CC BY
23
УЛК 533.95
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТЕТРАЭДРИЧЕСКОГО ПЫЛЕВОГО КЛАСТЕРА
Н. Г. Гусейн-заде, А. М. Игнатов
Теоретически исследуются колебания и устойчивость структуры тетраэдрической формы, состоящей из одноименных макрочастиц, удерживаемой в сферически-симметричной потенциальной яме.
В последнее время наблюдается заметный рост интереса к исследованию сильно скоррелированных структур, состоящих из одноименно заряженных частиц. При большом количестве частиц такие структуры часто еще называют кулоновским или плазменным кристаллом. Интерес к сильно скоррелированным структурам объясняется тем, что их образование наблюдается во многих экспериментах. Например, простей шая трехмерная структура наблюдалась для системы ультрахолодных атомных ионов в различных ловушках [1-4]. Кристаллические состояния наблюдаются, кроме того, в коллоидных системах [5, 6] ив пылевой плазме [7, 8].
Экспериментально наблюдаются также кластеры, состоящие из нескольких частиц. В пылевой плазме обычно исследуются двумерные кластеры, расположенные в при-электродном слое. Теория структуры [9] и колебаний [10] двумерных кластеров хорошо развита. Наконец, недавно в наземных условиях удалось создать трехмерный пылевой кластер [11]. Следует отметить, что в отличие от ионов в ловушках потенциал взаимодействия между пылинками в плазме не известен. Определенную информацию о взаимодействии пылинок можно, в частности, получить из экспериментально измеряемых спектров колебаний кластеров.
Целью настоящей работы является аналитическое исследование колебаний простейшей трехмерной структуры - правильного тетраэдра. Ниже получены спектры малых колебаний в пределе низкой температуры, когда тепловым движением можно полностью пренебречь. При этом потенциал взаимодействия между частицами не конкретизируется, что позволяет сопоставлять различные модели межчастичного взаимодействия с экспериментальными данными.
Постановка задачи. Рассмотрим систему из одноименно заряженных одноразмерных пылевых частиц, удерживаемых от расплывания внешним сферически симметричным потенциальным полем [/(г). Вблизи центра удерживающий потенциал можно аппроксимировать как и ¡ос — 2шо(х2 + у2 + г2), где и0 - постоянная удержания, которая может быть определена из частоты колебаний отдельной частицы.
Парный потенциал взаимодействия в большинстве известных моделей является функцией расстояния между частицами. Для удобства дальнейшей записи будем считать, что потенциальная энергия взаимодействия является некоторой функцией квадрата расстояния, то есть £/,-п1(г,-,г^) = /(|гг — г^|2), где г,, г, - координаты пылинок.
Рис. 1. Схема расположения пылинок.
Рис. 2. Полносимметричные колебания.
Простейшая трехмерная структура должна состоять как минимум из четырех частиц. Из соображений симметрии очевидно, что в равновесии четыре пылинки располагаются по вершинам правильного тетраэдра. Направим координатные оси Х,У так, чтобы они соединяли середины противоположных ребер тетраэдра (см. рис. 1). Прону-мепуем ма.кпоча.ститты. лежа.тттие н прпттшняг тетраэдра, цифрами 1, 2, 3 и 4 Гогдя
1 I/ X • / * X X 'X / XX II
равновесные координаты макрочастиц равны:
П = (-а/2, -а/2, -а/2),
г2 = (-а/2, а/2, а/2), (1)
гз = (а/2,-а/2, а/2),
г 4 = (а/2, а/2, —а/2). Полные уравнения движения ансамбля частиц записываются как
д2г„
+ и,02гп + 2 £ /'(|гп - г,|2)(гп - г,) = 0, (2)
кфп
где гп = (хп, уп, гп). а массы всех частиц полагаются равными единице. Условие существования стационарного состояния имеет вид:
£ кфп
что после подстановки координат (1) сводится к
^ = "/'(2а2). (3)
Соотношение (3) позволяет для заданного потенциала взаимодействия определить равновесный размер кластера а.
Малые колебания. Рассмотрим малые возмущения:
г„ + 8гп = (хп + 8хп; уп + 6уп] гп + 8гп). (4)
После подстановки (4) в (2) и линеаризации по малым отклонениям от положения равновесия получим систему уравнений:
1 2
-8хп + ^8хп + Х:'/'(2а2)(^п - 8хк) + ^'2/"(2а2)(а;п - х$Х х((яп - хк)(8хп - 8хк) + (уп - ук)(8уп - ¿Ук) + (г„ - гк)(8гп - 8гк)) = 0; \*Уп + ^8уп + £ Г(2а*)(8Уп - 8ук) + Е'2/"(2- 1/0X
х((хп - хк)(^хп - 8хк) + (уп - ук)(5уп - 6ук) + (гп - гк)(8гп - 8гк)) = 0;
1-8гп + ^8гп + £Г(2а*)(8гп - 8гк) + 2/" (2а2)(гп - гк)х
х((жп - хА)(^а:Т1 - 8хк) + (уп ~ Ук)(8уп - 8ук) + (г„ - гк)(8гп - 8гк)) = 0, (5)
где п, к = 1...4 и Х)' означает суммирование по всем к ф п.
Полагая гармоническую зависимость от времени ¿г ~ ехр(—г!/*), из системы (5) получаем дисперсионное уравнение для безразмерной частоты и. Это уравнение имеет 12-ю степень относительно г/2, что сильно затрудняет его исследование. Задача существенно упрощается при учете симметрии невозмущенной конфигурации частиц. Использование теории групп [13] позволяет от переменных 8гп перейти к их линейным комбинациям, называемым симметрическими координатами, в результате чего система (5) приводится к блочно-диагональной форме. Существует алгебраическая процедура, позволяющая определить тип колебаний, степень их вырождения и симметрические координаты, исходя из симметрии невозмущенного кластера. В рассматриваемом слу-« чае тетраэдрического кластера вычисления вполне аналогичны расчету колебательного спектра молекулы метана [14], поэтому ниже приводятся лишь окончательные выражения для частот и симметрических координат.
Симметрические координаты. Симметрия рассматриваемого кластера описывается точечной группой тетраэдра состоящей из 24 элементов. Помимо тождественного преобразования группа Тл включает в себя четыре оси третьего порядка, три оси второго порядка, отражения относительно плоскостей, проходящих через центр и одно из шести ребер тетраэдра, и по два зеркальных поворота вокруг каждой из осей второго порядка [13]. Существуют два трехмерных неприводимых представления, обозначаемых и два одномерных представления и Л2) и одно двумерное представление (Е). Соответственно спектр колебаний тетраэдрического кластера состоит из двух трехкратно вырожденных колебаний, одного двукратно вырожденного и одного невырожденного (из возможных двух невырожденных представлений в данном случае реализуется только одно).
Помимо точечной группы Т^, полная группа симметрии тетраэдрического кластера включает в себя трансляции вдоль трех координатных осей. Соответствующие симметрические координаты задаются трехмерным вектором
f = Х>,, (6)
1=1
Вычисляя вторую производную этого вектора при помощи (5,3), получаем f = — u^f.
Представление F\ соответствует вращению системы как целого вокруг одной из трех координатных осей. В явном виде симметрические координаты удобно записать как трехмерный вектор fi с компонентами
fix = - 8у2 - 8у3 + ¿i/4 - ¿zi + 8z2 - 8z3 + 8z4\
fiy = 6xi — 8x2 — 8x3 + 8x4 — 8zi — 8z2 + 8z3 -f 8z4, (7)
Ьг = 8x1 ~ 8х2 + 8x3 - 8х4 - 8у\ - 8у2 + 8у3 + 8у4.
Из физических соображений очевидно, что соответствующие частоты колебаний должны обращаться в нуль. Действительно, вычисляя ^ при помощи уравнений (5) с учетом (3), легко убедиться, что /1 = 0.
Одномерное представление А\ соответствует полносимметричным колебаниям (рис. 2). Симметрическая координата, соответствующая А\, имеет вид
ах = 8x1 + 8х2 - 8х3 - 8х4 + ¿1/1 - 8у2 + 8у3 - 8у4 + 8гх - 8г2 - 8г3 + 8г4. (8)
Подставив это в уравнение (5) с учетом (3), получаем
а1 + 32а2/'{2а2)а1 =0. (9)
Для симметрических координат, задающих базис двумерного неприводимого представления Е,
61 = 8у1 — 8у2 + 8уз — 8у4 — 8гг + 8г2 + 8г3 - ¿>24;
е2 = 2(8x1 + 8х2 ~ 8х3 - 8х4) - 8ух + 8у2 - 8у3 + 8у4 - 8гх + 8г2 + 82:3 - 8г4 (10) получаем
ёа + 8а2 /" (2а2)еа = О, а = 1,2. Поляпизация колебаний этого типа показана на рис. 3.
(Н)
а X* б
Рис. 3. Двукратно вырожденные колебания.
И наконец координаты, соответствующие трехмерному представлению /^(З), выглядят так:
Яза = ¿2/1 - ¿2/2 - ¿2/3 + ¿2/4 + ¿-*1 - ¿22 + ¿-23 ~ ¿^45
фзь = — 8х2 — ¿Х3 8х4 + 8гх 4- 8г2 — 8гэ — 8гА\
(12)
<3зс = - 8х2 + ¿Яз - 8х4 + ¿2/1 + ¿2/2 - ¿2/3 - ¿2/4-Подставив это в уравнение (5), получаем уравнение для частоты трехкратно выро-
жденных колебаний
Яг + ч&Яъ + 8/'(2а2)д3 + 16а2/"(2а2)С?3 = 0
или с учетом баланса сил:
д3 + 16а2/"(2а2)<Эз = 0.
(13)
(14) 19
Таким образом, тетраэдрический кластер устойчив относительно любых малых возмущений при /"(2а2) > 0.
В качестве примера рассмотрим несколько типичных случаев взаимодействия, встречающихся в пылевой плазме. Легко видеть, что для кулоновского взаимодействия
^и = —^ и для потенциала Дебая-Хюккеля ^Ц = — ехр ^--^ величина /"(2а2)
положительна.
Специфика пылевой плазмы проявляется в наличии добавочных сил притяжения, действующих на больших расстояниях и обусловленных рекомбинацией плазмы на поверхности пылевых частиц [7, 8]. При этом потенциал взаимодействия в некотором приближении записывается в виде и = д2/г(е~Т^Т° — И), где Л - некоторая константа. Легко проверить, что при условии неотрицательности и^ > 0 в (3) величина /"(2а2) > 0. В противном же случае < 0, который соответствует внешнему потенциалу, растягивающему кластер, существует диапазон изменений параметров, в котором / (2а2) < 0. Таким образом, для большинства ситуаций, характерных для пылевой плазмы, тетраэдрический кластер оказывается устойчивым.
В заключение отметим, что равновесный радиус а и частоты колебаний (9, 11, 14) определяются из экспериментальных данных. Хотя обычно точная величина удерживающей силы (о>о) точно неизвестна, ее в принципе можно изменять, что приводит к вариации размера кластера а. Таким образом, можно восстановить зависимость потенциала межчастичного взаимодействия из измерений спектра колебаний кластера.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 02-02-16439) и NWO (проект 047.016.020).
ЛИТЕРАТУРА
[1
[3 [4 [5
[6
[7
[8
[9 [10
[П
[12
В о 1 i n g е г J. J., W i n е 1 a n d D. J., and D u b i n D. H. E. Phys. Plasmas, 1, 1403 (1994).
P r e s t a g e J. D., Dick G. J., and M a 1 e k i L. J. Appl. Phys., 66, 1013 (1989).
Raizen G., Gilligan J., Bergquist J. С., I t a n о W., and Win el and D.J. Phys. Rev. A, 45, 6493 (1992).
Gilbert S. L., Bollinger J. J., and Wineland D. J. Phys. Rev. Lett., 60, 2022 (1988).
Clark N. A., H u r d A. J., and А с k e r s о n B. J. Nature, 281, 57 (1979); Murray C. A., S p r e n g e r W. O., and Weak R. A. Phys. Rev., B42, 688 (1990); Chen L. B. et al. Phys. Rev. Lett., 69, 688 (1992). Neser S., Palberg Т., Blechinger C., and Leiderer P. Prog. Colloid Polim. Sci, 104, 194 (1997).
Цытович В. H., Морфилл Г., Томас X. Физика плазмы, 28, N 8, 623 (2002).
Нефедов А. П., Петров О. Ф., Фортов В. Е. УФН, 167, N 11, 1215 (1997).
Kong Minghui, Partoens В., Peeters F. New J. Phys., 5, 23.1 (2003). Amiranash vili Sh. G., Gusein-zade N. G., and Tsytovich V. N. Phys. Rev., E64, 016407 (2001).
A r p O., Block D., P i e 1 A., and M e 1 z e r A. Phys. Rev. Lett., 16, 165004 (2004).
Rafac R., Schiffer J. P., Hangs te J. S., Dubin D. H. E., Wales D. J. Proc. Natl. Acad. Sci., 88, 483 (1991).
Любарский Г. Я. Теория групп и ее применения в физике, М., Физ.-мат.лит., 1958.
[14] Волькенштейн М. В., Грибов JI. А., Ельяшевич М. А., Степанов Б. И. Колебания молекул, М., Наука, 1972.
Институт общей физики
им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 20 декабря 2004 г.
