Математическое моделирование смешанной конвекции на основе вихревого подхода Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

к . Площадь(|мк) I = min-f--------—1——

1 ^Площадь(ц.к)

, i=1,f, к=1,m,

1=1

где Iе - информативность уровней шкалы; f - число уровней шкалы;

Мк - функция принадлежности, соответствующая i-му уровню к-й шкалы. Оптимальная лингвистическая шкала выбирается из условий максимальности согласованности суждений экспертов и максимальности информативности уровней шкалы. Если в результате будет получено несколько решений, то оптимальной будет шкала с большим числом уровней

Соглк ^ max,

< Ik ^ max, f ^ max.

При выборе оптимальной шкалы для каждой отдельно взятой ХК инженерных графических редакторов были получены результаты, которые позволили объединить их в классы. Причем для всех ХК конкретного класса оптимальная шкала едина. Приведем перечень полученных классов.

Возможностные характеристики - определяют возможность выполнения какой-либо функции или действия.

Полнотные - полноту содержания элементов ПС.

Количественные - количество каких-либо функций и элементов ПС.

Точностные - точность графических построений.

Наличностные - наличие элементов ПС.

Правильностные - правильность оформления документации.

Вероятностные - вероятность возникновения того или иного события.

Скоростные - скорость какого-либо процесса.

Стандартостные - стандартность элементов ПС.

Удобственные - удобство использования ПС.

Объемные - необходимый объем ресурсов для выполнения поставленных задач.

Сложностные - сложность тестирования ПС при его модификации.

Размерные - размер элементов ПС.

Системные - полноту занятости ресурсов ПК при функционировании ПС (таблица).

В итоге были получены следующие результаты: во-первых, оптимальные лингвистические шкалы для всех ХК инженерных графических редакторов, во-вторых, на основании этих шкал была получена классификация ХК. Причем конкретный класс характеристик можно сопоставить с конкретной лингвистической шкалой. Это позволит при дальнейшей модификации ПС, с появлением новых ХК, отнести их к одному из предложенных классов и автоматически определить оптимальную лингвистическую шкалу.

Библиографический список

1. Антошина, И.В. Формализованный подход к выбору оптимальной лингвистической шкалы / И.В. Антошина, М.В. Антошина, В.Г. Домрачев и др. // Инновации в условиях развития информационно-коммуникационных технологий: материалы научно-практической конференции. - 2007. -С. 366-369.

2. ISO/IEC 9126:1991. Information technology -Software product evaluation - Quality characteristics and guidelines for their use.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СМЕШАННОЙ КОНВЕКЦИИ НА ОСНОВЕ ВИХРЕВОГО ПОДХОДА

В.В. АФАНАСЬЕВА, ассистент каф. прикладной математики МГУЛ

Рассматривается моделирование смешанной конвекции около горизонтального цилиндра. Задача о взаимодействии вязкой теплопроводной жидкости с телами различной формы многопараметрическая, поэтому применение математического моделирования

и вычислительного эксперимента как инструмента исследования данной задачи в настоящее время является актуальным. Большое количество теоретических, экспериментальных и численных работ посвящено исследованию ближнего и дальнего следа за плохообтекае-

182

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

мыми телами вообще и за круговым цилиндром в частности.

Данная работа является продолжением исследования смешанной конвекции при обтекании цилиндра [1, 2] и посвящена рассмотрению вихревого подхода, применяемого для численного расчета процесса смешанной конвекции около горизонтального цилиндра. Автором предложено использовать вихревой подход для учета действия гравитационных сил.

Данный метод позволяет определить структуру пространственного распределения гидродинамических характеристик и учесть влияние возмущений, возникающих в потоках. Нелинейные возмущения, которые возникают, например, из-за неустойчивости Кельвина-Гельмгольца и трансформируются в вихревые структуры, оказывают сильное воздействие на гидродинамику и тепломассоперенос. Особенно ярко это проявляется при использовании струй, взаимодействующих с преградой, которые нашли широкое практическое применение.

Математическая постановка задачи

Рассматривается двумерная задача ламинарного обтекания нагретого цилиндра плоской струей жидкости в поле действия силы тяжести g . На горизонтальный изотермический цилиндр, диаметром D, с постоянной температурой на поверхности Т , из сопла шириной H натекает струя жидкости с постоянной температурой на срезе сопла Тж (Тст > Тж). Расстояние от среза сопла до цилиндра равно величине z. Профиль скорости на срезе сопла прямоугольный. Скорость истечения жидкости из сопла V - малая дозвуковая. Угол между вектором ускорения свободного падения и вектором скорости на срезе сопла - у.

В основу модели положены нестационарные уравнения сохранения энергии (1) и Навье-Стокса (2-4) в приближении Буссинес-ка с переходом к функции тока (—) и функции завихренности (ш).

Задача решалась в преобразованной полярной системе координат ( £,ф ), стягивающей бесконечную область в область конечных размеров. Преобразование радиальной координаты осуществлялось в соответствии

с соотношением £ = e~kr, где к = const - параметр преобразования координат.

Безразмерные переменные (отмечены

чертой сверху) введены следующим образом:

- V - - ш d т ——т ; — ——; ш ——ш ;

D VD V

— V — V - Т-Т

V —— • V =— • Т — ж

r~V' ф_V’ _ АТ ’

где АТ = Т - Т .

ст ж

Определяющие параметры задачи: число Рейнольдса Re = VD/v, число Грасго-фа Gr = gPАTD3/v2 (число Ричардсона Ri = Gr/Re2), число Прандтля Pr = v/a, отношение ширины сопла к диаметру цилиндра - H/D и отношение расстояния от среза сопла до цилиндра к ширине сопла - z/H, угол между вектором ускорения свободного падения и вектором скорости на срезе сопла - у.

Таким образом, уравнения примут

вид:

уравнение переноса энергии

дТ дТ к — дТ

-^-к £Vr-=■--= V——

дт _ д£ ln£ фдф _

1 к2

RePrln £

£_д=

д£

Г

£ £ дТ

£ln £'Ж

д£

Л

1 д2 Т

+^-

ln £дф

(1)

уравнение переноса импульса

дш дш Уф дш

-^-к£Vr—= - к—— дт д£ ln £дф

к_

Reln £

д

£-д=

д£

(

£\ £ дш £ln £'Ж

д£

1 д2 ш

+---=----2"

ln £ дф2

Gr к

—х

Re2ln £

дф(Т £'Т 'sin(ф-y))

V—--кд-, ¥ф—к .

ln£ дф д£

где

(2)

(3)

- радиальная и тангенциальная составляющие скорости соответственно. Уравнение, связывающее функцию завихренности с функцией тока

- к2

ш —-----=

ln £

£-д=

д£

- - д—

£ln £'^i

д£

1 д2 -

+---=----2“

ln £ дф2

(4)

Граничные условия: _ _

На поверхности цилиндра Т—Тст — 1; — — 0; Vr — 0; Уф — 0; на _внешних стенках сопла Т—Тж — 0; — — const; Vr — 0; Уф — 0 - условия прилипания и постоянства температуры.

х

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 4/2008

183

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

На срезе сопла - безвихревое течение^ равномерное распределение скорости, Т=Тж — 0; Y—-zjD-sin ф (в физическом эксперименте подобные условия можно получить с помощью сопла Витушинского), граничные условия для й получаются из уравнения (4).

На внешней границу- условия полной проницаемости дТ/ дЕ, = 0; дй/д^ — 0; д¥г/ дЁ —0; дУф/д^=0.

Начальные условия: на поверхности цилиндра Т= Тст =1; во всей расчетной области Т — Тж = 0 ; на срезе сопла задано равномерное распределение скорости, в остальной расчетной области задано течение, соответствующее безотрывному обтеканию цилиндра струей идеальной жидкости конечной ширины.

Метод численного решения

Метод «вихрей в ячейке» [3] совмещает некоторые из лучших черт лагранжева и эйлерова подходов. Лагранжевы частицы (дискретные точечные вихри), представляющие элементы жидкости, движутся в фиксированной эйлеровой сетке, которая в свою очередь используется для описания переменных поля.

В этом методе интегрируется уравнение траектории движения каждого дискретного вихря, то есть скорости вычисляются по значениям функции тока, которая в отличие от метода дискретных вихрей определяется не путем суммирования (наложения, суперпозиции) вкладов от отдельных дискретных вихрей, а из решения уравнения для функции тока с использованием сеточной функции завихренности, определенной путем осреднения вкладов дискретных вихрей по ячейкам сетки.

Точечные дискретные вихри генерируются на поверхности цилиндра и кромках сопла. Каждый дискретный вихрь характеризуется координатами местоположения (xp) и циркуляцией (/p).

Уравнение (2) представим в виде трех

частей.

1) Конвективная часть

дй дй Уф дй Dй ...

-=-kcVr—= - к—Р— или—= , (5)

дт дЁ ln Едф Dt

аппроксимировалась вихревыми элементами, положения и циркуляции которых определялись согласно уравнениям

dx„

=u

(xp );

dT pW’

dTv

p-—0.

d т

2) Диффузионная часть

_1_ k_ Reln Е

Ё—

дЁ

7, 7 дй Eln

дЕ

1 д2 й

+---=---2

ln Едф2

(6)

(7)

(8)

которая моделировалась с применением «диффузионной» скорости [4]

—dif 1-1 дй —dif 1 к 1 дй

Vr — к Ё*= =■; V ф — =•= . (9)

Re й дЁ RelnЁ йдф 3) Часть, учитывающая влияние сил плавучести,

Gr к

дф(Т cos^y))-^^ Ё-Т sin (ф-у))

;(10)

д * , -л-д

Re2ln Ё_

заменялась генерацией «тепловых» вихрей в узлах сетки.

Для перехода от системы дифференциальных уравнений и краевых условий к соответствующим конечно-разностным соотношениям рассматриваемая область изменения безразмерных координат (Е,ф) была заменена равномерной сеткой узловых точек с номерами i, j, которые изменялись в диапазонах: 0 < i < n - 1, 0 < j < m - 1. Сетка задавалась как n(l) х m, где n и m - количество всех узлов в радиальном и тангенциальном направлениях соответственно, а l - количество узлов, приходящихся на сопло в радиальном направлении. Для того, чтобы на расстояние от сопла до цилиндра (z) приходилось целое количество шагов сетки, параметр преобразования координат к выбирался следующим образом: к = -D/z-ln(l/n).

Безразмерный шаг между узловыми точками в радиальном направлении ЛЕ,—Е0 / n, где Ё0 — 2, а в тангенциальном направлении

Лф = 2n/(m - 1).

Величина шага по времени Лт зависела от номера временного слоя и определялась из условий практической устойчивости [5]. Аппроксимация конечными разностями дифференциального уравнения (1) проводилась по модифицированной явной схеме, ориентированной «против потока», с компенсацией погрешности первого порядка [5].

184

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Локальное число Нуссельта определялось согласно выражению

irdT

Nu = k , cA=5

которое аппроксимировалось по трехточечной схеме второго порядка.

Интенсивность вихря в узловых точках (рис. 1б) определялась следующим образом S Г

% -Ъ^, q-1,2,3,4. (11)

p S

Циркуляция каждого дискретного вихря определялась по формуле

Гр = (% - ®JS> (12)

где шгр - завихренность на границе определялась из уравнения (4); для цилиндра она определялась согласно выражению

Шгр = - k2;02-2Y/A^

S - площадь ячейки, внутри которой находится рассматриваемый вихрь,

S = Ъ Sq,

q=1

шЕи; - завихренность, генерируемая отсоединенными вихрями, которые находятся в той же ячейке, определяется согласно уравнению (11).

После учета вкладов всех дискретных вихрей (11) завихренность оказывалась определенной во всех узлах сетки, и функция тока могла быть найдена из уравнения (4), которое решалось методом установления по неявной схеме с использованием продольно-поперечных прогонок.

Затем определялось поле скоростей в узлах сетки и для каждого дискретного вихря определялась его скорость согласно выражению

4 U S

Up = Е-^, (13)

q=1 S

также определялись «диффузионные» скорости

usf =ъ U4

p = Ъ S

(14)

где Uq и Uqdif - вектора скоростей, которые определяются из уравнений (3) и (9) соответственно, эти уравнения аппроксимировались центральными конечными разностями второго порядка.

k щ -Щ щ -щ

k 1 1+ 1 _ к? Н+1 А- •

; V—1 -Н

1 Ш+1-Ш-1 .

Ш1 2АЕ, ’

1 Ш+1-Ш-

Ш1 2А-

r 11 Re

ydf = J___

- 11 Re ln

Затем интегрированием по времени уравнения траекторий вихрей (6) определялись их новые положения

хр(т + Ат) = хр(т) + ир(т)Ат + updf(i)AT. (15) Далее для учета влияния сил плавучести предложено в тепловом пограничном слое (область, где T >0,05) генерировать «тепловые» вихри, причем координаты «тепловых» вихрей соответствуют координатам узлов сетки, а циркуляция определялась по формуле Gr k

f

Гр =

Re2ln £,

5 -

—(T cos(9-y))+

д-

д

хSхАт . (16)

V.. =-

П1 ln^ 2А-

2А^

+^Т= (ln ^T sin(--Y)) д^ jy

В уравнении (16) производные аппроксимировались центральными разностями второго порядка.

На основе рассмотренного метода расчета разработан комплекс программ под Windows для проведения вычислительных экспериментов для исследования взаимодействия плоской струи вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости с горизонтальным круговым цилиндром. Текст программы написан на языке программирования С++. Время расчета одного варианта задачи на персональном компьютере в среднем составляло от 2 до 6 часов.

Тестирование программы проводилось в два этапа. Первый этап состоял в качественном сопоставлении результатов расчетов с известными данными для обтекания цилиндра [6]. Надо отметить, что вихревые структуры, полученные в вычислительном эксперименте, качественно согласуются с данными физического эксперимента.

Второй этап заключался в количественном сопоставлении результатов расчетов с данными лабораторных экспериментов для случая обтекания изотермически нагретого цилиндра неограниченным потоком [7] и плоской струей. При моделировании обтекания цилиндра неограниченным потоком Re =188; Gr = 28600; Pr = 0,7 на сетках: 60х37 и 80х73 локальное число Нуссельта отличалось на 3-5 % от данных лабораторных экспериментов.

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 4/2008

185

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

120

100

80

Nu 60 40 20 0

ененэ данные работы [8] расчет, сетка 60(30)х51 —э— расчет, сетка 80(40)х101

30

60

90

Ф

120 150

180

0

Рисунок. Распределение локального числа Нуссельта при обтекании цилиндра плоской струей: для Re = 4072; Gr = 2,5x106; Pr = 0,7 на сетках: 60(30) x51 и 80(40)x101

Тестовые расчеты совпадающей смешанной конвекции при обтекании цилиндра неограниченным потоком и плоской струей (рисунок), а также расчеты естественной конвекции около горизонтального цилиндра показали, что имели место внутренняя сходимость при измельчении сетки и удовлетворительное согласование результатов расчетов с известными экспериментальными данными.

Расчеты, проведенные при использовании метода «вихрей в ячейках», показали, что когерентные вихревые структуры влияют на мгновенное распределение температуры вблизи поверхности цилиндра. Распределение локального числа Нуссельта на поверхности цилиндра имеет нестационарный характер и зависит от положения вихревых структур струи, которые в свою очередь порождают вниз по течению вихревые структуры на поверхности цилиндра.

В работе описаны математическая модель и метод численного решения задачи о взаимодействии плоской струи вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости с горизонтальным круговым изотермическим цилиндром. Предложено использовать вихревой подход для учета гравитационных сил путем генерации дискретных вихрей в тепловом пограничном слое.

Показано, что метод расчета, базирующийся на вихревом подходе, позволяет корректно моделировать движение вязкой теплопроводной жидкости вблизи поверхности

цилиндра для случая обтекания цилиндра бесконечным потоком и плоской струей.

Данные тестовых расчетов хорошо согласуются с известными экспериментальными данными. Показано, что разработанный метод расчета позволяет отслеживать поведение вихревых структур, имеющих место в физическом эксперименте. Нестационарное развитие вихревых структур приводит к тому, что характеристики теплообмена зависят от времени, причем колебания температуры начинаются в тот момент, когда вихревые структуры от сопла достигают преграды. Данный метод позволяет исследовать вихревые структуры в слое смешения и их влияния на характеристики теплообмена.

Таким образом, можно утверждать, что рассмотренный метод дает вполне надежные результаты, согласующиеся с известными данными физических экспериментов, и разработанная программа для проведения вычислительных экспериментов пригодна для исследования смешанной конвекции около горизонтального цилиндра.

Библиографический список

1. Афанасьев, А.В. Исследование локального и среднего теплообмена при взаимодействии плоской струи жидкости с горизонтальным цилиндром в режиме ламинарной смешанной конвекции / А.В. Афанасьев, В.В. Афанасьева // Проблемы газодинамики и теплообмена в энергетических установках: сб. науч. тр. - Т. 1. - М.: Изд-во МЭИ, 2007. - С. 62-65.

2. Афанасьев, А.В. Математическое моделирование смешанной конвекции при струйном обтекании горизонтального цилиндра / А.В. Афанасьев, В.В. Афанасьева // Инженерная физика - № 4.

- М.: Изд-во Научтехлитиздат, 2007. - С. 16-20.

3. Пейре, Р. Вычислительные методы в задачах механики жидкости / Р. Пейре, Т.Д. Тейлор. - Л.: Гид-рометеоиздат, 1986. - 352 с.

4. Дынникова, Г.Я. Лагранжев подход к решению нестационарных уравнений Навье-Стокса / Г.Я. Дынникова // Доклады РАН. - 2004, Т. 399.

- № 1. - С. 42-46.

5. Купцова, В.С. Численные методы исследования процессов тепло- и массопереноса: учеб. пособие, Ч. 2 / В.С. Купцова. - М.: МЛТИ, 1976. - 78 с.

6. Ван-Дайк, M. Альбом течений жидкости и газа / М. Ван-Дайк - М.: Мир, 1986. - 184 с.

7. Хроменко, А.В. Гидродинамика и теплообмен горизонтального цилиндра при ламинарной смешанной конвекции: дис. ... канд. техн. наук : 05.14.05 / Андрей Владимирович Хроменко. - М., 1990. - 252 с.

186

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2008