CC BY
4ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Вестник Сыктывкарского университета.
Серия 1: Математика. Механика. Информатика.
Выпуск 1 (30). 2019
УДК 539.3
УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДКРЕПЛЕННЫХ АРОК ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ШАРНИРНОГО ОПИРАНИЯ
А. В. Михайлов, В. Н. Тарасов
В работе решается задача устойчивости упругой системы при наличии односторонних ограничений на перемещения. Проблемы устойчивости круговых арок, находящихся под действием равномерного давления ранее были рассмотрены в работах Е.Л. Николаи, А.Н. Динника и других авторов. В дсшнои работе рассматриваются проблемы устойчивости круговых арок, подкрепленных нерастяжимыми нитями, которые не выдерживают сжимающих усилий, при граничных условиях шарнирного опирания. Оба конца нити прикреплены к оси арки, так, что расстояние между точками прикрепления в результате деформации не может увеличится. Данная задача сводится к нахождению и исследованию точек бифуркации решений некоторой задачи нелинейного программирования.
Ключевые слова: арка, устойчивость, подкрепление нитями, шарнирное опирание, сплайн, вариационная задача, односторонние ограничения.
Постановка задачи
Пусть ось арки в недеформированном состоянии является дугой круга радиуса Я, центр этого круга обозначим через О. Арка НАХОДИТСЯ под действием равномерно распределённого давления Р.
© Михайлов А. В., Тарасов В. Н., 2019.
Центральный угол, соответствующий дуге арки, обозначим через д, 0 < д < а. Центром арки О является центр окружности. дугой которой она является. Уравнения недеформированной оси арки имеют вид
д Е [0, а]
Рис. 1. Схема подкрепления арки
х = Я сов(д), у = Я в1п(д).
Обозначим через £ = (— сов(д), — вт(д)) — нормаль, п = (— вт(д), сов(д)) — касательный вектор. Перемещение точек арки в результате плоской деформации описываются уравнением:
Ш = и(д)£ + ю(д)ц.
(1)
Здесь под и принимается нормальное перемещение точек арки, а под т — тангенциальное перемещение точек арки (рис. 1).
Тогда декартовы координаты деформированной арки описываются уравнениями
'х = (Я — и) сов(д) — т етп(д),
у = (Я — и) вт(д) + т сов(д).
Обозначим после деформации нормальный и касательный векторы к упругой линии через £*,п*. Векторы £,п могут быть переведены в векторы £*, п* путем поворота на угол
Предполагая, что перемещения являются малыми, можно записать [1; 2]
1 ( ¿и \
I--I- т). (2)
в = + т
а изменение кривизны дуги арки определяется формулой
1 / ¿2и ¿и>\
9 = я\1д + м).
Кроме того, выполнено условие несжимаемости:
и = т
(3)
Энергия упругой деформации арки с учетом условия несжимаемости в квадратичном приближении определяется формулой:
и = ш£ ^ = ш£{ + ") V №
а работа внешних сил может быть вычислена по формуле:
р га /
Р 1 ' У2 1... 2
V — - J ^ - (5)
где параметр к отвечает за направление действующей нагрузки: к — 1 давление Р всегда направлено по нормали к деформированной оси арки (силы нормэльного д&влбния^ к — 2 давление Р к неподвижному центру окружности О (центральные силы).
Предположим, что арка подкреплена абсолютно жесткими растяжками (нитями), число которых обозначим через М. Один конец каждой растяжки прикреплен к точке арки, соответствующей углу § — £у , а второй - § — £2у , ] Е 1 : М . Перемещения точек арки в точках прикрепления нитей обозначим через
иу — и(£у) , Шу — ш(£у) , г — 1, 2 , ] Е 1: М .
Предполагается, что нити не выдерживают сжимающих усилий и расстояние между точками прикрепления нити не может увеличиваться. Расстояние между точками прикрепления нити определяется формулой
Р(иУ ,и2у ,Ш2у ) — у/(х1у - Х2з )2 + (Уи - У2у )2, (6)
Ху — (Я - игу) С0в(£у) - Шу 81п(£у),
Угу — (Я - игу) вШ^) + Шу С0ъ(£у), г — 1, 2,2 Е 1..М. Изменение расстояния между точками прикрепления нити равно:
Р* — р(иу ,Ш2у ) - р0,
где а^ = е2] — Е\], р0 = р(0,0, 0, 0) = 2Я вт^-у
Используя разложение в ряд Тейлора с точностью до членов второго порядка малости, получаем
bp = —(u1j(cos aj — 1) + u2j(cos aj — 1) — w1j sinaj + w2j sin aj). (7) po
Задача устойчивости арки при условии, что расстояние между точками прикрепления нити не может увеличиваться, формулируется следующим образом: найти минимальное значение нагрузки P, при которой вариационная задача
J = U—V = w£{ж*+u)d—PГ(u'2 — ku2)dú^min (8)
при ограничениях
(uij (cos aj — 1) + u2j (cos aj — 1) — w1j sin aj + w2j sin aj) < 0, j E 1 : M
(9)
имеет нетривиальное решение.
Для определенности предположим, что выполнены граничные условия шарнирного опирания:
¿в
u = 0, w = 0, в' = тгг = 0 при $ = 0, a. (10)
Численный метод
Для определения перемещений используем аппроксимацию интерполяционными кубическими сплайнами вида [3]:
Б(г, д) = гг(1 — *)2(1 + 2*) + ^+1^(3 — 2*) +
+ШгЫ(1 — г)2 — тг+\Ы2 (1 — г), (11)
тг = Б'(г,дг), г = 0,...,М,
П = - I = (0 - $г)/Н, г1 = иг, - если аппроксимируется прогиб и, г2 = тг, - если интерполируется функция т. Условие непрерывности второй производной записывается в виде [3]
2то + = о**,
\гШ—1 + 2тг + Ц№г+1 = Ог г = 1,N - 1
АМ тм -1 + 2тм = о*м,
(12)
о I гг+1 гг . Л гг гг— 1
Сг = О Иг-;--+ Аг
причем
о ( гг+
Ог = 3' л "" Л
Иг = Аг = 0, 5. Здесь для граничных условий шарнирного опирания
п* = А* = 1 О* = о — О* __з-1
Ио = Ам = 1, Со = О См = О л '
Выпишем матрицы коэффициентов для уравнений (12):
М = —
3
2Н
3.5 1 0 0 .. .0 0 0
1 4 1 0 .. .0 0 0
1 0 1 4 1 .. .0 0 0
2 ,
0 0 0 0 .. .1 4 1
0 0 0 0 .. .0 1 3.5
/_ 0.5 1 0 0. 0 0 о ^
-1 0 1 0. 0 0 0
0 -1 0 1. 0 0 0
0 0 0 0. -1 0 1
V 0 0 0 0. 0 -1 0.5
Вычислим вектор т = (т1,т2, ...,тм)Т'
т = С -1Мгх.
Стоит отметить, что для функции ш матрицы вычисляются исходя из граничных условий жесткой заделки:
Си
М„„ = —
3
2Л
и 1 0 0 .. .0 0 0
1 4 1 0 .. .0 0 0
0 1 4 1 .. .0 0 0
0 0 0 0 .. .1 4 1
0 0 0 0 .. .0 1 4
0 1 0 0. 0 0
—1 0 1 0. 0 0
0 —1 0 1. 0 0
0 0 0 0. 1 0
0
V
0 0 0 0
0 —1 0
так как нетрудно показать, что из граничных условий (10) и условия несжимаемости (3) следует:
и = 0, и" = 0,
ш = 0, Ш = 0 при д € (0, а).
Для того чтобы учесть условие несжимаемости (3), введем штрафную функцию:
^ = ¥ Г ( " — "''У*''
где Б - достаточно большое число, которое определяется опытным путем в численных экспериментах.
Принимая во внимание последнее, функционал (8) следует записать
в вид6!
J = ml'{du+u) - p £{ u'2 - k-j +§ [{u- wj V
(13)
После подстановки (11) в (13), получаем две квадратичные формы:
s=ё>{( §+S)d+f [{S - S) d= \{Gz-q = р [ (s '2 - kS2) Л9 =2(Qz,z).
Для вычисления коэффициентов квадратичных форм необходимо вычислить следующие интегралы: 1. Интеграл от квадрата сплайна:
Г „2, м iN— ( 11 13 13 , 1 l2
J S (t)dt = h 2_J Zimih - —zmi+ih + — mhZi+i - —mh Шг+i-
11 , + 13 2 + 1 2,2 + 9 + 13 2 + 1 2
- Ю5'г+1тг+1к + 35 * + Ш^ Н + 35^ + 35^ + Ю5^
2. Интеграл от квадрата первой производной:
па 1 м-1 / 1
Sl2(t)dt = — У^ ггтгН + ггтг+1Ь - тгЬгг+1 - -тгН2тг+1-
Л 5Ь £о V 3
2 2 \
-гг+1тг+1, + + 3т2Н2 - 12^+1 + 6 • 4+1 + 3т2+1,2\ .
3. Интеграл от квадрата второй производной:
а 1 N-1
S''2(t)dt = — V (12г2 + 12ггтг+1, - 24^+1 + 12ггтгЬ-
л
-12гг+1тг+1, + 4тгЬ2тг+1 + 4т2+1Л2 + 12г2+1 - 12тгЬгг+1 +
+4т2,2) .
4. Интеграл от произведения второй производной и сплайна:
Г ~ 1 N-i ~
S''(t) • S(t)dt = — ^ [Ji+imih - mihzi+i - /mh + mhz-
-mi+ihzi - fi+imi+ih + fim+ih + 1 mik2m+ + mi+ihzi+i-
6
-1mi+ih2mi + 5/i+izi + 5/i+izi+i — 5/izi - 5/izi+i 6
Введем вектор z = (zi,z2).
Приходим к конечномерной задаче оптимизации:
g(v) = \(Gz,z) ^ min (14)
2 ф
q(<p) = Y(Qz,z) = 1, (15)
(aj,z) < 0, j E 1..M. (16)
Квадратичные формы g(z) и q(z) положительно определены, если а < п.
Обозначим через Г конус, определяемый неравенствами (16). Пусть z* — решение задачи (14)—(16). Тогда по теореме Куна - Так-кера найдутся множители Лагранжа А* и тj, Tj > 0, j E 1..M, такие, что
Gz* - А* Qz* + ^ f-i Tj aj = 0,
j=i (17)
Tj (aj ,z) = 0, j E 1..M + 2.
У системы уравнений (17) есть необходимые условия экстремума, но
так как задача ( I I) (16) не является выпуклой, то эти условия не явля-
z*
стационарными.
Для решения задачи (17) необходимо применять методы глобальной оптимизации, например метод ветвей и границ [4; 5], число переменных может быть велико, а в данном случае трудоемкость метода ветвей и границ определяется размерностью задачи.
Сформулируем метод последовательных приближений для поиска стационарных точек.
Пусть Е Г , д(г0) = 1 - начальное приближение. Пусть уже получена точка гк Е Г, д(гк) = 1, и число Ак. Введем в рассмотрение
множество
п г _ г (дд(гк) Пк = {г Е ГН - гк
Пусть фк+1 - есть решение задачи минимизации
0}.
д(фк+1)
шт д(г).
<р€Пк
(18)
Тогда Хк+1 = Фк+ъ где $к+1 = \]д(гФк+г).
В точке фк+1 выполнены условия теоремы Куна - Таккера:
Сфк+1 - \к+1Я?к + М=1 Т]а
3 = 1 '3"3
Т](аз,фк+1) = 0, з Е 1..М + 2.
(19)
Задача (18) является задачей выпуклого квадратичного программирования и может быть решена за конечное число шагов (подобно задачам линейного программирования).
Можно показать, что любая предельная точка последовательности гк является стационарной [6], то есть если гкг ^ г*, то и Ак, ^ А*, и г* удовлетворяет условиям теоремы Куна - Таккера и при этом последо-Ак
Введем функцию
/(г) = д(г) — А*ч(г) = 2(Qz,z),
где <Т = О — А*ф. Если матрица <Т окажется условно положительно определенной на конусе Г, то г*-решение задачи (14)—(16).
Результаты расчетов. В таблице представлены значения крити-
РЯ3
ческого давления —в зависимости от числа растяжек для граничных условий шарнирного опирания при а = п, к = 1 (нормальная нагрузка), к — 2 (центральные силы^.
0
2,7
/ \ 2.6
/ 2,4
1 2.3
1 2.2
Рис. 2. Форма равновесия пеподкреплеппой арки, находящейся под действием нормальной нагрузки
Рис. 3. Форма равновесия арки, находящейся под действием нормальной нагрузки, подкрепленной четырьмя ттерастяжимыми нитями после потери устойчивости
Таблица
Значения критического давления
М 3 4 5 6 7 8 0
а = п, к = 1 5.53 6.72 6.62 9.78 10.47 12.37 3.00
а = п, к = 2 7.75 9.64 9.53 10.34 15.31 18.01 4.50
а = к = 1 14.43 17.94 17.66 24.20 25.38 28.00 8.00
а = 2е к = 2 16.14 19.92 27.43 28.80 30.47 32.46 9.20
а = п/2, к = 1 26.87 33.6 33.16 44.51 46.44 51.74 15.02
а = п/2, к = 2 28.47 35.74 35.26 47.48 49.57 55.23 16.16
Результаты вычислений для неподкрепленньтх арок (М 0) с точностью до 3 знаков совпадают с результатами, полученными в [2].
На графиках п р еде ТсШл е н ы формы равновесия арок, соответствующие минимальным критическим силам, полученные при следующих параметрах: а = 2, Ь = 2, М = 0 (для рве. 2) и М = 4 (для рис. 3).
Список литературы
1. Николаи Е. Л. Труды по механике. М.: Изд-во технико-технической литературы, 1955. 584 с.
2. Динник А. Н. Устойчивость арок М.: Гостехиздат, 1946. 128 с.
3. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л.
Методы сплайн-функций. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. С. 96-101.
4. Тарасов В. Н. Методы оптимизации в исследовании конструктивно-нелинейных задач механики упругих систем. Сыктывкар, 2013. 238 с.
5. Сухарев А. Г. Глобальный экстремум и методы его отыскания // Математические методы в исследовании операций. М.: Изд-во МГУ, 1983. 193 с.
6. Тарасов В. Н. Об устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения // Труды, института математики и механики. Российская академя наук. Уральское отделение. Том 11, № 1, 2005. С. 177 188.
7. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.
Summary
Mikhailov А. V., Tarasov V. N. The stability of the reinforced arches under the boundary conditions of the hinged support
The paper solves problem of stability of elastic systems in the presence of one-sided constraints on displacement. The stability problems of circular arches under uniform pressure were previously discussed in the works of E. L. Nikolai, A. N. Dinnik and other authors. This paper discusses the stability problems of circular arches, supported by inextensible threads that
y<"K>ii'tltl'><H"l I, no/XKp e n.jT6 HHhix ctpoK
51
do not withstand the compressive forces under the boundary conditions of hinged support. Both ends of the thread are attached to the axis of the arch, so that the distance between the points of attachment as a result of the deformation cannot increase. This problem is reduced to finding and studying the bifurcation points of solutions of a certain nonlinear programming problem.
Keywords: arch, stability, support by threads, hinged edge, spline, variational problem, one-sided constraints.
References
1. Nikolai E. L. Trudy po mekhanike (Works on mechanics), M.: Izd. tekhniko-tekhnicheskoy literatury, 1955, 584 p.
2. Diimik A. N. Ustoychivost' arok (The stability of the arches), M.: Gostekhizdat, 1946, 128 p.
3. Zav'yalov Y. S., Kvasov B. I., Miroslmichenko V. L. Melody splayn-funktsiy (Methods of spline functions), M.: Nauka. Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury, 1980, pp. 96-101.
4. Tarasov V. N. Metody optimisatsii konstruktivno-nelineinnykh zadach mekaniki uprugikh system (Optimization methods in the study of structurally non-linear problems of the mechanics of elastic systems), Syktyvkar, 2013, 238 p.
5. Sukharev A. G. Global'nyy ekstremum i metody ego otyskaniya (Global extremum and methods for finding it), Matematicheskiye metody v issledovanii operatsiy, M.: Izd. MGU, 1983, 193 c.
6. Tarasov V. N. Ob ustoychivosti uprugikh sistem pri odnostoronnikh ogranicheniyakh na peremeshcheniya (On the stability of elastic systems with one-sided constraints on displacements), Trudy instituta matematiki i mekhaniki. Rossiyskaya akademya nauk. Ural'skoye otdeleniye, Tom 11, № 1, 2005, pp. 177-188.
7. Feodos'yev V. I. Izbrannyye zadachi i voprosy po soprotivleniyu materialov (Selected problems and questions on the resistance of materials), M.: Nauka, 1967, 376 p.
Для цитирования: Михайлов А. В., Тарасов В. Н. Устойчивость подкрепленных арок при граничных условиях шарнирного опирания // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2019. Вып. 1 (30). С. 4-0-52.
For citation: Mikhailov А. V., Tarasov V. N. The stability of the reinforced arches under the boundary conditions of the hinged support, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2019, 1 (30), pp. 40-52.
ФИЦ «Коми НЦ УрО РАН»
Поступила 30.03.2019
