Об одном подходе к построению сильно регулярных связных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

В.И. Кодачигов, Л.К. Кодачигова, Н.В. Братошенко ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПОСТРОЕНИЮ СИЛЬНО РЕГУЛЯРНЫХ СВЯЗНЫХ ГРАФОВ

В теории графов построение сильно регулярных связных графов — это отдельная важная задача. Её решению посвящено много работ. Некоторые графы даже известны под именами своих авторов. Например, граф Лемана и т.д. В данной работе предлагается способ построения целого класса сильно регулярных связных графов. В качестве основы для их построения используются 3-мерные плоские модели правильных (и не только правильных) выпуклых многогранников. Затем на основе введения координат “движения” строятся п-мерные их аналоги. Показываются и обсуждаются некоторые возможные применения полученных графов.

У Пойа [1] мы встречаем, между прочим, упоминание о возможности такого преобразования выпуклых многогранников, которое меняет их форму, но не приводит к изменению "конфигурации" ("морфологической структуры").

гексаэдр

Рис.1

Иначе говоря, это преобразование оставляет неизменным взаимоотношение между ребрами и вершинами, не меняя числа граней, ребер и вершин. Получающиеся в результате выполнения упомянутого преобразования плоские фигуры Пойа называет "сплющенными" многогранниками. Суть процедуры сплющивания легко проследить на примере. На рис. 1а в качестве такового приведен результат сплющивания куба (гексаэдра); слева изображен сам куб, справа - его сплющенное .

,

на одну плоскость без пересечений (ншожений). Следует заметить, что вообще-то

подобное преобразование было известно не только Пойа. Но он, действительно обращая на него внимание, между прочим, очень удачно использовал его для построения эффектного примера правдоподобного рассуждения.

Сплющиваем не только куб. Например, у Радемахера и Теплица [2] фактиче-, -

.

приведены на рис.1б. Из приводимых ниже примеров сплющивания многогранников следует, что сплющиваемые многогранники отнюдь не редкость; возможно образовывать целые классы многогранников, которые являются таковыми. Ниже приводятся, также, примеры выполнения процедуры обратной сплющиванию (ее можно назвать расплющиванием). Анализируя полученные в результате ее применения расплющенные (восстановленные) многогранники, можно заметить, что процедура расплющивание, как и обратная ей процедура сплющивания, не всеобща, т.е. расплющиваемы не любые плоские фигуры (иначе: не любую плоскую фи).

1.Сплющенные и расплющенные многогранники, строящиеся по типу трехмерного куба. Обратимся к 3-мерному кубу и его модели (сплющенному представлению), приведенной на рис. 1а. Заметим, что она может рассматриваться как бы как совокупность двух связных, вложенных друг в друга циклов (один — , ). принципу. Поступим следующим образом. Сначала увеличим число вершин в циклах, а затем уменьшим, и попытаемся расплющить (восстановить) полученные фигуры, т.е. построить соответствующие им многогранники (если это, разумеется, ).

На рис. 2а показана фигура, получающаяся при увеличении числа вершин в обоих циклах (внутреннем и внешнем) с 4 до 5. Справа от нее приведен восстанов-( ) .

д

Рис.2

А теперь видоизменим фигуру на рис. 2а. Развернем оба ее цикла относительно друг друга так, как это показано на рис. 26 и добавим еще 5 внешних ребер (на рис. 26 они отмечены звездочками). Для расплющивания этой фигуры (и других фигур) используем следующий подход. Примем за основание внешний 5-( ). его сторон вверх смежные ей заштрихованные треугольники. Точно такое же по-5- , -

. , , рис. 26 справа. Заметим, что этому же многограннику соответствует еще одно

( , , ). Оно показано на рис 2в. Эта фигура примечательна тем, что у нее есть свое название. Оно связано с именем Пифагора: это пентаграмма Пифагора.

Многогранники типа рис. 26 изучал еще Архимед. Он называл их антипризмами. В частности, им было установлено, что антипризму можно построить для любого числа 2М вершин и что чем больше N (число вершин в каждом цикле), тем ближе будут эти многогранники к цилиндру ("барабану"). Добавим, что все такие

.

Обратимся снова к сплющенному кубу. Образуем из него фигуру типа рис. 26 и попытаемся ее расплющить (см. рис.7б). Оказывается, что это удается сделать только после введения дополнительных ребер (на рис. 2т они показаны пунктиром, справа приведен результат расплющивания).

Обратимся снова к сплющенному кубу. Уменьшим число вершин в обоих его циклах до трех. В результате имеем плоскую фигура представленною на рас. За .

Рис.3

Ей соответствует выпуклый многогранник, изображенный здесь же справа. , , , . За слева; как на рис. За справа.

, , получим фигуру, показанную на рис. Зб. Обращаясь к классификатору на рис. 1, , . З

, , -вует З-угольная ^^^ня" (см. рис. Зв). Повернем теперь вершины внутреннего цикла так же, как и для 5-угольного построения выше. В результате имеем фигуру, представленную на рис. Зг слева. Но ей не соответствует никакого выпуклого многогранника. Явно не хватает трех внешних ребер, соединяющих вершины 4, 5 и 6 (см. рис. Зг справа). Введем необходимое пополнение. Получим фигуру, изображенную на рис. Зд. Сравнивая ее с классификатором на рис. 1, обнаруживаем, что ей соответствует октаэдр. Интересно, что ей (по аналогии с рис. Зб) соответствует

З- .

Продолжим построения. Введем еще один внутренний цикл (см. рис.4а).

, , к получению выпуклого многогранника (см. рис. 4а справа), хотя вроде бы с учетом предыдущего примера здесь и введен внешний цикл; требуется какое-то пополнение. Возможным вариантом такого пополнения является фигура на рис. 46. Ее расплющивание дает выпуклый многогранник (см. рис. 46 справа). Другой вариант пополнения представлен на рис. 4в.

/Фч„

А'

Рис.4

Обратим внимание на то, что из нее по аналогии (как бы, как предыдущий шаг) можно построить фигуру, представленную на рис. 4т слева. Ей соответствует выпуклый многогранник, изображенный на рис. 46. Выполняя логически следующий из нее очередной шаг, получаем фигуру, представленную да рис. 4л. Обращаясь к классификатору на рис.1, замечаем, что ей соответствует икосаэдр.

А теперь упорядочим. Фактически мы описали 5 шагов некой процедуры, строящей плоские фигуры из треугольников. 7 шагов той процедуры (вернее, ее результат) показаны на рис. 5

Рис.5

Резюмируя, заметим, что по сути, мы оперировали не только с кубом (гексаэдром), но и с октаэдром (см. рис. 1) и отчасти с икосаэдром. Оказывается, что аналогичные процедуры можно в принципе применить и к додекаэдру и тетраэдру. Примеры таких построений приведены на рис.6.

Рис.6

Что же следует из проведенных экспериментов? А вот что:

1. , .

Это видно хотя бы из того, что бесконечно число антипризм с 2М вершинами, N=4, 5, ...; любая из них сплющиваема.

2. .

, . Сплющиваемые многогранники соответствуют и построениям, основанным на увеличении числа вложенных (внутренних) циклов. Так, при №З сплющиваемы (после некоторой коррекции) многогранники, соответствующие, по крайней мере, первым трем шагам, для N=4 — первым двум шагам для N=5,6... — первому шагу.

3. ( :

тому же выпуклому многограннику может соответствовать несколько сплющенных ). : , рис. За кроме треугольной призмы соответствует и усеченная пирамида, а фигура на рис. 17 вверху слева — октаэдр и З-угольная антипризма.

4. .

Заключение. Резю мируя, отметим еще раз, что число сплющиваемых многогранников, в принципе, бесконечно; что не любая плоская фигура рас' сплющиваема; существуют классы сплющиваемых трехмерных многогранников. Мы описали выше несколько таких классов. Наверняка они не покрывают все возможные

. З- -

ваемы. Например, не сплющиваем многогранник типа "гайка" или типа рис. 18з. А вот среди многомерных многогранников, по-видимому, сплющиваемых гораздо меньше, чем среди З-мерных. В качестве иллюстрации этого утверждения обратимся к рис. 86 и 8в, на которых приведен результат применения процедуры

4- 5- .

Видно, что они не являются плоскими фигурами. Т.е. назвать их сплющенными многогранниками нельзя. Это, пожалуй, уже не сплющенные, а "р^давлен-ные" многогранники. Очевидно, "р^давленные" многогранники можно разложить на "сплющенные", планарные многогранники (подграфы). Число планарности (т.е. минимальное число плоскостей, в которых можно без пересечений разнести все ребра) "радавленного" многогранника, как видно из рис. 8, прямо пропорционально размерности многогранника.

Описанные построения являются примерами так называемых сильно регулярных (плотных) структур. Область их эффективного использования - многопроцессорные системы, нейроподобные сети и т.д. [5]. При их организации вершины

( ),

.

коммутация. Здесь реализуется обычно два принципа адресации информации (причем сама информация компонуется и передается в виде адресуемых частей - сообщений, слов): адресная передача (в слове явно указывается адрес приемника) и широковещательный принцип (информацию получает тот, кому она нужна; в этом случае приемник должен знать от кого ему получить информацию). Достоинство указанных систем заключается в том, что они представляют собой компромисс между полносвязной коммутацией и коммутацией, реализующей принцип разделения во времени одной, общей для всех (“шины”), по которой передаются данные.

Другим возможным применением описанных выше преобразований (в особенности преобразования расплющивания) являются случаи, когда аналитику (пользователю) требуется восстановить вид объемной (трехмерной) фигуры по , . ,

последнем случае такое преобразование (восстановление) будет неоднозначным, и поэтому желательно было бы предоставить аналитику возможность (правила, средства, инструментарий) трансформировать (варьировать) внешний вид каким -то образом первоначально строящейся объемной фигуры. Вид такой первоначальной фигуры, вообще говоря, может быть обусловлен многими факторами, например, ограничениями минимума числа размерностей (дойн ребер) восстанавливаемого многогранника. Хорошо бы, если бы такой многогранник строился не вручную, а с помощью компьютера. Еще лучше, если бы компьютер строил его само.

для выполнения трансформационных преобразований формируемого им самим многогранника. Выше фактически описано, какого именно типа должен бать этот инструментарий. Однако, в качестве исходной формы (проекции) в приведенных выше описаниях используются не произвольные фигуры, а только планарные. Следующий, логически вытекающий из нее этап, - более детальные и более обширные компьютерные эксперименты и анализ результатов. Но это будет уже другая рабо, ,

.

Еще одним возможным применением описанных выше результатов является образование; в настоящее время в нем главенствует так называемый принцип Ок: '' ''. -, - : '' , -

вое качество!'

В данной работе иллюстрируется одна такая возможность: увеличение числа координат с 2-х до З-х.

ЛИТЕРАТУРА

1. ПойаД. Математическое открытие, М., Наука, 1970г.

2. Кодачигов В.И. Умозрительные эксперименты со сплющенными и расплющенными многогранниками. Сб. Перспектива, Таганрог, 1995

3. Емеличев Е.А. Многогранники, графы, оптимизация, М., Наука, 1981г.

4. Кода чигов В.И. Электронная коммутация информационных каналов, Изд. РГУ, 198Зг.

5. Каляев А.В., Кодачигов В.И. Гиперкубические системы коммутации многопроцессорных

, 14-19, , , 1991 .

6. Правильные многогранники. Энциклопедический математический словарь.

7. ЛюстерникЛ.А. Выпуклые фигуры и многогранники, М., ГИТТЛ, 1956г.

УДК 621.З11.15З.001.24

..

К СОЗДАНИЮ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ САПР НИЗКОВОЛЬТНЫХ МГДА

Создание указанной САПР низковольтных магнитогидродинамических аппаратов является актуальной задачей в связи с тем, что намечается промышленный выпуск указанных устройств. В современных условиях создать оптимальную конструкцию возможно исключительно указанными средствами. В статье будут рассмотрены вопросы построения такой САПР, особенности и перспективы ее совершенствования. Это будет сделано именно в направлении развития ее как интеллектуальной САПР в современном понимании этого термина.