CC BY
12
vtti^ Q
V/ ¿—«,Л. к. vuv/.u
НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУМЕРНЫХ ПЫЛЕВЫХ КЛАСТЕРОВ В ВИДЕ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА С ЧАСТИЦЕЙ В ЦЕНТРЕ
Н. Г. Гусейн-заде, В. Н. Цытович, Ш. Г. Амиранашвили
В работе исследуются условия формирования и устойчивость двумерных плоских "квазикристаллов" в виде пра-
ли iribVUi'r »ипзлиол лкиитслд г 1 i п r т 11 ч i Ji а II í>UTri TI t; vnm/vnuit
V1 IBl/VM/ I Iii I HIV «. Ii tj I.! ку II ll Ii 1 <. II: ruí If I. Iiuity KU Uf kf Ul 11 I^VIVIIV^' I III/ I ■ uu yj III i__
Иъппмипнр.тпг.я в к.пм.п.лрк.гипп пла.ямр un яатггнг.риимт. м.а-
zr - Г.....Г О - ............................- — £ - ...........
крочастпиц одинакового "размер а. Взаимодействие между макрочастицами рассматривается о общем виде и (г), как функция, зависящая только от расстояния между частицами. Таким образом, полученные результаты позволяют оценить потенциал взаимодействия между макрочастицами в реальных экспериментах.
До настоящего времени главные усилия и экспериментаторов, и теоретиков были направлены на, изучение двумерных структур, образованных одинаково заряженными частицами. Впервые образование (2D) двумерных плоских кулоновских "квазикристаллов" наблюдалось для системы ультрахолодных атомных ионов в различных ловушках, таких как ловушки Пеннинга, Пауля, накопительных кольцах и др. (см., например, об-зор [1]).
Двумерные (2D) квазикристаллы наблюдались также в коллоидных системах [2, 3] и в пылевой плазме (см. обзоры [4] и [5]). Одно из первых теоретических описаний таких систем, основанное на дебаевском экранированном потенциале взаимодействия между частицами, было приведено в работе [6]. Хотя в столь сложных системах присутствует механизм нелинейной экранировки больших зарядов, вопрос, можно ли считать этот механизм дебаевским, оставался открытым [4].
Общая теория для произвольного потенциала взаимодействия между макрочастицами для двумерных структур была развита в работе [7], где были получены условия
существования и спектры малых колебаний для двумерных квазикристаллов (кластеров); которые представляют собой правильный многоугольник.
В большинстве экспериментов квазикристаллические структуры наблюдаются во внешнем параболическом удерживающем потенциале. Для плоских квазикристаллов эксперименты показали, что формирование оболочек с ростом N (числа макрочастиц) происходит следующим образом: сначала образуется одна оболочка (кольцо). Затем, с увеличением N, кольцо становится энергетически невыгодной структурой, а реализу ется кольцо с частицей в центре, затем образуется вторая кольцевая оболочка, затем третья и т.д. Эта структура аналогична модели "классического" атома.
В данной работе проводится теоретическое изучение свойств одной из простейших двумерных структур-кластеров, которая представляет собой правильный многоугольник с частицей в центре. Для этой системы одинаковых макрочастиц динамика плазмы не учитывается, а ее роль сводится к созданию определенного закона, взаимодействии макрочастиц. Эта работа является в какой-то мере продолжением развитой в [7J теории.
Постановка задачи. Рассмотрим систему из N одноименно заряженных одноразмерных макрочастиц, удерживаемых от расплывания внешним потенциальным полем U(Гх). Вблизи дна любой аксиально-симметричной потенциальной ямы удерживающий потенциал можно всегда аппроксимировать параболическим потенциалом.
Таким образом, Ufoc = — + у2), где т - масса макрочастицы, а ш0 ха-
рактерная частота, с которой колеблется одна макрочастица в потенциальной яме (т.е. связанная только с параметрами ловушки). Такая ситуация справедлива для большинства реальных экспериментов.
Наш метод анализа малых колебаний системы допускает также рассмотрение системы с жесткими стенками, т.е. Ufoc = — + у2)м+1, где М 1.
Потенциал взаимодействия частиц друг с другом в большинстве известных случаев является функцией вида: f/,ni = U(r), которая не предполагается заранее известной. Для удобства дальнейшей записи запишем ее как функцию U{nt ~ /(г2), где г = |г| = — п и к - номера макрочастиц.
Итак, мы имеем систему заряженных частиц, удерживаемых от поперечного расплывания фокусирующей силой ловушки
F/oc = -mu;02(M + l)|rx|2Mrx и взаимодействующих друг с другом с силой
F,w = -Vt/.w = — V/(r2).
Запишем уравнения, описывающие все такие системы:
^ + + 1) |гхпГМ ГЛ.П + - £ ПК - r*|2)(rn - rfc) = 0; (1)
0t 171 кфп
где г„ = (xn,yn,zn),r±n = (хп, уп,0), am- масса макрочастицы.
Из экспериментов и результатов численного моделирования известно, что малень кое число макрочастиц образует правильные кластеры - треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник с частицей в центре и так далее. Цель работы рассмотреть колебания простейшего кластера в виде правильного многоугольника с частиттей R ттентпе гг.ття гтпгш чиол ц но го ттотенпия.ття. изаимппейгтвия in ппрпппппжрнип
• 1 ■ ' 1 --------- - - -" - ч г ' - ■ >
ТТТП ТаТ/ЛТ* Т/ТТОГФОП ^iiTTTO/^TDirOT I \ 1 I I VATUli МПтТЖ'ГТ TlL'nrO т/ - т 'W • I' Л т 1 ' 1 ТМ
lili i iXivwll JV J X liv- 1 V,^ ^.J H^G V* 1 uj Vy l J. xtxuu .W 1 ЛШ tx ij -LJU X U JVlUümUU^lU X UnvJi V - 1 V l i.jili II
получить спектр его колебаний. 13 частности, такой спектр должен содержать информацию о потенциале взаимодействия. Измеряя спектр, можно уточнить, с каким именно потенциалом взаимодействуют пылинки в разряде.
Уравнения движения. Итак, в кластере N частиц равноудалены друг от друга и лежат на окружности радиуса Ä, а одна частица расположена в центре (х0 = 0; уо = 0; zo = 0)
гп = (i?cos(^„), луш(у?п), nzoj = (Rcus(nipo), -nsm(nipo), nzo) 1 < n < N; где <p0 = 2 tt/N.
Мы рассматриваем не вращающиеся условия равновесия (фп = 0), т.к. всегда можно перейти в систему координат, где система неподвижна.
Для исследования колебаний и устойчивости таких систем удобно перейти к новым переменным: г„ = (/эп; zn) = (pn; z0n), здесь рп - комплексная величина, равная рп — + Wn — R ехр(г п<р0), а 1 < п < N. Теперь уравнения движения запишутся как:
pn + (М + \)ul \рп\™ + 7(|r„ - rfc|2)(p„ -рк) = 0
{ N' fc=0 (2)
-¿n + l £ f'(\rn — rk\2){zn — Zk) = 0.
Здесь штрих у суммы означает, что суммирование проходит по всем к ф п.
Отсюда мы сразу получаем из уравнения для центральной частицы, что для равновесия нужно, чтобы N > 2.
И соответственно условие существования кластера (баланс сил):
(М + l)\R\™u> = 7(|гп - г,|2)(рп - Рк) =
к=0 (3)
= /(|АГ|2)(1-СО8^0),
l=n—k=1
где |Дг|2 = 2Л2(1 - cos 1<ро) = 4R2 sin2(/^0/2).
Это условие равновесия связывает геометрические характеристики кластера (радиус R), частоту шо и потенциал взаимодействия.
У этой системы есть интегралы движения, как еще отмечалось в работе [8]. Если мы просуммируем (2) по всем п, то с точностью до коэффициента получим уравнение движения центра масс.
Спектры колебаний. Рассмотрим малые возмущения:
гп + 8гп = (рп + 8рп, 2П + 8гп) = ((Я + 8яп) ехр(г</>0 п); + 8гп), (4)
где соответственно: 8рп = 8хп + 18уп.
После подстановки (4) в (2) и линеаризации по малым отклонениям от положения равновесия, получим систему 2Ы "зацепляющихся" уравнений
8рп + иЦМ + 1 )Кш8Рп +и1МКш-2р1~8Уп + £ Т! /'(| Аг\*)(8рп - 8рк)+ + ^Е7"(|Аг|2)(^ - ркУ(8рп - 8рк) + £Е7"(1Аг|>п - рк\\8рп - 8рк)+ + 1Е' Г{&){8рп - 8ро) + ^/"(В?)рп(8рп - 8р0) + ±Г(&)\рп\\8рп - 8ро) = 0; (5)
. 8гп + Е' Г(\Аг\2)(8гп - 8гк) = 0,
где ~ означает суммирование по всем к, где (к ф п).
Всегда можно выбрать такую систему отсчета, в которой центр масс всегда по-N N
коится, т.е. У! 8рь = 0, тогда мы можем вьюазить 8р<л = — Е 8ри. На исследовании
к=О ' * к=\
устойчивости это не должно сказаться.
Теперь будем искать возмущения в виде комбинации двух сопряженных гармоник [7]:
8<;п = и(£) ехр(г</?0 пз) + ехр(—гс/?0 пв)
и 8zn = ReA(í) exp(¿c¿>o ns).
Тогда система (5) расцепляется, и мы получаем для малых колебаний систему уравнений, в которых значения сумм уже не зависят от п, и можно проводить суммирование по I — п — к . Учтем, что суммирование проводится от 1 до N — 1 и при этом сумма от нечетных функций обращается в нуль.
Наконец, полагая и, v, А ~ exp(iu¡t), получаем дисперсионное уравнение, при этом надо учесть, что здесь метрика г отличается от метрики i в коэффициентах ехр(г</?о I) уравнения.
Теперь, если учесть условие равновесия (3), то дисперсионное уравнение в нашем случае оказывается биквадратным. Учитывая, что у нас граничные условия запишутся в виде условия цикличности Борна-Кармана: 6гп = 6гп+м, спектр малых колебаний, т.е. все возможные колебания, можно получить, перебирая s в первой зоне Ериллюзна: О < .ч < Л/72, где -s — целое число,
Рассмотрев малые колебания пашей задачи и решив сс, получим следующее уравнение для частоты малых колебаний
2а;2 = 2Лх(ЛГ) - At+l(N) - AS^(N) + Ba+1(N) + BS^(N)+
+£/' (ñ2) [A(s + 1) + ДО - 1)] + (R2) [2 + A(s + 1) + A(s - 1)] ±
± {(A.-!(N) - AS+1(N) + B,+1(N) - BS.1(N)+
+if (R2) [A(s + 1) - Д(, - 1)] + (R2) [*(' + 1) " - i)])' +
+4 (.Bi(iV) - BS(N) + 2-ff" (R2) [1 + A(s - 1)]) x
x (Bi(N) - B.(N) + 2-£f" (R2) [1 + A(s + 1)])}1/2,
где введены обозначения:
As(N) = -±N¿ sin2 (f)/'(C);
Bs(N) = ¿ g1 sin2 (f) {СПС)} = ± g sin2 (f) {4i?2 sin2 (#) ПС)} ;
A{s) = £ exp (-i2*4) = N (¿s,o + 6S,N)
и С = 4Л2 sin2
При данном числе частиц в кластере и данном потенциале взаимодействия, перебирая все возможные значения s, мы для каждого находим соответствующие частоты колебаний.
В данной работе мы проанализировали устойчивость одной из простейших плоских структур, образованной одноименно заряженными одноразмерными макрочастицами. Взаимодействие между макрочастицами рассматривается в общем виде и (г), как функция, зависящая только от расстояния между частицами. При наличии каких-либо эффектов притяжения (например, эффекта затенения Лессажа) возможно возникновение случаев самоудержания. Равновесная конфигурация может реализовываться и при отталкивающем центре, если существует механизм притяжения между макрочастицами. Такал ситуация также полностью описывается нашими формулами. До сих пор точно не известно с каким именно потенциалом взаимодействуют пылинки в разряде, и измерение частот колебаний такой конфигурации может дать ответ на вопрос о типе взаимодействия между частицами.
Работа была выполнена с финансовой поддержкой РФФИ N 05-02-16796-а и NWO N 047.016.020.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Bolinger J. J., W i n e 1 a n d D. J., and D u b i n D. H. E. Phys. Plasmas, 1, 1403 (1994).
[2] С 1 а г k N. A., H u г d A. J., and А с k e r s о n В. J. Nature, 281, 57 (1979); Murray С. A., S p r e n g e г W. О., and Weak R. A. Phys. Rev., B42, 688 (1990); Chen L. B. et al. Phys. Rev. Lett., 69, 688 (1992).
[3] N e s e r S., P a 1 b e r g T., Blechinger С. and Leiderer P. Prog. Colloid Polim. Sei, 104, 194 (1997).
[4] T s y t о v i t с h V. N., M о r f i 1 1 G. and Thomas H. Part I, Физика плазмы, 28, N 8, 623 (2002).
[5] Ф о p t о в В. E., Храпак А. Г., Храпак С. А. и др. УФН, 174, N 5, 495 (2004).
[6] S с h w e i g e r t V. and Peters F. Phys. Rev., B51, 7700 (1995).
[7] Amiranashvili Sh., Gusein-zade N., and Ignatov A. Phys. Rev. A, 59, N 4, 3098 (1999); Amiranashvili Sh. G., Gusein-zade N. G., T s y t о v i с h V. N. Phys. Rev. E., 64, 016407 (2001).
[8] M о r i k a w a G. K., S w e n s о n E. V. Phys. Fluids, 14, N 6, 1058 (1971).
Институт общей физики
им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 13 октября 2005 г.
