CC BY
44
УДК 533.9
В. И. Х в е с ю к, А. Ю. Чирков
О НЕУСТОЙЧИВОСТЯХ В ПОВЕРХНОСТНОМ СЛОЕ ПЛАЗМЫ ОБРАЩЕННОЙ МАГНИТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ
В электростатическом приближении на основе решения системы уравнений Власова-Пуассона путем интегрирования по невозмущенным траекториям проанализирована возможность развития бесстолкновительных дрейфовых неустойчивостей в плазме обращенной магнитной конфигурации. Получено дисперсионное уравнение, описывающее дрейфовые неустойчивости, связанные с градиентами плотности плазмы, ионной и электронной температур. Анализ результатов показал, что для типичных условий обращенной магнитной конфигурации развитие ионной температурно-градиентной неустойчивости может быть ограничено из-за конечной длины области плазмы в установке, но выполняется необходимое условие для развития электронной температурно-градиентной неустойчивости.
Обращенная магнитная конфигурация (FRC, field reversed configuration) [1, 2] — цилиндрически симметричная магнитная ловушка с высоким отношением давления плазмы к давлению магнитного поля в -В FRC давление плазмы максимально на нейтральной линии (магнитной оси), где магнитное поле B = 0 (рис. 1). Плазма практически полностью расположена в области замкнутых силовых линий магнитного поля, ограниченной сепаратрисой, за которой находится область открытых силовых линий. Магнитное поле FRC обычно считается чисто полоидальным. Это означает, что силовые линии лежат в плоскости r — z, а тороидальная составляющая магнитного поля (вдоль азимута 9), как правило, отсутствует.
Одна из важных проблем FRC — это аномально высокий уровень транспорта частиц и энергии поперек магнитного поля. В настоящее
Рис. 1. Магнитная конфигурация ЕЯС (на примере модели "рейстрек"):
1 — область открытых силовых линий, 2 — область замкнутых силовых линий, 3 — нейтральный слой (В = 0), 4 — сепаратриса
время нет однозначного понимания в вопросе о том, какие неустойчивости вызывают аномальный транспорт в БЯС. В некоторых работах для анализа аномального транспорта рассматривались теории, основанные на дрейфово-диссипативных неустойчивостях [3-5]. Однако, согласно работе [5], этот тип неустойчивостей не должен развиваться в БЯС. Большое количество теоретических работ посвящено анализу нижне-гибридных дрейфовых неустойчивостей в БЯС [6-9], так как такой тип неустойчивостей наблюдался в тэта-пинчах — разрядах, близких по свойствам к БЯС. Однако ряд экспериментальных данных не подтверждает наличия такого рода неустойчивостей в БЯС [10, 11]. Достаточно подробные данные о колебаниях в поверхностном слое БЯС-плазмы приведены только в работе [10], посвященной экспериментам на установке ТИХ-2, но на вопрос о типе колебаний однозначный ответ не дан.
В настоящей работе рассматриваются дрейфовые неустойчивости в поверхностном слое БЯС-плазмы. Под поверхностным слоем здесь понимается тонкий слой вблизи сепаратрисы, в котором возможно существование электростатических волн. В данной работе применительно к БЯС анализируется возможность развития бесстолкновительных дрейфовых неустойчивостей, связанных с градиентом плотности плазмы, ионной (1ТО) и электронной (БТО) температурно-градиентных неустойчивостей. Анализ выполнен в электростатическом приближении на основе решения системы уравнений Власова-Пуассона интегрированием по невозмущенным траекториям. В результате получено дисперсионное уравнение для указанных типов неустойчивостей.
Из анализа экспериментальных данных, приведенных в работах [4, 8, 10-15], следует, что для БЯС-экспериментов типичны радиус сепаратрисы а ~ 0,15 м, внешнее магнитное поле В0 ~ 0,1 Тл, температура Т = Т + Те & 400 эВ (Т — температура ионов, Те — температура электронов), вблизи сепаратрисы в ~ 0,5; время удержания энергии тЕ и магнитного потока Тф имеют порядок времени удержания частиц тм . Как правило, Т ~ 2Те, но в некоторых режимах Т ^ Те. Для БЯС также характерно, что масштаб градиента электронной температуры ЬТе = Те/|УТе| имеет порядок масштаба градиента концентрации Ьп = те/|Уте|, а масштаб градиента ионной температуры Ьтг = Т/|УТ| значительно больше Ьп, т.е. Пе = £п/ЬТе ~ 1; П = Ьп/Ьтг ^ 1. Следовательно, логично предположить, что рассматриваемые неустойчивости должны заметнее проявляться в БТО-, чем в 1Тв-пределе.
Так как в подавляющем большинстве случаев силовые линии магнитного поля в БЯС не перекрещиваются (нет магнитного шира, характерного, например, для конфигураций токамаков и стеллараторов),
то неустойчивости рассматриваемых типов могут развиваться только при ненулевой продольной составляющей волнового вектора к||. В этом случае важное ограничение на неустойчивость накладывается конечной длиной плазмы вдоль линий магнитного поля. Для плазменной конфигурации с характерным размером Ь вдоль линий магнитного поля продольное волновое число к|| должно удовлетворять условию 2п/к|| < Ь или (в безразмерном виде)
2пЬп
к\\Ьп > . (1)
Главная цель настоящей работы заключается в том, чтобы на основе условия (1) выясненить типы бесстолкновительных дрейфовых не-устойчивостей (в рамках электростатического приближения), которые могут развиваться при значениях параметров плазменной конфигурации (пг, Пе, отношения температур Те/Тг), характерных для БИС. Область волновых чисел, характерная для БТв, в рамках проводимого исследования представляет наибольший интерес, так как выполнение условия (1) для относительно мелкомасштабной БТО-неустойчивости видимо обеспечивается с большей вероятностью, чем для 1ТО-неустойчивости.
Дисперсионное уравнение. Для получения дисперсионного уравнения использованы стандартный подход теории малых возмущений и интегрирование по невозмущенным траекториям [16]. Возмущенная часть функции распределения частиц сорта а (а = г, е означает соответственно ионы и электроны) с учетом принятых допущений имеет вид
fla
QaP
kß Та
f0a +
ш + ш*
+
1 + Па
2
mav
2 kß Та
ш
- k\\v\\
Jo2(Aa )^f«
а) i rn J 0a,
kß Та
(2)
где kß — постоянная Больцмана; qa — заряд частицы; ma — масса ча-
стицы; ш* а = k
kß Та
±-
— частота диамагнитного дрейфа; Ла =
kv
Шс
ЯаВЬп
шса — циклотронная частота частицы; 70 — функция Бесселя; V — скорость частицы; — поперечная (по отношению к магнитному полю) и VII — продольная составляющие скорости; к± — поперечная и к|| — продольная компоненты волнового вектора; ш — частота (комплексная) волны; ф — скалярный потенциал волны; /0а — невозмущенная функция распределения.
Так как для рассматриваемых дрейфовых волн krD ^ 1 (го — деба-евский радиус), то вместо уравнения Пуассона используется условие квазинейтральности
a=i,e
qa flad3v = 0.
(3)
Интегрируя соотношение (2) по скоростям, находим отношение возмущения концентрации частиц сорта а к невозмущенному значению
П П-
qay
qay
kß Ta kß Ta
Ш*a I „ 3 1+--- 1 - - na
ш V 2 la
Го (ba)Îa.Z (Ç-) +
+ ^П-Го (b-)Ça [Ça + Ç-Z(Ça)] + ш
+ ^П-[Го(Ь-) + ЬаГ!(Ьа) - Ь-Го(Ь-)^(Ç-) (4)
Здесь Гп(Ь) = 1п(Ь) ехр(—Ь); 1п(Ь) — модифицированные функции Бесселя; Ьа = к]_рТГа; Рта = таУта/(1Яа1В) — ларморовский радиус, вычисляемый по тепловой скорости частиц данного сорта;
Z(Ç) = -р
'du
vW u - Ç
(5)
— плазменная дисперсионная функция, аргумент которой для частиц
t ш сорта а равен £a =--=.
кц^ 2k в Ta/ma
Используя условие квазинейтральности (3), получаем дисперсионное уравнение для дрейфовых волн в виде
1 +
ш*е Л 3
1--1 - 9 Пе
ш \ 2
ÇeZ (Çe)ro(be)-
- —VeÇe [Çe + gZ(Çe)]^(be) - — VeÇ*Z(Çe)^(be)-шш
- ^neÇeZ(Çe)be [^(be) - ЗД)] =
ш
= - ^ 1 +
1 i Ш« Л 3
1 + — 1 - ^ Vi ш2
Çi Z (Çi)Гo(bi)+
+ — niÇi[Çi + Çi2Z (Çi)]Гo(bi) + ^ niÇiZ (Çi)Гo(bi)+
шш
ш
nÇi Z (Çi )bi [rx(bi) - ro(bi)]
ш
(6)
—u
e
где т = Те/Тг; чтобы подчеркнуть различие в знаках ионных и электронных слагаемых обозначено ше = к±_ В Т > 0.
еВЬп
Дисперсионное уравнение (6) при к±рТг < 1; к±рТе ^ 1 соответствует 1Тв-пределу, а при к±рТг ^ 1; к±рТе > 1 — БТв-пределу. Кроме того, оно описывает дрейфовую неустойчивость, вызываемую градиентом плотности плазмы [17] (ранее называемую "универсальной"). Отметим, что входящие в дисперсионное уравнение (6) функции Z (£а) для ионов и электронов находили численным интегрированием, не прибегая к аппроксимациям для предельных случаев.
Результаты расчетов и обсуждение. Результаты расчетов представлены на рис. 2-5; в расчетах принято п = 0,1; пе изменялось в пределах от 1 до 2; рассмотрены случаи т = 0,5 (электронная температура в два раза ниже ионной) и т = 0,1 (горячие ионы, холодные электроны).
На рис. 2 для мод с различными безразмерными поперечными волновыми числами к±ртг приведены примеры зависимостей инкремента 1тш и действительной частоты Яеш от безразмерного продольного волнового числа к||Ьп. В качестве масштаба частоты и инкремента принята величина
кВ Тг пл
шо = -. (7)
еВЬпртг
Как видно из рис. 2, неустойчивость может развиваться в диапазоне продольных волновых чисел, ограниченном сверху. Соответствующее граничное безразмерное продольное волновое число обозначено (к||Ьп)ь. Его значения для мод с различными к±рТг приведены на рис. 3.
Вместе с тем продольное волновое число должно удовлетворять условию (1). Для БЯС, имеющих форму, близкую к сферической, Ьп ~ а/2, Ь ~ па и из условия (1) следует, что неустойчивость может развиваться при к||Ьп > 1. В случае вытянутой конфигурации область существования неустойчивости расширяется. Так, при Ь ~ 10а неустойчивость будет развиваться уже при к||Ьп > 0,3. Следовательно, эффект стабилизации конечной длиной силовых линий наиболее заметно сказывается для не слишком вытянутых конфигураций. На рис. 3 сплошными линиями показана верхняя граница области существования неустойчивости, определенная из решения дисперсионного уравнения. Штриховой линией обозначена условная нижняя граница неустойчивости, соответствующая выполнению условия (1) в типичных условиях БЯС. Как видно из рис. 3, для характерных параметров БЯС условие (1) может выполняться в области относительно больших поперечных волновых чисел (к±рТг ^ 102, к±рТе > 1), характерных для БТО-неустойчивости.
Рис.2. Инкременты (а) и действительные частоты (б) мод с различными к±рт, в зависимости от кцЬп:
Г1е = 2, ГЦ =0,1, т = 0, 5
Значения (кцЬп)т, соответствующие максимальному инкременту при заданном к±рТг, приведены на рис. 4, а максимальные инкременты в зависимости от к±рТг — на рис. 5. Отметим, что при неустойчивости характерные значения инкремента 7 ~ 10^о (см. рис. 5).
Рис.3. Граничные значения безразмерного продольного волнового числа кцЬп для мод с различными к±рт :
1 — Пе = 2, п =0,1, т = 0, 5;' 2 — пе = 1, п =0,1, т = 0, 5; 3 — пе = 2, п = 0,1, т = 0,1
Рис.4. Значения кцЬп, соответствующие максимальному инкременту при заданном к^рт., в зависимости от к^рт.:
1, 2, 3 — см. рис.3. В случае 3 разрыв связан с немонотонностью зависимости инкремента от к\\Ьп
Рис.5. Зависимость максимального инкремента от к±рт, (1, 2, 3 — см. рис.3)
Из анализа результатов расчетов следует, что в условиях БЯС-экспериментов развитие 1ТО-неустойчивости, видимо, ограничено конечной длиной установки.
Оценим корректность использования электростатического приближения. Пренебрегая электромагнитными эффектами (вихревой составляющей поля волны) для частиц сорта а, предполагаем, что уТаА ^ <£, где уТа = квТа/та; А — вектор-потенциал. Из закона Ампера можно оценить величину к2А~^0 / епеуТе.
Следовательно vTa A
e2Ue VTe VTa
k2 квTe
р. Тогда условие применимости
электростатического приближения (уТаА ^ ц>) выполняется при
2^0 пе к в Те Л2 "Те ^
Ре = -В- ^ 2(к^РТе) -. (8)
В БИС на сепаратрисе ве ~ 0,2. В случае 1Тв для электронов
обычно выполняется адиабатическое приближение, т.е. /1е ~ ——/0е.
кв Те
Поэтому для электронов выполнение условия (8) необязательно. В случае 1ТО-неустойчивости условие (8) для ионов не выполняется, но выполняется как для ионов, так и для электронов при к±рТе > 1, т.е. в области, характерной для БТО-неустойчивости. Таким образом, в диапазоне выполнения условия (1) электростатическое приближение можно считать оправданным для БИС.
Предварительные расчеты показали, что БТв-решения, полученные в приближении адиабатического отклика ионов п~/щ =
а=г.е
= -qy>/(kßT), практически совпадают с решениями дисперсионного уравнения (6) при к±ртг > 20. Отметим, что ITG-решения, для которых электроны считаются адиабатическими (n^/ne = e^/(к вTe)), даже при к±рТг ^ 1 существенно отличаются от решений уравнения (6). Указанные особенности связаны со специфическими значениями параметров, характерными для плазмы FRC (це ~ 1, п ^ 1, Te/Ti < 0,5). Таким образом, полученные решения, видимо, нельзя отождествлять ни с ITG-, ни с ETG-неустойчивостями. Параметры полученной неустойчивости ближе к электронной моде, но в области к±рте ~ 1 ионный вклад существенно влияет на результат.
Применительно к условиям эксперимента на TRX-2 [10] расчеты показали, что максимальные инкременты соответствуют поперечным волновым числам к± ~ 100 см-1 и частотам около 10 МГц (в TRX-2 наблюдались колебания в области 30... 240 см-1 и 10... 40 МГц).
Наиболее важный результат — это то, что необходимое условие развития неустойчивости выполняется в области параметров ETG-неустойчивости, которая до настоящего времени не обсуждалась применительно к плазме FRC. Удовлетворительное согласие результатов расчетов и экспериментов позволяет высказать обоснованное предположение, что неустойчивости ETG-типа могут быть причиной турбулентного транспорта в FRC. Поэтому представляется важным их дальнейший подробный анализ с учетом электромагнитной составляющей, кривизны силовых линий и других факторов.
Авторы выражают признательность профессору А.В. Тимофееву за обсуждение и полезные замечания.
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 08-08-00459-а и МК-2082.2008.8 Совета по грантам Президента РФ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Куртмуллаев Р. Х., Малютин А. И., Семенов В. Н. Компактный тор // Итоги науки и техники. Физика плазмы. Т. 7. - М.: ВИНИТИ, 1985. -С. 80-135.
2. T u s z e w s k i M. // Nucl. Fusion. - 1988. - V. 28. - P. 2033-2092.
3. K r a 11 N. A. // Phys. Fluids. - 1987. - V. 30, no. 3. - P. 878-883.
4. Kr a 11 N. A. //Phys. Fluids. - 1989. - V.B1, no. 9. - P. 1811-1817.
5. S o b e h a r t J. R., F a r e n g o R. // Phys. Fluids. - 1990. - V. B 2, no. 12. -P. 3208.
6. K r a 11 N. A. // Phys. Fluids. - 1989. - V. B 1, No 11. - P. 2213-2216.
7. H u b a J. D., D r a k e J. F., G 1 a d d N. T. // Phys. Fluids. - 1980. - V. 23, no. 3. -P. 552-561.
8. H o f f m a n A. L., S 1 o u g h J. T. // Nucl. Fusion. - 1993. - V. 33. - P. 27-38.
9. D a v i d s o n R. C., K r a 11 N. A. // Nucl. Fusion - 1977. - V. 17. - P. 1313. 10. C a r 1 s o n A. W. // Phys. Fluids. - 1987. - V. 30, - no. 5. - P. 1497-1509.
11. O k a d a S., U e k i S., H i m u r a H., G o t o S. // Trans. Fusion Technol. - 1995. - V. 27. - P. 341.
12. R e j D. J., B a r n e s G. A., B a r o n M. H., et al. // Nucl. Fusion. - 1990. -V. 30. - P. 1087-1094.
13. H o f f m a n A. L., S l o u g h J. T., S t e i n h a u e r L. C. etal. //Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research (Proc. 11th Int. Conf.). - V. 2, IAEA, Vienna, 1987. - P. 541-549.
14. SteinhauerL. FRC data digest. in US-Japan workshop on FRC, Niigata, 1996.
15. K i t a n o K., M a t s u m o t o H., Y a m a n a k a K., et al., in Proc. of 1998 Int. Congress on Plasma Physics & 25th EPS Conf. on Contr. Fusion and Plasma Physics, Prague, 1998.
16. КроллН.,ТрайвелписА. Основы физики плазмы. - М.: Мир, 1975.
17. К а д о м ц е в Б. Б., Т и м о ф е е в А. В. // ДАН СССР. - 1962. - Т. 146, -№3.-С. 581-584.
Статья поступила в редакцию 6.05.2008
Владимир Иванович Хвесюк родился в 1940 г., окончил в 1963 г. МАИ им. С.Орджоникидзе и в 1968г. МГУ им. М.В.Ломоносова. Д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой "Теплофизика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 200 научных работ, в том числе трех монографий, в области физики и технических приложений низкотемпературной и высокотемпературной плазмы.
V.I. Khvesiuk (b. 1940) graduated from Moscow Aviation Institute n.a. S. Ordzhonikidze in 1963 and Lomonosov Moscow State University in 1968. D. Sc. (Eng.), professor, head of "Thermal Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 200 publications, among them 3 monographs, in the field of plasma physics and technical applications of low and high temperature plasma.
Алексей Юрьевич Чирков родился в 1976 г, окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2000 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Теплофизика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор около 50 научных работ в области физики плазмы.
A.Yu. Chirkov (b. 1976) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2000. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Thermal Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of about 50 publications in the field of plasma physics.
ft
