CC BY
15
УДК 533.9;539.1
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКИХ РАВНОВЕСНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ
Ш. Г. Амиранашвили, Н. Г. Гусейн-заде, А. М. Игнатов
Низкотемпературная заряженная плазма « магнитном поле образует квазикристаллы, наблюдаемые экспериментально. В данной работе исследована устойчивость некоторых типичных плоских конфигураций заряженных частиц в магнитном поле.
В последние годы значительно возрос интерес к изучению свойств равновесных состояний и устойчивости заряженной плазмы, удерживаемой магнитным полем.
Обычно ловушки, удерживающие заряженную плазму, имеют цилиндрическую сим метрик». Например, в ловушке Пеннинга, о которой пойдет речь в дальнейшем, направленное вдоль оси металлического цилиндра магнитное поле Н удерживает чапины от разбегания в поперечном (относительно магнитного поля) направлении, а электроста тический потенциал, приложенный к торцам цилиндра, удерживает их в продольном направлении.
В недавних экспериментах (см. обзор [1]) ионы бериллия Ве+ в течение длительного времени удерживались в ловушке Пеннинга, и такая ионная плазма посредством гех нологии лазерного охлаждения доводилась до температур порядка / ~ 10 ''/\ . В этом случае возникает ионное облако и при е п 1 можно проследить за возникнове-
нием кристаллического состояния. Если число частиц невелико, то они выстраиваются в различные простые геометрические конфигурации. При этом техника эксперимента позволяе т следить даже за положением отдельных частиц.
В настоящей работе теоретически рассмотрена устойчивость одной из подобных конфигураций. Для простоты ограничимся следующей постановкой задачи. Пусть А одинаковых классических частиц с массой гп и зарядом q движутся в плоскости, пер пендикулярной постоянному магнитному нолю В. Положение отдельной частицы удобно
характеризовать комплексным числом г = х + гг/. Если скорость частиц мала по сравне нию со скоростью света, то уравнение движения п-той частицы выглядит следующим образом:
Здесь 0 = цВ/тс - циклотроннная частота вращения одной частицы в магнитном поле. Если N > 1, то (1) становится сложным нелинейным уравнением. Однако легко построить его частное решение, которое является обобщением циклотронного вращения При этом частицы располагаются в вершинах правильного ./У-угольника и вращаются с одинаковой частотой. Пусть общий радиус вращения частиц есть Л. Тогда кроме П по-
является еще один "геометрический" параметр с размерностью частоты и = уд2/гай3. Именно устойчивость такого многоугольника и будет ниже исследована. Априори она может зависеть от ТУ и безразмерного отношения А = (П/г/)2.
Отметим, что похожие решения в виде вращающихся правильных многоугольников хорошо известны в физике. Прежде всего они возникли в гидродинамике идеальной жидкости при описании движения точечных вихрей [2]. В соответствующем уравнении движения отсутствует член со второй производной, и показатель степени в правой ча сти равен двум. На качественном уровне устойчивость этих конфигураций исследова.I Кельвин [3], а Дж.Дж. Томпсон построил математическую теорию [4], показав, что мно гоугольники, содержащие больше шести вихрей, неустойчивы. Аналогичный результат получается при рассмотрении взаимодействия N электронных столбов в дрейфовом приближении [5], учет инерции электронов, т.е. слагаемого с г, тоже не приводит к изменениям, и в этом случае неустойчивость также начинается с N = 7. Таким образом, в литературе имеются исследования уравнения, аналогичного (1), но с другим показателем степени в законе взаимодействия. Случай кулоновской силы, который как раз отвечает квазикристаллическим состояниям заряженных ионных облаков, ранее не исследовался и рассмотрен ниже.
Для построения нужного решения (1) удобно ввести параметр г] = ехр(27гг/А^), поскольку степени г) в комплексной плоскости как раз располагаются в вершинах правильного многоугольника. Положим г„ = 7/пДехр(—шЬ). Тогда (1) примет вид:
,2 N
(1)
(2)
Как и следовало ожидать, выражение справа не зависит от значения п, и все частицы действительно вращаются с одинаковой частотой. Дисперсионное уравнение (2) можно переписать в виде:
и? - Пи + 5aí/2/4 = 0, ш2 - (1/2)(П±у/№ -Slv2), (3)
где
t |i-»T'
Здесь, как и в случае замагниченного столба электронов [5], существую т две час готы вращения. Имеется ограничение А > sj, которое означает, что при заданном магниг ном ноле радиус окружности должен быть достаточно велик. Случай А .Sj отвечает дрен фовому приближению. Случай А = .sj мы назовем бриллюэновским пределом. Перейдем теперь к исследованию устойчивости.
Проварьировав уравнение (1), получим:
с •• , п с ■ , Я2 8zn - Szk 3q2 ^Х/ (гп - zk)2 —-——
Полагая г.„ = T¡n(fí + wn) exp(-iujt), где |wn| <С /?, и подставляя соответствующую вариацию, находим:
wn + г(П - 2\u)wn + (-и2 + ílu)wn + (1/2) z,2 E'ÍLi ""^"р* +
+ (3/2) Е'Г=1 К - «У*- Wfc) =0. (4)
Ключевым моментом в упрощении этого уравнения является то, что w„ можно рассматривать как периодическую функцию п. Например, такой функцией является //' ее степени ц и их линейные комбинации. На самом деле можно показать, ч то суще сгвует однозначное разложение wn — Е/=о' Hi Vlnявляющееся дискретным вариан том обычной теоремы Фурье для периодических функций.
Такое разложение позволяет рассматривать возмущения в виде отдельных гармо ник. Рассмотрим возмущение в виде комбинации двух сопряженных гармоник I й Л — I
wn = щ1п + (5)
где и, V пока произвольные функции времени.
Очевидно, можно считать I < N/2. Чтобы определить и и и, подставим (5) в (4), выразим все возникающие суммы через ¿/(./У) и получим следующую систему уравнений:
й + ¿(Л - 2ш)й + |1/2(я1 + |л/.ц)и + - а/)и = О
(6)
V - г(П-2и)ь + \и2(зг + |а/_1)|; + §г/2(«1 - з,)и = 0.
Для определенности выберем в уравнении для частоты (3) знак минус, тогда — 2и — иу/Х — 61. Удобно измерять инкремент в единицах V, поэтому, положив и,у ~ ехр(—г«/Г£), получаем следующее дисперсионное уравнение:
-Г2 + + \(зг + 1Я|+1) 1(81- з,)
¡(зг - з,) -Г2 - Г^А^Т + + |я,_ж)
Выбор другого знака в уравнении (3) эквивалентен замене Г —> —Г, так что действительно достаточно рассмотреть только одну частоту вращения многоугольника. Пусть:
* = у/Х - 31, а = 51/4 + з/+г/8, Ь = 5Х/4 + «1-1/8, с = 3^ - з,)/8.
Вычислив определитель, получаем следующее уравнение:
Г4 — (г2 + а + Ь)Г2 - г(а - Ь)Г + (аЬ - с2) = 0. (7)
Это уравнение четвертой степени относительно неизвестного инкремента Г. Оно зависит от параметра £ > 0, связанного с магнитным полем. Числа а, Ь, с выражаются через ^/(А^), то есть зависят от числа частиц N и моды /, причем 0 < / < N¡2. Приступим к его исследованию. Мода I = 0.
В этом случае а = 6 = с, и дисперсионное уравнение имеет только устойчивые корни. Физически они связаны с такими деформациями многоугольника, при которых он сохраняет свою форму, то есть с поворотом и растяжением. Таким образом, при любом N мода I = 0 устойчива. Мода I = 1.
В этом случае с = 0, и уравнение четвертой степени (7) распадается на произведение двух квадратных уравнений с вещественными корнями. Эта мода также устойчива при любом N.
Исследовать в общем случае другие моды затруднительно, но из уже сказанного вытекает, что при N < 4 система устойчива, а при N = 4 надо рассмотреть только
I — 2. Тогда уравнение (7) становится биквадратным, и имеет устойчивые корни при любом t. Таким образом, четырехугольник устойчив. Для А — 5 опять достаточно рассмотреть / = 2. Вычисления показывают, что эта мода устойчива при всех t.
Перейдем к А = 6, достаточно рассмотреть / = 2, 3. Мода I — 2 снова всегда устойчива. Для / = 3 получаем:
Г4 - (t2 + 11/2 + УЗ)Г2 + 29(4л/3 - 7)/16 = 0.
Отсюда видно, что шестиугольник неустойчив при любом значении магнитного поля. Дальнейшие расчеты показали, что конфигурации с А > 6 неустойчивы, причем с ростом А критерий неустойчивости выполнялся со все большим запасом, а также увеличивалось число неустойчивых мод.
Аналитически критерии устойчивости можно получить в двух простых предельных случаях, слабого и сильного магнитных полей.
Бриллюэновский предел í = 0 : y/ab > |с|. (8)
а + b
Дрейфовый предел t —> оо : —-— > |с|. (9)
Анализ (8), (9) подтверждает сделанные выводы. Отметим, что увеличение магнитного поля вообще говоря приводит к стабилизации. Это проявляется хотя бы в том, что при t —» оо инкремент неустойчивости стремится к нулю. Кроме того, очевидно, критерий (9) удовлетворяется легче чем (8). Например, при 10 < N < 12 оказывается, что мода с / = 2 неустойчива в бриллюэновском пределе и устойчива в дрейфовом. Однако на число N, начиная с которого конфигурация зарядов в виде правильного многоугольника неустойчива, величина магнитного поля не влияет.
Подведем итоги. Мы рассмотрели частное решение плоской задачи о движении А одинаковых кулоновских частиц в магнитном поле в виде правильного вращающегося A-угольника. Таковой оказался устойчивым при А < 5 и неустойчивым в противном случае.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Bollinger J. J., Wineland D. J., D u b i n D. H. E. Phys. Plasmas, 1, N 5, 1403 (1994).
[2] Л а м б Г. Гидродинамика. М.-Л., Огиз-Гостехиздат, 1947.
[3] Kelvin W. Mathematical and Phisical papers, v. IV, Cambridge, 1910.
[4] T о m p s о m J. J. On the Motion of Vortex Rings. London, 1883.
[5] Л e й м а н В. Г. Электронная техника, сер. 1, Электроника СВЧ, N 8, 15 (1967).
[6] Д е в и д с о н Р. Теория заряженной плазмы. М., Мир, 1978.
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 8 апреля 1996 г.
