционной системы воспользуемся принципом Журдена, записанном через обобщённые координаты:

Ш — I — Q — (3)

Будем полагать, что уравнения связей (1) накладывают ограничения на вектор виртуальных скоростей системы:

Р5У = ¿а, Р = , 5а = ^ . (4)

Решение уравнения (4) с прямоугольной матрицей коэффициентов Р (г < п)

есть

5 V = 5 з[ РС] + Р+5а, (5)

где 58 — произвольно малая скалярная величина, [РС] — векторное произведение векторов-строк матрицы Ри произвольных п — г — 1 векторов, составляющих

строки матрицы С, Р + = РТ (РРТ)-1.

Подстановка выражения (5) в (3) приводит к равенству

(л*

9 9

Q — К) (6 з [РС] + Р+5а) = 0.

Связи, описываемые уравнениями (1), предполагаются обычно идеальными. Следовательно, К = РТЛ, где ^ = (= , = , р = 1,...,г, р = 1,... ,т, а = т + 1,..., г, и вектор Л = Л1,..., Лг множителей Лагранжа Лр.

Уравнения динамики системы записываются в форме уравнений Лагранжа второго рода

ёс/ ё дЬ дЬ ^ . . 0 . . 0

ш = '"■ ( ^- ац = ®+рТА "(10) = * < *") = (6)

Вектор А = Л1,..., Лг определяется из условий

^ = ^ ^ = 0, ^ = 0. (7)

При этом решение системы уравнений (7) устойчиво по отношению к интегральному многообразию П(£), которое определяется уравнениями (1). Так как

тривиальное решение f = 0, / = 0, /' = 0 не является устойчивым асимптотически, то при численном интегрировании дифференциальных уравнений отклонения от многообразия возрастают по норме. Решение задачи стабилизации связей введением уравнений программных связей с соответствующим построением уравнений возмущений связей приводит к модификации множителей Лагранжа Л, учитывающей отклонения от уравнений связей в процессе решения [7].

4. Уравнения динамики системы в канонических

переменных

Для представления уравнений динамики в канонических переменных введём

дЬ

д-ю^.

вектор соответствующих импульсов р = (р\,..., рп), pi = , и функцию Гамиль-

тона:

п

^ iV.

Н(q,р, t) = Y,Рг^г -L. (8)

i=l

Учитывая выражение функции Лагранжа и предположение о структуре кинетической энергии, определим выражения вектора обобщённых скоростей v и уравнений связей (1), (2) в канонических переменных q, р:

v = М-1р, М-1 = (mij) , mij = mij (q), (9)

где m1^ — элементы матрицы М-1, обратной к матрице М.

Д q, t) = 0, ,р, t) = 0, ф =(ф1,..., г), (10)

П

Фи = Е , f)mtJ (Фз + Ut(q, t), фа = U (q,M-1(Ч),р, t) . (11)

i,3 = 1

Варьирование обеих частей равенства (8)

п (дН дН \ п ( dL dL \

Е (+ дн^рч = y1 (+р^щ - - yi)

= V д qi дрл J f=1\ д qi д ы J

приводит к известным соотношениям

д Н д L д Н

д qi д q^ др^ V%

что позволяет представить уравнения динамики (6) в виде системы дифференциально-алгебраических уравнений, составленных из 2 п дифференциальных уравнений динамики и уравнений связей, составленных относительно канонических переменных д, р:

!=щ- I=—Iс2)

¡(д, г) = 0, ф(д,р, г) = 0, д(Ъ) = д°, р(Ъ) = М (д°) V0.

Элементы матрицы Р в правой части второго уравнения системы (12) с учётом равенств (9), (11) являются функциями канонических переменных д, р:

Р = (и), и, = . и, = , * = М-(ф.

5. Управляющие реакции связей

Для обеспечения асимптотической устойчивости интегрального многообразия 0,(1) заменим уравнения связей (10) уравнениями программных связей:

/(д, I) = а, ф(д ,р, 1) = а, а = (а1,...,а^), а = (а1,...,аг). (13)

Составляющие а^, ар векторов а, а оценивают возмущения связей. Продифференцируем обе части равенств (13) с учётом уравнений системы (12):

ёа

—V + — = —, (14)

, 1ГТ, 9ф / лТ, \ 9ф ёа ,, тт. 9ф9Н 9ф9Н . к.

( фН)++РТх)+1 = тг (фН)=^—^. (15)

Из равенств (11), (14) следует, что ¡¡^ = а^ и ^ = Р. Равенство (15) представляет систему линейных алгебраических уравнений относительно множителей Лагранжа, если значение производной считать заданным:

к )а=ёа—(»н )+РQ+1). »б)

Если (РРТ) = 0, то существует обратная матрица (РРТ) 1 и решение уравнения (16)

а=(ррт г (ёа—(фн ) -РQ—-ф )• С7)

которое состоит из двух слагаемых:

А = Х0(д,р, 1) + Х1(а, а, д,р, 1), 1

А0(д ,р, г) = — (ррт )-1 ((фН) + РQ + -ф),

А1(а,а,д,р, I) = (.РРТ )-1 ^т.

(18)

В силу определения вектора А поведение решения системы (12) по отношена

¡г

нию к уравнениям связей (10) зависит от изменения во времени производной ¡¡т

вектора а, оценивающего отклонения от уравнений связей. Если а = const, то

dg dt

dg = 0, следовательно, Л = Л0(д,р, t), и равенства

f(q, t)=a, ф(qt) = а представляют первые интегралы уравнений динамики системы

£ = f. t = - Щ + « + ™ (19)

В самом деле, подстановкой значения (18) вектора Л0 в левую часть равенства (15) легко убедиться в выполнении равенства ^ = 0. Это означает, что, если начальные значения q0, V0 выбраны так, чтобы выполнялись условия

Цд0, г) = 0, ф (д0, р0, ¿о) =0, (20)

то решение системы уравнений (19) будет удовлетворять равенствам (10) при всех Ь > ¿0. Если начальные значения д0, и0 не соответствуют равенствам (20), то поведение решения системы уравнений (19) относительно многообразия Ф^), определяемого уравнениями (10), зависит от значения ^.

6. Устойчивость по отношению к уравнениям

связей

Определим изменение векторов а, а дифференциальными уравнениями возмущений связей

(а . (а . , , . , , "ГГ = а, — = А1(д,р, Ь)а + А2(д,р, Ь)а, ( ( (21)

а = (а1,...,ат), А1 = (а^ , = , 7,р = 1,...,г.

Для описания динамики системы с учётом возможных отклонений от уравнений связей (10) можно использовать систему дифференциально-алгебраических уравнений (12), (13), (21) относительно неизвестных д, р, Л с начальными условиями (21). Матрицы А1, А2 в правой части уравнений (21) являются произвольными, от выбора которых зависит изменение вектора ^, что посредством вектора Л влияет на решение системы (12).

Определение 1. Решение системы дифференциально-алгебраических уравнений (12), (13), (21) устойчиво по отношению к уравнениям связей (10), если для всех 5 > 0, для которых выполняется условие ||у(¿0)|| ^ 5, у(Ь) = (а(Ь), а(Ь)), существует такое = ( ) > 0, что при всех > 0 будет справедливо неравенство

IIуШ < ^

Определение 2. Решение системы дифференциально-алгебраических уравнений (12), (13), (21) устойчиво асимптотически по отношению к уравнениям связей (10), если оно устойчиво по отношению к уравнениям связей (10) и существует

предел Иш ||у^)Ц = 0. í—

Определение 3. Если существуют такие конечные значения д0, р0, 5 > 0, Т > ¿0, что решение системы дифференциально-алгебраических уравнений (12), (13), (21), соответствующее начальным условиям д(Ь0) = д0, р(Ъ0) = р0, ||У(^0)Н ^ удовлетворяет неравенству ||у(Т)Ц ^ е > 5, то оно неустойчиво по отношению к уравнениям связей (10).

Очевидно, если матрицы А1(д,р, Ь), А2(д,р, Ь) ограничены: ,р, ¿)|| < Ь1,

,Р, ¿)|| < ¿2, то из устойчивости или асимптотической устойчивости тривиального решения а = 0, а = 0 системы дифференциальных уравнений возмущений связей (21) следуют соответствующие неравенства || ^ || < Ье, Ь = ¿1 + ¿2, или ^Иш || ^ || = 0. Замена векторов а, а, ^ соответствующими выражениями

из (13), (21) после подстановки выражения (17) вектора Л приводит к системе уравнений относительно канонических переменных , :

¿д _ дН др

I = - дН + « + Г + А2. - {(ФН) + ^ + дф )), (22)

д(1 о) = д°, р(1 о)= р0.

В случае, когда матрицы А1, А2 являются нулевыми, система уравнений (22) принимает вид

%=™ %=- ддН-рт к г И+дФ)

и допускает первые интегралы, определяемые равенствами ( , ) = 0, ф(д,р, 1) = с1, где с0, с1 — произвольные постоянные векторы. Система дифференциальных уравнений (22) при соответствующих начальных значениях 0, 0 допускает интегральное многообразие Ф^), определяемое уравнениями связей (10). В случае, когда матрицы А21 , А22 отличны от нуля, поведение решения системы (22) по отношению к многообразию Ф^) зависит от выбора этих матриц.

Если матрицы А1,А2 являются постоянными, то для обеспечения асимптотической устойчивости тривиального решения системы (21) достаточно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В общем случае суждение об устойчивости по отношению к уравнениям связей (10) делается по функции Ляпунова V = V(а, а, д,р, ¿), V(0, 0,д,р, 1) = 0, построенной применительно к векторам а, а, и её производной, вычисленной в силу системы уравнений (21):

¿V = (дV + (рртА а + (дV + д^рТ (ррТА а+

V да др V У у 1 \да др V )) 2

+ (VН) + Ь - (-т)"' (<ФН) + ъ + дфф) + (23)

В отдельных случаях суждение об устойчивости упрощается. Так, если V = V(а,а,д, ¿), то выражение (23) принимает вид:

¿У - —А а+д^А а+д^дН + д¥.

М да да дд др дЪ

Составим функцию Ляпунова в виде положительно определённой квадратичной формы

2 V = утКу, у = (а1,..., ат, а1,..., ат,ат+1, ...,аг)

с постоянной матрицей коэффициентов и представим систему уравнений (21) в виде

^ = А(д,р, I)у, (24)

А =

/ 0 0

А21 А22 А23 1 ,

V А31 А32 А33

) , ¿Ц = 0, V =

.. ,т,

А21 = [а^

А

22

= (ат+Л

А

VI ' "23 ур 1 1

А31 = К), А32 = К+») , А33 = ,

к, а = т + 1,... ,г.

Теорема. Если матрица А может быть представлена в виде произведения симметричных определённо-положительных матриц А = —К-1Ь, где К — постоянная матрица, Ь = Ь(д,р, 1), и выполняются неравенства

\\Ь(д ,р, ¿)|| >Ао > 0, к1 < ||К || О,

то система (24) имеет экспоненциально устойчивое тривиальное решение а = 0, а = 0.

Производная функции V, вычисленная в силу системы уравнений (24), является определённо-отрицательной квадратичной формой относительно составляющих вектора а: V = —уТЬ(д,р, 1)у. Оценим величину производной функции Ляпунова с учётом условий теоремы:

= (ат+Л

У = —уТЬ(д,р, €)у < —АоЫ2.

Из неравенства (25) с учётом оценки к1|у|2 < уТКу < венство V ^ кУ, к = —2Ао/к2 или V < Уоек(*-). Следовательно,

(25)

получаем нера-

||а||2 < 2У/к1 < 2Уоек(1- 1а)/Ь < ( к2/ММ2ек(1- 1а).

Пример. Рассмотрим модель двухзвенного манипулятора промышленного робота РПМ-25 [4]. Звенья О1О2 и О2С манипулятора являются абсолютно твёрдыми стержнями, соединёнными цилиндрическим шарниром О2. Звено О1О2 связано с неподвижным основанием цилиндрическим шарниром О1. Обозначим С1, С2 центры масс звеньев и ¿1 = О1О2, 12 = О2С, Ь1 = О1С1, Ь1 = О2С2. За обобщённые координаты примем углы поворота звеньев «л, ^ Пусть т1, т2, и ,11, /2 соответственно массы и моменты инерции звеньев относительно осей шарниров, д — ускорение свободно падающего тела. Будем считать, что манипулятор управляется моментами Д1, Д2, приложенными в шарнирах.

Вектор К = (В.1, В.2) управляющих моментов определим так, чтобы невесомый схват манипулятора, совпадающий с концом С звена О2 С, совершил переход из произвольной точки Мо плоскости О1ХУ в начало координат, минуя препятствие, ограниченное границей Ф : (х — 2)2 + 4 у2 — 1 = 0. Это возможно, если движение схвата в прямоугольной системе координат определяется решением системы дифференциальных уравнений

^ = — 1х ((Х — 2)2 +4у2 — 1) — 4ху2, ^ = — 2у ((х — 2)2 + 4у2 — 1) + ху(х — 2).

(26)

Правые части системы дифференциальных уравнений (26) определены [8] так, чтобы начало координат являлось особой точкой типа узел, и кривая Ф представляла собой сепаратрису. При этом система (26) допускает интегралы

1

Ь(Х, у) = х = 0, /2(х, у) = у = 0, /3 = 1 ((х — 2)2 + 4у2 — 1) = С3, (27)

где Сз — произвольная постоянная. В окрестности начала координат система (26) может быть заменена уравнениями

áx dy

— = —x,— = —2у. d - d -

Выражая прямоугольные координаты x, у точки С и их производные через обобщённые координаты qi, q2 и обобщённые скорости ^¡г = vi, ^¡г = v2 манипулятора

J x = li cos qi + I2 cos(qi + q2), \y = h sin qi + I2 sin( qi + q2),

d x

— = — ((11 sin qi + 12 sin(qi + Vi — I2 sin(qi + q2)V2,

d..О).. ^+ ^

представим систему (26) уравнениями неголономных программных связей:

B(q)v + b(q) = а, (28)

в=(ti й), ь=(£) ,а=(а^, i=, и=(£) .

bii = 3 (11 sin qi + I2 sin( qi + q2)), bi2 = 3 12 sin(qi + q2), b2i = 3 (h cos qi + I2 cos(qi + q2)), b22 = 312 cos( qi + q2),

b\ = —(h cos q\ + I2 cos( q\ + q2)) x

x ((¿1 cos qi + 12 cos(qi + q2) — 2)2 +4 (sin qx + 12 sin(qi + q2))2 — l) —

— 12(h cosqi + I2 cos( q\ + q2))(h sin^i + I2 sin( qi + q2))2,

b2 = 2(h sin qi + 12 sin(qi + x

x ((¿1 cos qi + 12 cos(qi + q2) — 2)2 +4 (¿1 sin qx + 12 sin(q± + q2))2 — 1 j — — 3(11 cosqi + 12 cos(qi + q2))(h sin^i + I2 sin( qi + q2))x

x (h cosqi + I2 cos( q\ + q2) — 2).

Уравнения возмущений связей представим линейной системой

^ = Аа, а = (аиа2), А = (ai i ai 2) (29)

dt \a2i a22J

с постоянной матрицей коэффициентов А. Будем считать, что действительные части корней характеристического уравнения системы (29) отрицательны.

Матрица М = (mij) коэффициентов кинетической энергии Т = = t¡vtMv и потенциальная энергия Р системы определяются выражениями:

mi = Ji + J2 + m2li(h+2L,2 cosq2), m2 = m2i = J2 + m2hL,2 cosq2, m22 = J2,

Р = (m\Li sin qi + m2 (h sin qi + L2 sin(qi + q2))) g.

Уравнения динамики манипулятора записываются в виде

,

(30)

I=М "1<К—7)

где

М-1 = (тпт22 — т?1)-^ т.22 Г12) ,К = ВТА, А = А А), 7 = (71,72),

11 — т21 т11

71 = —т2кЬ2(2ь 1 + г>2)^ йш ^ + (т1Ь + т2кд) соб д1 + т2Ь2 соз(д 1 + 42), 72 = т2Ь2 (¿1^ вт д2 + дсоя(^ + 92)) .

Из (28)-(30) следует выражение вектора А через обобщённые координаты и скорости манипулятора:

А ={ВМ-1ВТV1 ((АВ — ъ+(АЬ — ¥)+ВМ-17

(вм-1вт ГЦав — £) „+(аь — £) + ВМ

(^^ ^ \ ы = (% \

I ^21 ¿622 Ь 1 ¿ь2 / ,

V М м ) аг )

= 3г?1 (11 сое д1 + ¿2 сов( д 1 + <72)) + 3 12^2 сов( д 1 + ^2), = 3г?2(V1 + У2) СОБ(д1 + д2),

= —3 V 1(11 вт д1 + ¿2 йШ( д 1 + — 3¿2^2 сов(д1 + д2), = —3 11( г>1 + г>2) д 1 + д2),

АВ ( ¿тИ2 \ ль №

А

11

А АЬ12 А Л Ь 21 А Л 622

"А"

-А- = + ь1(<1) Ч -А- = ь2((1) ^ + &2 (0) Ч

&1(д) = у(д) (3(х(д) — 1)2 — 2х(д) + 16 у(д)(у(д) — 2х(д))) , ЬКд) = 2у2( д) + х(д) (26(у(д))2 + 7 — (х(д) + 1)2) , &2(д) = 2у (д)(х(д) + 1)к 8ш( д 1 + 42)+

+ (24(у(д))2 + 7 — (х(д) + 1)2) к соз(д 1 + Ы, х(д) = к сое д1 + к соБ(д 1 + д2), у(д) = к бш д1 + к Б\п(д 1 + д2).

Составим уравнения динамики манипулятора в канонических переменных

дЬ

Ч = ( 11, Ы, Р =(Р1, Р2), Р1 = д~, Ь = Т — Р, р = Му,

д Уг

Л д „„-1 Л р дН . .

я = М-* I = -7Н + ВТА (31)

дН = Н = Т + Р,

dq V дqi1 дq2 J '

Т = 1 ртМ-iр. Р = (miLi sin qi + m2(li sin qi + L2 sin(qi + q2))) g,

дН тдМ-i (дР дМ-i \ , dmц n

дН = Рт дм-P + ^^-)M-i, -—Ы. = 0, i.j = i. 2,

дqk дqk \дqk дqk J дqi

дmll дml2 дm2l , T . дm22 n

—— = —2m2hL2 sin q2, —— = —— = —m2hL2 sin q2, —— = 0,

д 2 д 2 д 2 д 2

д Р

— = (miLi cos qi + m2(li cos qi + L2 cos(qi + q2))) g, д i

д Р

— = m2L2g cos(q i + q2). Представим уравнение связей (28) в канонических переменных q, р:

B(q)M-i (q)p + b(q)=a. (32)

Тогда из (29), (31), (32) следует:

Л = (BM-iBT^j-i x

x ( ((ав = Щм-ip — f) М- — в (Щр-м-ip))p +м + BM-i-нн) .

Если матрицу А представить в виде произведения двух ограниченных постоянных матриц

А = —К-iL, ||L|| >Ло > 0, ki < ||К|| < k2,

причём матрица К удовлетворяет условиям Сильвестра, то система

дифференциально-алгебраических уравнений (29), (31), (32) имеет решение

||а||2 < ( k2/к^ЦаоЦ2ek(t-Ч k = —2Ло/к2,

экспоненциально устойчивое по отношению к уравнениям связей

B(q)M-i(q)p + b(q) = 0.

Литература

1. Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление. Движение робота-манипулятора. — М.: Наука, 1976. — 104 с.

2. Витенбург И. Динамика систем твердых тел (пер. с англ.). — М.: Мир, 1980. — 202 с.

3. Вукабратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами: теория и прилоложения. — М.: Наука, 1985. — 384 с.

4. Черноусько Ф. Л., Болотник Н. Н., Градецкий В. Г. Манипуляционные роботы. — М.: Наука, 1989. — 368 с.

5. Мухарлямов Р. Г., Абрамов Н. В. Моделирование механических систем // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». — 1995. — № 1. — С. 29-33.

6. Мухарлямов Р. Г. Управление программным движением многозвенного манипулятора // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». — 1998. — № 1. — С. 22-39.

7. Мухарлямов Р. Г. Стабилизация движений механических систем на заданных многообразиях фазового пространства // ПММ. — 2006. — Т. 70, № 2. — С. 236249.

8. Мухарлямов Р. Г. Уравнения движения механических систем. — М.: Изд. РУДН, 2001. — 99 с.

UDC 517.917

Programmed Motions Equations of Manipulation Systems

R.G. Mukharliamov *, G. Joro t, N. V. Abramov *

* Department of Theoretical Mechanics Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str. 6, Moscow, Russia, 117198 t Département de mathématiques Université d'Ahoho-Adjamé, UFR-SFA 22 BP 1709, Abidjan 22, Cote d'Ivoire * Department of mathematics and informatics Samara State Unversity of Economics Sovetskoi Armii str. 141, Samara, Russia, 443090

The method of constructing dynamics equations of manipulation systems in generalized coordinates and canonical variables is suggested. Control actions are defined in consistence with exponential stability of the dynamics equations integral manifold, which is described by constraints equations. The solution of the problem of two-link plane manipulators programmed motion is given.