CC BY
22
УДК 533.95
МАЛЫЕ ТРЕХМЕРНЫЕ ПЫЛЕВЫЕ КЛАСТЕРЫ
Н. Г. Гусейн-заде, Д. Н. Клочков
В данной работе исследуются стационарные устойчивые трехмерные конфигурации частиц в параболической сферически-симметричной потенциальной яме, взаимодействие которых друг с другом описывается потенциалом Юкавы. Рассматриваются малые кластеры, в которых число частиц варьируется от N = 4 и до N = 20 включительно, В зависимости от. коэффициента экранировки к проведена классификация равновесных конфигураций и определены наиболее энергетически выгодные из них. Показано, что, начиная с N > 11, в системе может происходить структурный переход.
В настоящее время интерес к исследованию сильно скоррелированных структур, состоящих из одноименно заряженных частиц, сильно возрос. Равновесие такой системы создается конкуренцией между внешней радиальной удерживающей силой и внутренними силами отталкивания. Природа конфигураций такого типа рассматривалась еще Дж.Дж. Томпсоном в классической модели атома [1].
С коррелированные трехмерные кластеры экспериментально наблюдались для системы захваченных ультрахолодных атомных ионов в различных ловушках (см., например, [2]). Кроме того, недавно в наземных условиях удалось создать трехмерный пылевой кластер [3]. Так как в отличие от ионов в ловушках потенциал взаимодействия между пылинками в плазме не известен, то определение его является актуальной задачей.
Целью настоящей работы является поиск простейших трехмерных структур, удерживаемых в сферически симметричной потенциальной яме для частип, взаимодействие которых друг с другом описывается потенциалом Юкавы. С целью определения наиболее энергетически выгодной конфигурации мы провели сравнительный анализ потенциальных энергий различных конфигураций, которые могут реализовываться при
одинаковом числе взаимодействующих частиц. Также мы исследовали структурные переходы, которые возможны для разных потенциалов взаимодействия между частицами (в зависимости от коэффициента экранировки к). Благодаря таким структурным переходам, появляется возможность оценить такой потенциал. Исследования проводились для малых кластеров, в которых число частиц варьируется от N = 4 и до N = 20 включительно.
Постановка задачи. Рассмотрим систему из N одноименно заряженных одноразмерных частиц, удерживаемых от расплывания внешним гармоническим потенциальным полем и (г). Вблизи центра удерживающий потенциал можно аппроксимировать трехмерной параболой. Потенциал взаимодействия частиц друг с другом в большинстве известных случаев представлен функцией вида: и= II(г), среди которых наиболее распространенным является потенциал Юкавы (Дебая-Хюккеля)
2 ✓ ч 2
иы = — ехр (-—) =^ехр(-кг). (1)
Г \ ГоУ г
Здесь <7 - заряд частицы, который считается одинаковым для всех частиц в силу одно-размерности. Полная потенциальная энергия системы из N частиц запишется в этом случае как:
= + ¿К*,2 + У,2) + *?]} • (2)
Здесь с1 - масштаб ловушки, а
Гц = у/(х, - х5У + (у,- - у3)2 + (г,- - г,)2. (3)
Для сферически-симметричной ловушки, которая рассматривается нами в данной работе, а — 1.
Эта задача напоминает модель отталкивания электронных пар Гиллеспи для строения молекул, где рассматривается конфигурация связей центрального атома А в зависимости от числа электронных пар д на его валентных орбиталях1 Решение этой задачи сводится к размещению максимально удаленных друг от друга точек, символы зирующих центры тяжести облаков электронных пар, при числе точек от 2 до 12 . Это приводит к возможным конфигурациям связей, которые подобны перечисленным нами. Соответственно, легко представить геометрию молекул, имеющих такое расположение электронных пар.
Исследование равновесных состояний системы сводится к нахождению минимума функции (2), зависящей от З/У переменных. Существует несколько способов определения этого минимума.
I. Монте-Карло. Алгоритм Монте-Карло применяется обычно только для малого количества частиц. Случайным образом сдвигаются положения частиц на величину При этом частицы можно сдвигать как по отдельности, так и все сразу. Если после изменения положения частиц потенциальная энергия системы уменьшается, то новые координаты частиц принимаются за начальные и операция повторяется. Если случайные сдвиги не привели к уменьшению общей энергии, то эти изменения аннулируются и производится очередная попытка. Случайное изменение положения частиц происходит в какой-то области, например, в сфере определенного радиуса, который равен нескольким долям от расстояния между рассматриваемой частицей и ближайшей к ней частицей.
II. Молекулярная динамика. Вводится коэффициент трения /х и рассматривается асимптотическое поведение при t —* оо диссипативной системы N частиц с одинаковыми массами т, описываемой системой уравнений
г, = V,-,
• + + <4>
]=1 и
Здесь вектор А = (а,а, 1). Данная система уравнений дополняется начальными условиями, которые задаются случайным образом в каждом испытании, чтобы определить все возможные устойчивые конечные состояния.
Результаты моделирования. В данной работе начальные распределения частиц за давались случайным образом и находились стационарные состояния (состояния с ми нимумом потенциальной энергии). Для получения необходимой статистики вычисления проводились 500 раз для каждого случая.
В работах по моделированию кулоновских систем [4] обычно приводят сравнение с энергиями правильных многогранников, таких как куб, додекаэдр, а также конфигурациями в виде правильных многогранников с частицей в центре (тетраэдр +1, куб+1), поскольку в более ранних работах неправильно считалось, что именно эти системы должны обладать минимумом потенциальной энергии. Мы отказались от подобной практики и сравнивали энергии только тех систем, которые реализуются при данных условиях.
е { ё Ь
Рис. 1. Равновесные конфигурации при различных N: а - тетраэдр; Ь - тригональная би-пирамида; с - октаэдр; в, - пентагональная бипирамида; е - квадратная антипризма; / -треугольная призма с тремя дополнительными вершинами; д - квадратная антипризма с двумя дополнительными вершинами; к - икосаэдр.
Таблица 1
Безразмерная потенциальная энергия конфигураций й = \Jdjq1 для 0<А<8 и 4 < N < 8
с
N=10
(1
N=12
N конфигурация к=0 к=0.125 к=0.25 к=0.5 к=1.0 к=2.0 к=4.0 к=8.0
4 тетраэдр 5.669 4.989 4.429 3.576 2.519 1.511 0.777 0.351
5 тригональная бипирамида 8.910 7.784 6.870 5.501 3.839 2.288 1.171 0.532
6 октаэдр 12.639 10.960 9.614 7.627 5.262 3.100 ,'1.575 0.708
7 пентагональная бипирамида 17.024 14.687 12.833 10.130 6.958 4.095 \ \ 2.087 0.943
8 квадратная антипризма 21.864 18.764 16.329 12.816 8.753 5.131 2.612 1.182
Результаты численного моделирования и полученные структуры приведены в таблицах и на рис. 1. Был получен набор устойчивых состояний для следующих значений безразмерного параметра экранмришш k • 0; 0.125; 0.25; 0.5; 1.0; 2.0; 4.0; 8.0. Энергии равновесных конфигураций приводятся в виде безразмерной величины й = Ud/q2.
Было выделено три группы, в которых проявлялись общие закономерности.
В первую группу вошли системы с числом частиц N от 4 до 8 включительно (табл. 1).
Для системы частиц этой группы существует только одно возможное устойчивое состояние, независимо от параметра экранировки к. Другими словами говоря, до N = 8 включительно не возникает иных "конкурирующих" равновесных конфигураций с тем же количеством частиц. При этом все конфигурации в виде выпуклого многоугольника с частицей в центре являются неустойчивыми. Чтобы убедиться в этом, было проведено дополнительное исследование. Зафиксировав одну частицу в центре и получив устойчивую конфигурацию, кинетическая энергия которой не превышала заданную малую величину е, мы "отпускали" центральную частицу. Независимо от величины с система релаксировала к однооболочечной структуре. Только начинал с N — 9, равновесная конфигурация с частицей в центре становилась устойчивой.
Как можно заметить, и конфигурация в виде куба, являющегося одной из самых симметричных фигур, при моделировании тоже не наблюдается. Потенциальная энергия конфигурации в виде квадратной антипризмы почти всегда оказывается ниже энергии куба. Нами было проведено дополнительно следующее исследование. Находится минимум потенциальной энергии конфигурации макрочастиц в виде куба. Затем снимается ограничение на форму конфигурации. Как показывает моделирование, независимо от параметра экранировки, у куба поворачивается одно основание относительно другого на 7г/4, и они сдвигаются друг к другу. Получается правильная квадратная антипризма, причем радиус и энергия этой равновесной конфигурации меньше, чем у куба.
В следующую группу входят системы с числом частиц N от 9 и до 13 включительно. В табл. 2 приведены результаты моделирования для этой группы.
Начиная с N = 9, для каждого числа частиц есть несколько равновесных конфигураций, одна из них - выпуклый многогранник, а вторая - выпуклый многогранник с частицей в центре. Если в начале конфигурация с частицей в центре энергетически невыгодна, то с ростом числа N она начинает конкурировать с однооболочечной
структурой (выпуклым многогранником). И как можно видеть из приведенных данных в табл. 2, при Д^ = 11 [к = 2) и при N = 12 (к = 4) наступает структурный переход, и становится выгодной конфигурация с частицей в центре.
А уже с N = 13 однооболочечная структура в виде выпуклого многогранника становится всегда энергетически невыгодной.
Таблица 2
Безразмерная потенциальная энергия й = С/е?/д2 конфигураций кластеров для
9 < N < 16 при разных к
N конфигурация к=0 к=0.125 к=0.25 к=0.5 к=1.0 к=2.0 к=4.0 к=8.0
9 треугольная призма с тремя дополнительными вершинами квадратная антипризма +1 27.214 27.448 23.247 23.481 20.158 20.388 15.747 15.965 10.704 10.892 6.256 6.394 3.182 3.267 1.439 1.485
10 квадратная антипризма с двумя дополнительными вершинами треугольная призма с тремя дополнительными вершинами +1 33.057 33.232 28.120 28.293 24.307 24.476 18.911 19.066 12.809 12.930 7.476 7.548 3.806 3.837 1.726 1.736
11 многогранник многогранник +1 39.404 39.490 33.394 33.479 28.789 28.868 22.325 22.386 15.085 15.111 8.804 8.788 4.491 4.455 2.041 2.011
12 икосаэдр многогранник + 1 46.088 46.234 38.904 39.048 33.438 33.576 25.823 25.943 17.373 17.452 10.102 10.129 5.140 5.132 2.333 2.316
13 многогранник икосаэдр + 1 53.363 53.311 44.905 44.849 38.512 38.448 29.672 29.584 19.941 19.810 11.615 11.448 1 5.935 5.776 2.707 2.597
14 многогранник многогранник + 1 60.997 60.958 51.163 51.120 43.778 43.726 33.635 33.556 22.554 22.429 13429 12.965 6.728 6.559 2.961
15 многогранник многогранник + 1 69.065 68.957 57.755 57.643 49.314 49.191 37.794 37.641 25.299 25.095 14.726 14.487 7.329 3.311
16 многогранник многогранник +1 77.536 77.381 64.651 64.491 55.091 54.918 42.121 41.915 28.150 27.888 16.091 8.148 3.687
Для большего числа частиц возможно уже существование нескольких типов равновесных структур. При изменении параметра экранировки к глубина потенциальной ямы для некоторых структур уменьшается, и при некотором пороговом значении структуры теряют устойчивость и, следовательно, не наблюдаются при численном моделировании.
Таблица 3
Безразмерная потенциальная энергия й = и<1^2 различных конфигураций кластеров
для N > 17 при разных к
N конфигурация к=0 к=0.125 к=0.25 к=0.5 к=1.0 к=2.0 к=4.0 к=8.0
17 многогранник многогранник + 1 многогранник + 2 86.413 86.200 71.854 71.635 61.113 60.879 46.623 46.352 71.854 71.635 17.750 1 Т С\ Г" -1 1 1 .001 8.995 /Л Л/ч ».ии1 4.076 4.120
18 многогранник многогранник + 1 многогранник + 2 95.683 95.417 79.352 79.079 67.367 67.078 50.958 33.785 33.884 19.481 19.544 9.888 9.918 4.492 4.507
19 многогранник многогранник + 1 многогранник + 2 105.378 105.021 86.811 73.504 55.724 36.890 36.955 21.268 21.290 10.807 10.806 4.916 4.913
20 многогранник + 1 многогранник + 2 многогранник + 3 115.041 115.109 94.863 94.928 80.191 80.247 60.684 60.716 40.132 40.121 23.150 23.098 11.787 11.727 11.770 5.378 5.336
Из табл. 3 видно, что с /V = 17 появляется равновесная конфигурация нового типа -с двумя частицами внутри выпуклого многогранника. И уже при N — 19 (к = 4) и при N — 20 (к = 1) наступает структурный переход, становится выгодной конфигурация с двумя частицами внутри выпуклого многогранника.
Заключение. В работе проведена классификация равновесных конфигураций и определены структуры, обладающие минимальной потенциальной энергией. Для малого количества частиц (от 4 до 8) конфигурации ЗБ кластеров не зависят от параметра экранировки. При изменении к от к = 0 до к = 8.0 структура кластера в точности такая же, что и в случае к = 0, этот результат аналогичен 2Б плоскому случаю [5].
С увеличением числа частиц возникают новые состояния равновесия.
Для некоторого числа частиц в таких системах увеличение параметра к может приводить к изменениям типа устойчивых конфигураций (структурным переходам). Таким
образом, в нашей системе появился управляющий параметр, что делает эту систему полезной для прикладных задач, таких как, например, создание новых типов памяти.
А в случае систем, для которых не известен потенциал взаимодействия между частицами, благодаря структурным переходам, появляется возможность оценить такой потенциал.
ЛИТЕРАТУРА [lj Thompson J. J. Phil. Mag. S.6, 7, 237 (1904).
[2] В о 1 i n g e r J. J., Wineland D. J. and D u b i n D. H. E. Phys. Plasmas, 1, 1403 (1994).
[3] A r p 0., Block D., P i e 1 A., and M e 1 z e г A. Phys. Rev. Lett., 16,
1 СГ.ППЛ /onrMN lyuuut ^¿UUtj.
[4] R a f а с R., S с h i f f e r J. P., H a n g s t e J. S., Dubin D. H. E., Wales D. J. Proc. Natl. Acad. Sci., 88, 483 (1991).
[5] Kong M., Partoens В., and Peeterss F. M. New Jornal of Physics, 5, N 23, 1 (2003).
Институт общей физики
им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 30 марта 2005 г.
\
