О решении стохастической задачи замыкания методом проектирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теоретическая механика

УДК 517.925.5:519.216

О решении стохастической задачи замыкания методом проектирования

М. И. Тлеубергенов

Лаборатория динамических систем Институт математики ул. Пушкина, 125, Алматы, 050010, Казахстан

Рассматривается одна из обратных задач динамики — задача замыкания в классе стохастических дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито по заданным свойствам движения, не зависящим от скоростей. Получены достаточные условия существования заданного интегрального многообразия достроенной системы стохастических дифференциальных уравнений. Отдельно исследуется линейный случай поставленной задачи.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, стохастические уравнения, интегральное многообразие, функция, вероятность, вектор.

Введение

В работе Еругина [1] строится множество обыкновенных дифференциальных уравнений, которые имеют заданную интегральную кривую. Эта работа, впоследствии, оказалась основополагающей в становлении и развитии теории обратных задач динамики систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) [2-9] и др. Следует отметить, что один из общих методов решения обратных задач динамики в классе ОДУ — метод квазиобращения, предложенный в [4], который даёт необходимые и достаточные условия разрешимости. Но наряду с указанным методом, в частности в [6], также предлагаются метод разделения и метод проектирования, дающие, с одной стороны, лишь достаточные условия разрешимости обратных задач, но, с другой стороны, эффективные при построении множества искомых функций в конкретных прикладных обратных задачах.

В работах [10-12] обратные задачи динамики рассматриваются при дополнительном предположении о наличии случайных возмущений из класса винеровских процессов и решаются методом квазиобращения.

1. Постановка стохастической задачи замыкания

Пусть задано стохастическое дифференциальное уравнение второго порядка типа Ито

х = ¡1 (х,х,и,й,1) + а\ (х,х,и,й,1) х е Яп, £ е Як, (1)

где а\ — матрица размерности (п х к), а ..., — система неза-

висимых винеровских процессов [13], заданная на некотором вероятностном пространстве (и,и,р).

Требуется достроить замыкающие уравнения (например, описывающие вспомогательные устройства)

й = ¡2(х,х,и,и,£) + а2(х,х,и,и,£)£, и е Кг (2)

Статья поступила в редакцию 2 октября 2009 г.

по заданным частным интегралам

Л(Ь) : Х(х,и,Ь) = 0, где Л е Ет, X = Х(х,и,Ь) е С2ХЦ. (3)

Иначе говоря, по заданным $\,а\ и Л требуется определить вектор-функцию /2 и матрицу так, чтобы множество (3) было интегральным для совместной системы уравнений (1), (2).

Предполагается, что вектор-функции ¡1(х,х,и,и,1),^(х,х,и,и,Ь) и матрицы Ст2(х, х, и, и, Ь), (х, х, и, и, Ь) непрерывны по £ и липшицевы по х, и,х,и в области

ин(Л) = {г = (хТ, хт, ит, ит)т : р(г, Л($) < Н, Н > 0}, (4)

что обеспечивает в (4) существование и единственность до стохастической эквивалентности решения х(1) системы уравнений (1), (2) с начальным условием = %о, являющегося непрерывным с вероятностью 1 строго марковским процессом [13].

Ранее указанная задача:

1) в случае отсутствия случайных возмущений <т\ = 0,а* = 0 достаточно полно была исследована в работах [2-9];

2) в случае, когда 0, и с заданными свойствами вида

Л(1) : Х(х,х,и,и,1) = 0, где Л е Кт, X = Х(х,х,и,и,1) е С* (5)

методом квазиобращения была рассмотрена в [14], а с заданными свойствами вида (3) методом квазиобращения — в [15]; далее, методом разделения — в [16], а с вырождающейся диффузией — в [17].

Ниже методом проектирования приводится решение общей стохастической задачи замыкания в разделе 2, а в разделе 3 — решение стохастической задачи замыкания в линейной постановке.

2. Общая задача построения замыкающих стохастических дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу построения множества замыкающих стохастических уравнений (2) по заданным свойствам (3) методом проектирования [7, с. 23] произвольного вектора на многообразие, касательное к интегральному многообразию. Этот метод широко используется для решения задач преследования, а также управления манипуляторами.

Предварительно по правилу стохастического дифференцирования Ито [13, с. 204] составляется уравнение возмущённого движения

»_ д^х д2х д2а / д2х Т д^ т \

дЬ2 дЬдх дЬди \dxdt дхди дхдх)

+ (^ + хт 92Х + ит 92Д ^ и + — (7 + а Л + — (/ + а Л (6) \dudt дидх диди) дх V ) ди\ )

Введём произвольные функции Н.П. Еругина [1]: т-мерную вектор-функцию Л(А, X, х, х, и, и, £) и (т х п) —матрицу В(Х, X, х, х, и, и, £) со свойством Л(0, 0, х, х, и, и, Ь) = 0, В(0,0, х, х, и,и,Ь) = 0 и такие, что имеет место равенство

А = А(А, А, х, х, и, и, £) + В(Х, X, х, х, и, и, £)£. (7)

Отсюда, сравнивая уравнения (6) и (7), приходим к соотношениям

дхдх )

' дЛ. . „

—/2 = А---

ди дЬ2 дЬдх

-(

д2Л д2\ . д2\ . ( д2л ,т д2\ .т д2х \

х — и — I ^ ^, + и —+ х

д2 Л

+ хт

д и д

д Л д Л

—а2 = В ——а\, д и д х

д 2л

д и д х

+ и

дЬди \ дхдЬ т д2Л\ . дЛ

д х д и

х

диди )

и — Л'

д х

(8)

из которых нужно определить вектор-функцию ¡2 и матрицу 02-

Для разрешимости поставленной задачи методом квазиобращения в работах [14, 15] для заданных множеств вида (3) и (5) использовалось следующее утверждение, впервые доказанное в работе [4], которое здесь приведено в виде леммы 1.

Лемма 1 (см. [4]). Совокупность всех решений линейной системы

Ну = д, Н = (Н1лк)' ь = (ук), д = (д,л), ^ =1,т; к = 1,п, т < п, где матрица Н имеет ранг, равный т, определяется выражением

Т , и

V = ау + V . Здесь а — произвольная скалярная величина,

(9) (10)

[НС] = [Ъ,\ ... Ьтст+1 ... сп-1]

1 .

Н11 . . Н1п

Н п 1 . Н . . Н п п

Сп+1,1 . . С-т+1, п

С-п-1,1 . . С-п-1,п

есть векторное произведение векторов Н^ — (Н^к) и произвольных векторов Ср — = (срк), Р = т + 1,п — 1; ек — единичные орты пространства Кп, ьТ = (у~Т), где

к=

0

Ни

Нт1

Ст+1,1 С"п-1,1

1

Н1 к

Нпк С-т+1, п

С-п— 1,к

0

Н1 п Н

Нп п С т+1, п

С-п— 1,п

= Н+д,

Т

и

Н + = Нт(ННт)-1, Нт — матрица, транспонированная к Н.

Суть метода проектирования, следуя [7, с. 23] и с учётом случайных возмущений, заключается в следующем: для определения вектора правой части уравнения (2), решения которого удовлетворяют условию (3), используется то же, что и в методе квазиобращения [4,7,9], функционально-алгебраическое уравнение (9). Решение V этого уравнения по лемме 1 (не ограничивая общности, а := 1) находят в виде суммы V = иТ + Vи, где Vи = Н+д, а иТ удовлетворяет уравнению НиТ = 0, Н = Ли. Для определения иТ зададим произвольный вектор с. В качестве иТ можно взять проекцию вектора с на многообразие, касательное к множеству Л(1) (3), а именно уТ = (Е — Л^ Г-1Л„)с, Г = ЛиЛт. В этом случае уравнение (2) с учётом (8) примет следующий вид:

и=(Е — ХТГ-1Хи)с+(^+

ди )

+ (( Е — Хти Г-1Хт)с + (ди) + (Е - XI Г-1Хи)с + ( dU) + ¿г (11)

где выражение (Е — XTГ-1Хт)с + Bi есть г-ый столбец матрицы а2;

т д и

Bi = (Bii,..., Bri)т — г-ый столбец матрицы B, (i = 1,к). А вектор-функция А и матрица B имеют соответственно вид:

А-А (дд^ -тд^ -т д2Х \ .

dt2 dtdx dtdu \dxdt дхди дхдх)

( д2Х .т д2Х .т д2Х \ дХ „ ~ „ дХ

+ х ТГя" + и ТГя" и — я"Л' В = В \ аиаъ аиах аиаи) ах ах

Иначе говоря, в силу полученной системы функционально-алгебраических уравнений (8) и построенного уравнения (11) искомые г-мерная вектор-функция ¡2 и (г х к) матрица 02 методом проектирования в сочетании с методом квазиобращения определяются в виде:

¡2 = (Е -XIТ-1Хи)с + (^ V А'

+ (12) 02 г = (Е -Х£Т-1Хи)С+(^ОХ^) Вг,

где 021 = (02ц'0221 '■■■'02пг)Т — ¿-ЬШ столбец матрицы 02 = (02иэ)' (V = !'П)'

и = 1к).

Следовательно, справедлива:

Теорема 1. Для того чтобы множество (3) при заданной структуре (1) было интегральным многообразием системы дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито (1), (2) достаточно, чтобы искомые функции замыкающего уравнения (2) имели соответственно вид (12).

3. Линейный случай стохастической задачи

замыкания

По заданному линейному по сносу стохастическому дифференциальному уравнению второго порядка типа Ито

х = Ф1(г)х + $2&)х + Ф3(*)и + Ф4(г)и + + (13)

требуется достроить линейное по сносу замыкающее стохастическое уравнение

и = ^1(г)х + + ъ3(*)и + ъ4(г)и + ф(г) + Т2(Ы (14)

так, чтобы заданное линейное множество

Л(г): X = в1(г)х + С2^)и + 1(г) = 0, X х екп, и екг (15)

было интегральным для системы уравнений (13), (14).

Иначе говоря, по заданным 01(1),02^)' Ф1(£), Ф2(¿), Фз(£), ФТ^)'Т2(^ и заданным вектор-функциям ^>(1), 1(1) требуется определить (г х п)- матрицы Ф^), Ф2(г хг)- матрицы Ф3(1), Ф4(£) и г-мерную вектор-функцию ф^), а также (г х к)-матрицу Т2^) так, чтобы обеспечить для системы (13), (14) интегральность свойств движения (15).

В рассматриваемой задаче уравнение возмущённого движения имеет вид:

\ = С1х+2С1х+С1(Ф1(г)х+Ф2&)х+Ф3(*)и+Ф4 (г)и+<р(г)+Т1 £)+д2 (Ф1(*)х+ + Ф2&)х + Ф3(*)и + Ф4 (г)и + ф(г) + Т2(г) ¿) + 2С^и + И(г) + ^и, (16)

а, с другой стороны, уравнение возмущённого движения с помощью произвольных функций Н.П. Еругина [1] — вектор-функций А1 = А1(Ь), А2 = А2(Ь) и (т х к)-матрицы-функции В = В (Л, Л ,х,и, 1) со свойством В(0,0,х,и, 1) = 0, имеет вид

Л = А1Л + А2Л + В(Л,Л, х, и, ¿)£. (17)

Тогда из уравнений (16) и (17) с учётом того, что

А1Л = А1(С1(г)х + С2(г)и + 1(г)), А2Л = А2 (д 1&)х + С1(г)х + д 2(г)и + д2(г)и + 1(г)),

следуют соотношения

д 1х + 2д1х + д1 ^ (г)х + Ф2(г)х + Ф3(г)и + Ф4(г)и + )) + 2д2и + '¡(г) + д 2и+ + д2 (Ф1(*)х + Ф2&)х + Ф3(*)и + Ф4(г)и + = А1 [С1(г)х + в2(*)и + + + А2 [д 1(ь)х + д^х + д 2(ь)и + д2(ь)и + 1(г)], д^ + д2Т2 = ь,

которые преобразуются к виду

д2Ф1 =А1 + А2д1 —д1 — д1Ф1, д2Ф2 = А2д1 — 2д1 — дФ,

д2Фз = А1д2 +А2д2 —дФ —д 2, д2Ф4 = А2д2 — 2д2 — дФ, (18)

д2ф(г) = А11(г) + А21(г) — д^) — ¡(г), д2Т2 = в — д1Т1.

На основании формулы (10) леммы 1 и метода проектирования совокупность всех решений системы уравнений (18) с учётом того, что в линейном случае

Г = Ли\

д2дт , определяется в виде

' ф(1) = (Е — дт(д2дт)-1д2)с + {д2)+Ь(1), Фн = (Е — дт (д2дт )-1д2)с + (д2) + Ми, Ф2г = (Е — дт (д2дт )-1д2)с + (д2) + М2г, Фзг = (Е — дт (д2дт )-1д2)с + (д2) + Мзг, Ф4г = (Е — дт (д2дт )-1д2)с + {д2) + Ы4г,

Т2% = (Е — дт(д2дт)-1д2) С+дГК

Ы,

(19)

где через Ф^, Ф2{, Ф3^, Фц ,Т2г, , М^, М^, М^ обозначены соответственно г-е

столбцы матриц Ф^ Ф2, Ф3, Ф4,Т2, М1, М2,М3, М4, а

n1 = а1 + а2&1 — О — в1ф1, n2 = а2с1 — 2&1 — n3 = ао + а2с2 —с1фз — о2' n4 = а2с2 — 2с2 — с1фа'

n5 = в — ад, щ = а11(1) + а21(г) — вцр(€) — 1(г).

Следовательно, справедлива

Теорема 2. Для того чтобы линейное множество (15) при заданной структуре (13) было интегральным многообразием системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито (13), (14) достаточно, чтобы искомые функции замыкающего уравнения (14) имели соответственно вид (19).

Заключение

Таким образом, методом проектирования в нелинейной и линейной постановках решены стохастические задачи замыкания в предположении, что заданные свойства не зависят от скоростей.

Литература

1. Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // ПММ. — 1952. — Т. 10, № 6. — С. 659-670.

2. Построение систем программного движения / А. С. Галиуллин, И. А. Муха-метзянов, Р. Г. Мухарлямов, В. Д. Фурасов. — М.: Наука, 1972.

3. Галиуллин Л. О. К задаче построения систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1970. — № 8. — С. 1343-1348.

4. Мухарлямов Р. Г. О построении дифференциальных уравнений оптимального движения по заданнму многообразию // Дифференциальные уравнения. — 1971. — Т. VII, № 10. — С. 1825-1834.

5. Галиуллин Л. О. Построение поля сил по заданному семейству траекторий // Дифференциальные уравнения. — 1981. — № 8. — С. 1487-1489.

6. Галиуллин А. С. Методы решения обратных задач динамики. — М.: Наука, 1986.

7. Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г. Уравнения программных движений. — М.: Изд-во УДН, 1986.

8. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г. Обзор исследований по аналитическому построению систем программного движения // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия прикладная математика и информатика. — 1994. — № 1. — С. 5-21.

9. Мухарлямов Р. Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 3. — С. 343-353.

10. Тлеубергенов М. И. Об обратной задаче динамики при наличии случайных возмущений // Известия МН-АН РК. Серия физико-математическая. Алма-ты. — 1998. — № 3. — С. 55-61.

11. Тлеубергенов М. И. Об обратной задаче восстановления стохастических дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. — 2001. — Т. 37, № 5. — С. 714-716.

12. Тлеубергенов М. И. Об обратной стохастической задаче замыкания // Доклады МН-АН РК. Алматы. — 1999. — № 1. — С. 53-60.

13. Пугачев В. О., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. — М.: Наука, 1990.

14. Тлеубергенов М. И. Об обратной стохастической задаче замыкания // Доклады МН-АН РК. Алматы. — 1999. — № 1. — С. 53-60.

15. Тлеубергенов М. И. О решении обратной стохастической задачи замыкания методом квазиобращения // Известия МН-АН РК. Серия физико-математическая. Алматы. — 2008. — № 5. — С. 5-9.

16. Тлеубергенов М. И. О решении обратной стохастической задачи замыкания методом разделения // Математический журнал. Алматы. — 2009. — Т. 9, № 1. — С. 84-89.

17. Ибраева Г. Т., Тлеубергенов М. И. К задаче замыкания дифференциальных систем с вырождающейся диффузией // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2008. — № 1. — С. 12-19.

UDC 517.925.5:519.216

On the Solving of Stochastic Problem of Closure by Designing's Method

M. I. Tleubergenov

Laboratory of Dynamical Systems Institute of Mathematics 125, Pushkin str., Almaty, 050010, Kazakhstan

One of the inverse problems of dynamics — the closure's problem by given properties of motion, no depending from velocities, into the class of stochastic differential Ito's equations of second order is considered. The necessary and sufficient conditions of the existence of given integral manifold of constructed system of stochastic equations are received. The linear case of posed problem are separately investigated.

Key words and phrases: ifferential equations, stochastic equations, integral manifold, function, probability, vector.