Устойчивость плоских вихревых слоев в идеальной жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 19 76

№ 3

УДК 532.51

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКИХ ВИХРЕВЫХ СЛОЕВ В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

С. Б. Захаров

В линейном приближении рассматривается вопрос об устойчивости к азимутальным возмущениям плоских течений идеальной жидкости с круговыми вихревыми слоями и осевой симметрией. Для расширяющегося кругового тангенциального разрыва скорости показана возможность изменения характера неустойчивости в зависимости от закона расширения. Для кругового вихревого слоя постоянной завихренности получено близкое к необходимому достаточное условие устойчивости, не зависящее от толщины слоя. В обоих рассмотренных случаях выявлена стабилизирующая роль центрального вихря. Полученные результаты качественно объясняют значительно ббльшую устойчивость спиральных вихревых образований по сравнению с прямолинейными вихревыми слоями.

При отрывном обтекании с тела в поток сходят поверхности резкого изменения касательных скоростей — вихревые поверхности, а в двумерном случае — вихревые слои. Известно [1], что прямолинейные вихревые слои неустойчивы относительно малых возмущений. В ряде экспериментов [2] наблюдалась неустойчивость и спиральных вихревых образований, хотя последние обладают значительно большей устойчивостью и вследствие этого наблюдаемостью в природе.

Вопрос об устойчивости криволинейного тангенциального разрыва скорости в предположении малости кривизны решался численно в работе [3]. В этой работе показана большая по сравнению с прямолинейным тангенциальным разрывом устойчивость в случае, когда скорость с выпуклой стороны больше скорости с вогнутой стороны разрыва. Важный для численных расчетов отрывных движений методом дискретных вихрей вывод о стабилизирующей роли центрального вихря получен в работе [4], в которой рассматривалась устойчивость системы из N равномерно расположенных на окружности дискретных вихрей и вихря, расположенного в центре.

В первой части настоящей работы рассматривается вопрос об устойчивости к малым возмущениям расширяющегося плоского кругового тангенциального разрыва скорости с центральным дискретным вихрем. Во второй части работы рассматривается вопрос

об устойчивости к малым возмущениям стационарного плоского кольцевого вихревого слоя конечной толщины с равномерно распределенной завихренностью в присутствии как дискретного, так и распределенного центральных вихрей.

1. Рассмотрим поведение трехмерной нестационарной поверхности раздела двух потенциальных течений идеальной жидкости, подвергнутой малому возмущению, причем считаем, что на самой поверхности может иметь место тангенциальный разрыв скорости.

Пусть через рь <&!, Vu и р2, Ф2, V2, C2{t) обозначены плот-

ность, потенциал течения, вектор скорости и постоянная Лагранжа с одной и другой стороны раздела F(x, у, z, t) = О соответственно. Поле течения в окрестности поверхности раздела характеризуется величинами:

Ф, = ф(0) ф<1):

1 -1 ' У

V2

Ф2 = фт + ФО); V'j = V<°> + уо> ; Й°>4- Й1»; /=■ = Я°) 4-Л» .

Здесь величины Ф<0) , Ф<0), 1/<0) , 1/(20) , = 0 относятся к невозму-

щенному течению и произвольны, а 5 = (Ф<1), Ф”> , И,1) , V*1), Л1*) представляет собой малое возмущение, наложенное на основное течение. На поверхности раздела выполняются условия непротекания и непрерывности давления при переходе через поверхность, имеющие соответственно вид

Pi

vO=0;

г (п дф. | Vj I* dt 2

OF

dt r(V2, v^) = 0;

<ЭФ2 I V2 p

P2

c2(t)

dt

(1.1)

Полагая, что возмущения 5 затухают вдали от поверхности раздела, в результате линеаризации уравнений (1.1) получим следующую систему: ,

dt F( 1)

■Кт

дФ[г>

дп

/^(0) дп dF(1> ,

dF(0>

dt

а®'1»

•( l/<°>, v^(0))

= 0:

dt

F(I) d f((°) dn

dF{0) -

-дГ~+(УМ, VF<0))

= 0;

(1.2)

где символом д/дп обозначено дифференцирование по нормали к невозмущенной поверхности раздела F^(x, у, z, 0 = 0. Уравнения (1.2) являются обобщением на нестационарный трехмерный случай полученных в [5] уравнений для стационарной двумерной поверхности раздела, являющейся линией тока.

В случае плоского нестационарного течения однородной жидкости, создаваемого расширяющимся круговым тангенциальным разрывом скорости радиусом a{t), центральным дискретным вихрем циркуляции Г0 и источником переменной интенсивности Q(t), имеем

Pi = Рг; FM = r — a(t) = 0; |

ф(0) = 0(0_ ln г _|_ _1о_ 0. ф(о> = Q(0_ in r + 0. (1-3)

^ ТС & tz ^ тс Z 1Z I

Здесь г, 6 — полярные координаты, £ через Г обозначена разность циркуляций по внешней и внутренней сторонам разрыва.

Будем искать возмущения S, удовлетворяющие системе (1.2) с учетом (1.3) в виде

t 1

F^ =f(t) cos (тТ)] T = 0 — f wcp (x) dx; I

o !

ф{1> (t) r+m sin (mT); ФгХ) = <p2 (£)r”OT sin (/пГ), ^

m = 2, 3, . . . ,

где /, <р1( 92 — подлежащие определению неизвестные функции времени, а сиср = (2 Г0-)-Г)/4тса2 — угловая скорость средних частиц тангенциального разрыва, равная полусумме угловых скоростей с двух сторон от разрыва. Полагая <р (t) = a(t)f(t), подставляя (1.3), (1.4) в (1.2) и исключая ^ и <р2, получим для определения <р обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами вида

rf3 У А2 ш _ л /12 тГ2 [от ~ (4 т-о + 2)]

dt2 а4 (0 ? 16 ’ (1-0)

где х0 = Г0/Г — безразмерная циркуляция центрального вихря.

Прежде чем выписать некоторые решения уравнения (1.5), отметим важное для дальнейшего обстоятельство, вытекающее из (1.4) и (1.5) и заключающееся в том, что фазовая скорость распространения неустойчивых фурье-компонентов возмущения (Л2>0) равна полусумме скоростей с двух сторон рассматриваемого кругового тангенциального разрыва скорости. Предполагая, что указанное обстоятельство имеет место не только для рассмотренного изолированного разрыва скорости с центральным дискретным вихрем, но и для многовитковых спиральных тангенциальных разрывов (очевидно, что чем больше пг, тем точнее будет выполняться сделанное предположение), придем к выводу, что неустойчивые возмущения распространяются со скоростью частиц Г5=: const тангенциального разрыва скорости, где Г5 — циркуляция части вихревой спирали со свободным концом, отсекаемой данной точкой.

Предположим, что течение со спиральными тангенциальными разрывами скорости определяется единственной размерной постоянной К, так что

г5(0, *) = ^ГЯ(е); Г5(6, ^)==K3^_IG(0),

0 < «<2.

Воспользовавшись, далее, результатами работы [6], в которой для автомодельных течений вида (1.6) получено разложение безразмерной циркуляции* G в ряд по R при малых R, для зависимости размерного радиуса вихревой спирали rs от размерной циркуляции Г5 получим выражение

* 1 1+2п

гs (Г, t) = Ь0 Г|-« + Ъх Г|~” *~2 + . ■ (1.7)

где Ьй, Ь], . . , — постоянные, отличные от нуля. Таким образом, для автомодельных течений вида (1.6) частицы вихревых спиралей, характеризующиеся условием Г5= const, движутся при t-+ оо по круговым траекториям постоянного радиуса.

Полагая в уравнении (1.5) a (t) = а0 — const, получим

/У) = сгехр +c2exp^-~y (1.8)

Здесь с1У с2—произвольные постоянные, а диапазон волновых чисел, соответствующих неустойчивости, определяется из условия

4х0 + 2. При этом наибольшей скоростью роста обладают фурье-компоненты возмущения, соответствующие большим т.

С целью иллюстрации влияния расширения кругового тангенциального разрыва скорости на его устойчивость приведем решение уравнения (1.5) для Q (t) — Q0 = const. В этом случае имеем f(t)=-clak^rc^a-k, где

k=Yi+^f- ■

Вместо экспоненциальной неустойчивости, характерной для стационарных течений, имеет место степенная неустойчивость, причем диапазон волновых чисел, соответствующих неустойчивости, определяется из условия 1 + 47tM2/'Q2;>0 и, вообще говоря, шире соответствующего диапазона для стационарного течения. Скорость роста по-прежнему наибольшая у фурье-компонентов возмущения, соответствующих большим т.

В обоих рассмотренных случаях циркуляция центрального вихря при условии *0!>0 стабилизирует течение, сужая диапазон волновых чисел, соответствующих неустойчивости, и уменьшая скорость роста неустойчивых гармоник.

2. Перейдем к задаче об устойчивости к малым возмущениям плоского кругового вихревого слоя постоянного радиуса при наличии толщины. При этом воспользуемся математическим аппаратом, развитым для исследования устойчивости вращательного движения жидкости.

Обозначим через V (г) и 2 (г) = V' ■+■ -jr V соответственно отличные от нуля компоненты скорости и завихренности невозмущенного течения. Здесь и ниже штрихом обозначено дифференцирование по г. Задача об устойчивости плоского вращательного движения идеальной жидкости к азимутальным возмущениям сводится к задаче о собственных значениях для уравнения

{V—cr)(y'+-±-y' — ??r<?) — Q'<P==Q (2.1)

* Вид главных членов в разложении функций Я и С по в в окрестности свободного конца вихревой спирали впервые был получен в работе [7].

с однородными граничными условиями вида

ср = 0 при /■ = (), <Р-» 0 при Ґ -*■ со ,

(2.2)

При этом функция тока для возмущения ищется в виде й (г, 0, t) = — f (г) exp [m(6 — ct)], c-Cf-l-iCi, m — 2, 3,.... Для устойчивости рассматриваемого течения необходимо выполнение условия при всех т. Уравнение (2.1) представляет собой линеаризованное условие сохранения завихренности жидкой частицы в плоском течении идеальной жидкости (теорема Лагранжа).

Наиболее просто задача (2.1), (2.2) решается в том случае, если вся область течения состоит из ряда кольцевых областей 2=const. В каждой из этих областей решение уравнения (2.1) имеет вид <f = b1r-m-\-b2rm с постоянными Ьх и Ь2, различными в различных областях. Для их определения, помимо условий (2.2), необходимо потребовать выполнения условий непротекания и непрерывности давления [1] на каждой из окружностей, отделяющих соседние области постоянной завихренности. Указанные условия запишутся в виде

где символом [ ] обозначена разность значений функции с двух

сторон границ областей. В результате для определения постоянных Ьх и Ь2 получим однородную систему линейных алгебраических уравнений, а собственные значения с задачи (2.1), (2.2) найдутся из условия существования нетривиального ее решения — обращения в нуль определителя Д (т, с) системы.

Рассмотрим задачу (2.1), (2.2) для течения, характеризуемого параметрами

Здесь 20, Г0 — завихренность в центральной круговой области, в кольцевом слое и циркуляция центрального дискретного вихря соответственно, а о и Л — внутренний радиус и относительная толщина кольцевого слоя. Собственные значения при этом выражаются следующей формулой:

где ш = 20/21, х = Г0/ка2 О! — безразмерные завихренность и циркуляция центральных распределенного и дискретного вихрей соответственно.

Для устойчивости течения (2.4) необходима положительная определенность подкоренного выражения в формуле (2.5). Последняя имеет место в случае выполнения одного из двух условий, не зависящих от толщины кольцевого вихревого слоя, а именно:

[?] = 0, {V — cr)y] — [Vr]f = О,

(2.3)

12=| 2,,

So

О

при a<r<a(l -f- Л), (2.4)

при а( 1 -f-A)<r<oo.

7. + <о

2

(Х + Ш+ 1)А(2 + Л)

4 (1 + А)* ~

±4-/1

+ о) — 1) h (2 -t- Л) (1 + hf

I*

тЧХ +h)2m >

4(1 — a)

(2.5)

і;

(2.6a)

Условие (2.6а) эквивалентно известному [8] достаточному условию Релея устойчивости вращательного движения с произвольным непрерывным по г распределением завихренности — монотонности этого распределения. Что касается условия (2.66), то оно, являясь достаточным, близко к необходимому условию устойчивости течения (2.4). Действительно, если бы т могло принимать не только натуральные, но и произвольные положительные значения, необходимость условия (2.66) была бы очевидной, поскольку всегда бы нашлось такое т, при котором выражение в квадратных скобках в (2.5) обращалось в нуль в случае невыполнения условия (2.66).

Таким образом, в отличие от прямолинейного вихревого слоя постоянной завихренности, для которого всегда существует зависящая от толщины слоя область волновых чисел, соответствующих неустойчивым фурье-компонентам возмущения, рассмотренный выше кольцевой вихревой слой может быть устойчив к произвольным малым возмущениям.

Собственные значения задачи об устойчивости к малым возмущениям прямолинейного вихревого слоя постоянной завихренности, а также кругового [формула (1.8)] и прямолинейного тангенциальных разрывов скорости могут быть формально получены из (2.5) соответствующими предельными переходами.

Автор выражает глубокую признательность А. А. Никольскому за постановку задачи и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петров Г. И. Об устойчивости вихревых слоев. Труды

ЦАГИ, вып. 304, 1937. -

2. Pierce D. Photographic evidence of the formation and growth of vorticity behind plates accelerated from rest in still air. J. Fluid Mech., vol. 11, N 3, 1961.

3. Naragan D. Effect of curvature on the stability of a tangential discontinuity, Trans. ASME, D 93, N 4, 1971.

4. M о r i k a w a G. K., Swenson E. V. Interacting motion of rectilinear geostrophic vortices. The Physics of Fluids, vol. 14, N 6, 1970.

5. Sutton W. Q. L. The stability of some discontinuous fluid motions. Philos. Magaz., vol. 11, N 74, 1931.

6. Mangier K- W., Weber J. The flow field near the centre of a. rolled-up vortex sheet. J. Fluid Mech., vol. 30, N 1, 1967.

7. У стино в М. Д. Исследование строения вихревой спиральной пелены в окрестности ее свободного конца. „Инженерный сб. , т. 27, 1960.

8. Howard L. N., Gupta A. S. On the hydrodynamic and hydro-magnetic stability of swirling flows. J. Fluid Mech., vol. 14, N 3, 1962"

Рукопись поступила 30jVI 1975 г.