CC BY
18
ОШ! ЁхЁА! ши 1 АЁЁ1 АЁ1 ! ААО! Й ЁвоА1 ио!А!Ё!ХАЕ 1ВЁ 1!А!1 АВУ АОВЁХМЁ! 1 1 АМЮЖА! ЁЁ
Й.Ё. О5о0 М (I АШ)
1 бе ёппёаа! аа1 её 1 а1 бужа111 -ааб 1 б! ёб! аа111 а1 п!п61 у1 еу ё 6Й01 ё+ёш поё аёаёёб о! 1 ё! йот 1йо 1 51 Йода! поаМ 1 йо йёйот а о ё-б! ё!! аёа1 а^Иа 1 аабор ё ббаабаопу 6+ё6йаа6й 1 аёё1 аё1 о^ ^ааёйё! 1 пои ! ажао 1 аба! ай а1 ёу! ё ё аао 1 б! абёу! ё. Аёу 1 1 Й6б! а1 ёу ёбёайо баа11 аап1 йо тй61у1ёё ё ёппёа-
а1аа1ёу 6й61ё+ёа1й6ё б!б! бааНаапеу 11 1о110а1 ё^ ё !аёй! а15!6йа1ёу! уббаё-6ёа11 1 бё! а1 а1 еа ! а61 аа ё!1 а+1 й о уёа! а1 61 а (I Е У) ёёё аабеабё!111 -бар 1Й611 а1 ! а61 аа (АЕ1 ) а п! +а6а1 её п !а61а1! ! б! а! ёжа1 ёу ба0 а1ёу 11 1 аба! а6б6. А ёа+ай6аа ааабй аа! 1 аба! а6ба айаёбаа6йу, 1 а! бё! аб, 1 аба! а6б 1 аабо^ёё, 1 аба! аи а1ёа а 1 аё! 61 -б! ё 5ааа111 ё 61+ёа ёёё аёё1 а а6аё ёбёа! ё баа11 аап1йо п! Й61у1 её [1+4].
А ба! ёао АЫ ёпо! а1 ау аабеабё! 11 ау ^ааа+а а ба$6ёй6а6а ай 11ё1а11!ё аёйёба6ё-^абёё ёйо1а11а1 б61ёбё11аёа, 1 баап6ааёу^ и аа! Й1а1ё 11ё16^ 116а1 бёаёш 6^ у1 аб-
аё^ йёй6а! й, йтаё6йу ё ^ааа+а ! ё1 ё! ё^абёё б 61 ёбёё 1(г, р) = ^ Iу , ааа г=(г1 х2... 2Г)Т
- ааё61 б 6$ё! айо 1 аба! аи а1 её; р - 1 аба! а6б а1 а0 1аё 1 ааб6$ёё; г,] - 11! аба у+ааё ба$-11 п611 ё па6ёё; N - ба$! аб11й6й ^ааа+ё. I а1ао1аё! йа 6йё1аёу уёп6ба! 6! а аа111 ё б61ёбёё 1бё бёёйёб1аа111! ра+шёё 1аба!а6ба 1ааб65ёё 5а1ёпйаа^ 6пу а 1айа! пё6-+аа а аёаа пёп6а! й 1 аёё1 аё1йо 6баа1 а1 её
д1 (г, р)
= 0(/ = 1,2,..., N)
ё! 61 бау а а! ёаа ба9ааб1 661! аёаа, п айааёа1 ёа! а1 66ба11ёо ё а1а0 1ёо пёё1айо баё-61 б1а, !1 жа6 ай6й 1 баап6ааёа1 а пёаа6^ йё! 1 абар! :
р) = ^Ш(г) - рй = 0, (1)
ааа - абааёа1 6 116а1 бёаёй11ё у1 абаёё ааб!б! абёё; 2 - 11 б! ёб!аа11йё ааё61б
69ё1айо 1ааб651ё.
I бё 1а1 бабй а11! ё^! а1 а1 её 1 аба! а6ба д ба0 а1 ёу 6баа1 а1ёу (1) 1 аба^ 6 1 а1 ба-бй а1 6^ 11 пёаа! аадаёш 1 п6й баа11 аап1 й о п! п61 у1 её. А 1 б! п6ба1 п6аа, 11 баааёуа! 1! а1 66ба11ё!ё 1 аба! а6ба! ё п! п6!у1 ёу (1а1айа11й!ё ё! 1 баё1 а6а! ё) ё а1а01ё!ё 1 аба! а6ба! ё 61 бааёа1 ёу (1 аба! а6ба! ё а1а0 1 ёо а! 9ааёп6аёё), 1 а1 бабйа1 ау 11 пёаа! аа6аёй-
11 п6й баа11аап1йо гй п61 у1ёё пёп6а!й 1баап6ааёуа6 п!а1ё ёбёа6^ баа1!аатйо п!п61-
у1ёё.
N1 п61у1 ёу баа1!аапёу ааёе^ё 1 аааб!б! ёб! аа111а1 п! п6!у1 ёу 6п61 ё+ёай ё 6а! аёа-6а! бу^ 6 6пё! аё^ :
Б(г, р) = с1вг [V2 Ш(г, р)] > 0 I а! ао1аё! й! 6пё! аёа! , 11 баааёу^ й ё! ёбедё+апё! а п! п61у1 ёа баа11 аапёу, уаёу-
а6пу:
Б(г, р) = 0 (2)
Оаёё! 1 абар 1, 1бё ааежа1 ее 11 баа11 аап11 ё ёбёа1 ё 10 ёпо1 а11ё 1 аааб 191 ёб1-аа111ё ё11 бёаббабёё, ёбёбё^Мё1а тпо1у1 ёа а1п6ёааабпу 01 ааа, ё1ааа 11 баааёёбаёй (2) 1 абай ё ба$ 1 абаи аабпу а 11ёй.
А 1айаё 6а1бёё бпб1ё^ёа1 пбё, ёаё ё^аапбП, ба^ёё^-аабпу ааа аёаа ёбёбё^Мёёо 61-^аё 11 ёёайпёб ёёабёё, ааааа111 ё А.1 ба1 ёаба: 1 баааёш ау б1 -^ёа ё б1 -^ёа аёб ббёабёё. I т аа111 йбф 1 баааёш1 ё б1 ^ёё уаёуабпу б1, а аа 1 ёбапб11 пбё 1 а пби апбабаб бп-б1ё^ёайо бааНаатйо п1 пб1у1ёё аёу 1аабб$ёё а1ёй0аё ёбёбё^апё1ё, б1ааа ёаё аёу аё-б ббёабё1 111ё б1^ёё уб! а 1айа1 пёб^аа 1 а п1 аё^ ааабпу.
Абаа! 11 ёааабй, апа ёППШбй ааёб1ба 1аба1айа1ёё ё 1аба1абб 1аабб5ёё уа-ёу^ бпу б б1 ёбёу! ё 1 аё1 б1б1а1 1 аба! абба 5 ё ёажа11 б $1 а-41 ё^ уб1 а! 1 аба! абба 1а11-а^11 п11 баабибабаб 1 аё1 б1 б1 а баа11 аап11а п1пб1у1ёа 1(5), р(я). I б1аёбб аба1 бёбба! ббаа1 а1ёа (1) 11 5, б1 ааа 11 ёб^ё! :
й ^(р) = У2 - Q ± = 0
(3)
Е&$ба0 ау ббаа1 а1ёа (3) 1б11 пёбаёш1 -, абаа! ё! абй:
Б(.5) £
дБ
д
д ±
С д2Ж ^ 1 йя
дг. дг
V 1 1 у
(я) = -
ааа 1 4 '
д
ч йг , „ ч йр
Б (я)-¡- = йг (я )-*-, йя 1 йя
дБ
д2Ж
дг . дг. V 1 1 у
д. - и
баааёёбаёй, 11 ёб^аа!йё ё^ Б 1бё 5а1а1а уёа-
1а1б1а 1-аа пб1 ёаба 1 а уёа! а1 б ааёб1 ба 1 баа1 ё ^-апбё.
Апёё 1 бё а1 пбёааабпу ёбёбё^апё1 а п1 пб1 у1 ёа, б1 1 баааёй11ё б1 ^-ёа п11 баабпб-абаб бпё1 аёа
а б1 ^ёа аёб ббёабёё бпё1 аёа
ааа ^я*^^^*) й2(я*) ... й^*))7 .
Б(я*)=0; ¿(я*)=0;
йр йр
= 0,
- ё^ а1 а,
Еёп. 1. Ебёайа баа1 1 аат йб тпау1ёё ё ёбёоё-апёёа 6 -ёё
ЕЙппПобё! бабаёоаб1йа ёбё-айа баа11аап1йб тпо1у1ёё аёу 1 а! ё1 -ёё 1 бё пёё1 а11 1 аабожа! ёё. I а бёп.1 ОБАС - 1 п11 а1 ау 6бааё61 -бёу. I баааёи1 1ё 61 -ёа А Ш баабпо-аоао 1 аабо^ёарь аёу ёаааёи11ё 1а1-ё1-ёё, 1 а ё1а^йаё 1 а-аёшйб 1 ат -ааб0 а1 поа. С -ёа аёо 6бёабёё А, 1 о ё1 61 б1 ё 1 6б1 аё о 5аёбё оё -апёау ааоаи Ал, т1 баадпоабао аёообёаоё-111 ау 1 аабо^ёа рС . Аёу аа111т, а1-пда61 -11 оё1 ё-11 а! пё6-ау, ёбёоё-
-апёау 1 аабо^ёа 1 б1 и аёёёаа1 ёу
ёаааёи11ё ё11 п6б6ёбёё рь 1а1аа ааж1 а п 1 баё6ё-апё1 ё 61 -ёё 0а1 ёу, -а1 ёбё6ё-айёау 1 а-
або$ёа ай16-ёаа1ёурС . У61 пау$а11 п 6а1, -61 бааёшйа ё11п6б6ёбёё lбаё6ё-айёё апаааа
таабжа6 1 а-аёшйа 1 атааб0 аШдаа, ё а ^апоНпоё 1 а1 бааёёиНпоё 61б1й. I 1 уо11 6 аёу 1 ёб 1б1 байп аао 1 б! ёб1 аа1 ёу а6аа6 1 б1 ёпб1 аёой 11 1п11а11ё 6бааё61 бёё ОБР, ааа 61 -ёа Б т1 6аа6й6а6а6 1 баааёш ау 1 аабб^ёа 1 аёаааёш1ё 1а1ё1 -ёё р3 . Апёё 6бааё61 бёё Ал, 1661 ауи аё ё5 61 -ёё аё66бёабёё А, т1 6аа6й6а6а6 1 апё1 1 аобё-11а ай1 6-ёаа1 ёа, 61 1б1и аё-ёёаа1ёа а 61-ёа Б а6аа6 пау^аИ т 51а-ё6аёщй1 ё 1а1тпё1 1 аобё—1 й1 ё аа61б1 абёу1 ё.
0 оу аё66бёабё111ау 11 оабу 6п61 ё-ёа1 поё а -ёп611 аёаа 1 а 1 баёоёёа 1 аа1511 ®1 а, 6а1 1а
1 а1 аа, ёбё6ё-апёёа 1 ааб65ёё ай1 6-ёаа1 ёу рС -ап61 1 аат а-ёаф 6 61б10 6^ 1 бёаёёжа! -16^ 1 ба1 ё6 аёу бааёш йб 51 а-а1 ёё а1 а0 1 ёб пёё, ай5йаа^ иёб 11 оаб^ 6п61 ё-ёа1 поё.
Еаё 6жа 161 а-аё1 пи ай0 а, йёй6а1 а 6баа1 а1 ёё Дг, р)=0 5аааа6 а 1 ауа111 аёаа ёбё-а6^ баа11 аап1 йб тп61у1ёё а 1б1 п6ба1 й6аа Х=(г,р)т, 5ааёпу,й 6^ 16 1 аё161 б1 аа 1 аба1 ао-ба, 1 а5й ааа11 а1 1 аба1 аоб11 1б1а1 ёжа1 ёу ба0 а1 ёу. У66 б1ёи 11 жао ай 11ё1 уои ёаё 1 аба-1 аоб 1 ааб65ёё д, оаё ё ё^ аау ё11 111а16а ааё61 ба 1 аба1 аиа1ёё г.
Апёё а ёа-ай6аа ааа6и аа1 1 аба1 аоба 1 бё1 уои 1 аба1 аоб 1 ааб65ёё д, 61 п аа11 аобё--апё1ё 61 -ёё 5ба1ёу ба0а1ёа 5ааа-ё 1бё й66lа1-а6i 1 1ааб6жа1ёё йаi аё6пу ё 11баааёа-1 ё^ 61 -аё баа11 аапёу, уаёу^ и ёбпу 61 -ёа1 ё 1 абайа-а1 ёу ёбёа1 ё баа11 аат йб тп61 у-
I ёё п йа1аёй6аi1 lëiйёiй6аёр - 5 = 0 1 бё я=Ар, 2Ар, 3Ар, ...
I а1 аё1 а 1 ёбапо! 1 поё 1 баааёи11ё 61 -ёё й66l а1 -ао1 а 6ааёё-а1 ёа 1 ааб65ёё 1а 115-а1 ёуао 11 ё6-ё6и ба0 а1 ёа. А -ап611 поё, а ба1 ёаб 1 а61 аа I й^611 а-Е^опИ а ё6абабё11 -1йё 1б1 багт, ёаё 1 бааёё1, 1 а-ё1 аао бапб1 аё6ййу ёёё 1бёа1аё6 ё 1 пбёёёубёу1 1ё1ё1 1 а-
ё161б1а1 51а-а1ёу ааё61ба 1аба1айа1ёё г. А у611 пё6-аа йëаа6а6 ёёа1 5ааааа6й 16бёба-
6аёи11 а 1 бёбаи а1 ёа 1 ааб65ёё, ёёа1 1 б1 ё^апоё йiа16 ааа6и аа1 1 аба1 аоба д 1а ё^ а6^ ё5 ё11111а16 ааё61ба г , аёу ё161б1ё пИ 6аа6й6а6^йёё 1 аобё-1йё 11баааёё6аёй 1а ба-аа1 1 6ё^ .
I бё ба0 а1 ёё байffl а6бёааа11 а1 ёё^ппа 5ааа- 1 аёа1 ёаа баëайi 1 аба51 й 1 1 баай6аа-ёуа6пу 11 аб1 а, 1т1аа11йё 1а ааааа1ёё а111ё1 ё6аёи11 ё N 6баа1а1ёу1 (1) N+1-31 ат1-
II аа6аёи11 а1 6баа1 а1 ёу оё1 а
Ро(г, р, 5) = 0 (4)
ЕШт 16бё1 бап0 ёба11 6^ йёй6аi 6 6баа1 а1 ёё, аёё^ -а^ й6^ а паау 6баа1 а1 ёа (4): Р (Х(5), 5) = (Д&З), р(5)) ^о(г, р, 5))т,
ааа Х(л)=(г(л), р(*))т.
Cîàâà, âñëè F äèôôâöâíöèöóâi à ïî êàœâî ió àöäóiâíôó, â êàœâîé oî +êâ öàâíîââñ-íîé êöèâîé
dF = 0
g1 dF(X, s) dXj + dF (X,s) _ 0
dXj ds ds
i _ 1, 2, 3,...,N,N + 1,
dX
ds
( dz dp лT ds ' ds
 öâçóëüэàôâ iû èiââi ñèñôâió N+1 îáûêíîââííûö äèôôâöâíöèàëüíûö óöàâíâíèé îôíî ñèôâëüíî N+1 í âèçââñôí ûо, êî oî öay í à 0 ààâ m èi ââo âèâ:
dX
J(X , s )-m + H(X , s ) _ 0,
V m ' tn ' 1 V m ' m ' '
ds
(5)
J(X , s ) ; H( X , s) _d (X , s )
\ m ' m s лтг ' V m ~ m s
dXi
i _ 1, 2,...,N; j _ 1, 2,...,N.
jtoëè âââftôè î áî çí à+â èy
ds
A _ V2 W(z , p ); b _ -Q ; с _
^ m ' sr m, ' ' '
dF0( zm , pm , sm ) , du.
d _
dF0( z m , pm , sm ) , g _ dF0( z m , -Pm , sm )
dp ' ds
oî ñèñôâi ó óöàâí âíèé (5), îï óñêày èí äâêñû, iîœH çàï èñàôü â âèââ:
_ 0
dz
" A b ' ds • + Í01
cT d dp + l g I
ds
è ^è yoîi âîïî ëí èôü ââ í à+àërn û i è óñëî âèyi è :
z (s °) _ z0, p ( s °) _ p 0
(б)
(7)
Î ï öâäâëèi âàëââ êî í êöâôí û é âèâ âffiîiî ààôâëüí î aî óöàâí âí èy, êî oî öî â áóäâô èû-ï î ëuçî âàíî â ï öî öâññâ +èñëâí í î aî öâ0 âí èy çàâà+è. Í àèáî ëââ öâëâñî î áöàçí î ï öèí yoü â êà+ârnââ ââäóùâàî ïàöàiâôöà âëè^ äóäè s êöèâîé ñîñôîyíèé öàâíîââñèy öàññi àOöèâàâ-iîé i âi^ è+âûêî é ûèrnâi û, çàâàâàâi ó^ ñîîoíî0âíèâi :
Д52 = ¿Дг.2 + Др2
(8)
ёеа1 11 баааёуой аааой ее 1 аба! а6б а аеаа ёе1 аё11ё ё! 1 ае1 абее 1 а^ааепе! й о 1 аба-1а11йо:
= ¿а
+ а
лР
(9)
Е1 уб бёбёа1ой а,. ай аеба^ опу п о+ао11 а! 11 ё1 едаёш 1 ё е 1 о 1 б! абее 1 а ёажа! 1 0 ааа +ёпёа111 а! ба0 а1 еу. У6е ё1 уббёбёа16й 11 а66 ай ой 5ааа1 й а аеаа 11б1 еб1 аа1 -11 а! ааё61 ба 1 б1 ефш а1йо ааё61 ба г е 1 аба! аоба р п 1 баай а6й аа1 0 ааа:
ёр
а =
ёХ ■;ап + 1 - ■ ёХ
(10)
ёХ
I
2 V
,/ = 1, 2,
Апёе ааё61 б ^ааааабй а аеаа (0 ... 0 1)®еёе (0 ... 1 0 ... 0)®, 61 1 аба! аоб 1 б1а1ёжа-1еу ^ а6аа6 1 баап6ааёу6й та1ё 1 аба! а6б 1 ааб6$ёе р ёёё т16аа6п6а6^ и аа 05ё1 а1а 1а-ба1айа1ёа и.
Ей! 1 ёйф аа1 еа 1 ауа1йо поа! е1 6аабеб1 аа1 еу $ааа+е Еше (6), (7) п1$ааа6 абб11 6 ё6абабё1 11йо lа6lа1а, а ет 1 ёй$ аа1 еа уа1йо поа! - абб116 ! а61а1а аебб аба1 беб1 -аа1 еу 11 1 аба! а6бо Е&0 а1 еа 6баа1 а1 её (6) п 1 а+аёшй! е 6пё1 аеу! е (7) 115а1 ёуа6 1 а ёажа1! 0 ааа 11 ааа6й а! 6 1 аба! а6б6 я 11 баааëё6й ааё61 б 6^1 ай о 1 аба! аиа1 её г(э) е 1 аба! а6б 1 ааб65ёе р(я).
А ^айа! пё6+аа, ё1 ааа 1а ё11 п6б6ёбе^ ааёп6а6а6 йёй6аl а а1а0 1ео 1 ааб651 ё, ёаж-аау е^ ё161 бйо ер а1 уа6пу 11 пша^ 5аё11 6, йёй6аl а 1 аёе1 аё1йо 6баа1 а1 её, 11 баааёу-^йау 6пё1 аеа й6абё11 аб11 пде у1 абаа6ё+айё1 а1 б61 ёбе11 аёа, 1 баай6ааëуа6йу пёаа6^ -йе! ^аба^И :
(и) = 1 р, О,, (11)
,= 1
ааа Ж(и) - аёйёба6lйё а1 аё1 а 116а1 бёаëй11ё у1 абаее ааб1б! абее; б1; ... , QN - 11 б! е-б1аа11йа ааё61бй а1а01ео 1ааб651ё, m!6аа6Й6а6^йёа ба9ëё+1йl аёааl 1ааб6жа1ёу; р1, ... ,pN - 1 аба! а6бй 1 ааб6жа1ёу.
Nёй6аl а 1 аёе1 аё1йо 6баа1 а1 её (11) 5аааа6 11 аабо11 п6й а 1 б1 п6ба1 й6аа 1 аба! а1 -1йо Х=(и,р)Т, ^а^епуй 6^ 16 N1 а5ааёйёl йо 1 аба! а6б1 а. Апёе а1а01уу 1 ааб65ёа ^аае-йё6 61ёйё1 16 1а11а1 iабаlа6ба, 61 ай6й N=1, 61 йёй6аlа 6баа1а1ёё (11) 11баааёуа6 ёбе-
а6^ баа11 аат йо fflй6lуlёё ааб 1 б! ёб6аl 1 ё йёй6аl й.
Аёу ба0 а1 еу 1 аёе1 аё11 ё ^ааа+е, 11 ёййаа^ йаё 11 аааа1 еа ё11 й6б6ёбёё 1 бе ааёп6-
аее а1а0 1аё 1ааб65ёе, ё161бау 5ааёйё6 16 аа6о 1а5ааёйёlйо iабаlа6б!а (1бе N=2), 6п-6а1 ааёеаа^ 6пу 1 а+аёй1 йа а+а1 еу 1 аба! а6б1 а 1 ааб65ёе р1 е р2 е 1 а+аёшйа а+а1 еу
êîi ïnMoî â ââêoî öà óçëî âûö ï âöâi âùâíèé u. Óöàâí âlèy (11) öâ0 à^ oñy ñ ïîi îùu^ iâ-oî äî â äèñêöâôí îâî èëè í âï öâöûâíîâí ïöîäî ëœâí èy öâ0 âí èy äëy ï öèöàù âí èy ï àöài âo-
öà Ap1 ïöè ôèêñèöîâàííîi çíà-âíèè ïàöàiâôöàp2. Qàêèi îáöàçî i, îïöâäâëyâôñy êöèâày öàâíîââñíûö ñîñôîyíèé, mîôââôñôâó^ùày çàäàííîi ó çíà-âíè^ p2. Ï îfiëâ yoîâî îrnùâ-rnâëyâôûy âîçâöàô ê çàôèêñèöîâàííûi íà-àëщûi çí à-âí èyi è âûïîëíyâôñy îäèí 0 àâ ï öî äî ëœâí èy öâ0 âí èy äëy ï öèöàù âí èy ï àöài âoîà Ap2 ï öè ô èêñèöî âàííîi çí à-â èè ïà-öàiâôöàp1. Äàëââ óñôàí àâëèâà^ oñy íîâûâ í à-àërnûâ çí à-â èy ï àöài âôöî â í àâöóçêè è ââêô^à óçëîâûö ïâöâi âùâíèé, ïîfiëâ -ââî âû-^ëèoâërnûé ^^áíñ ïîâôîöyâôñy.
Äâèœâí èâ ïî ï âöâî i ó ï àöài âôöó p1 î rnù âûôâëyâôûy îäíèi èç i âoî äî â äèñêöâôí î -âî èëè í âï öâöû âíîâí ïöîäîëœâíèy [5]. Ï6è äèñêöâôíîi ïöîäîëœâíèè ôóíêöèy F(u, p1, p2) öàñêëàäûâàâôñy â öyä Câéëîöà ñ óäâöœàíèâi ëèíâéíûö ñëàâàâiûö, ^è yoîi ^âa-ï î ëàâàâôûy, -oî çí à-â èâp2 ôèêñèöîâàíî:
д F д F
F (u + Au, pi + Apl, p2) = F (u , pi, p 2) + — Au + -—Ap^ ,
д u д p1
oî àäà, ñ ó-órn i (11), èôâöàöèî ííûé ïöî öâññ çàï è0 âoûy â âèäâ:
V2W(uk(sm'))Auk+1 = Qp k+1 + Ql p^O + 02 p2fe2) - VW^^')), (12)
âaâ ê - íîiâö èôâöàöèè; sj è sn2 - çíà-âíèy ïàöàiâôöîâ ïöîäî ëœâíèy; m è n - íîiâöà 0à-âîâ íàâöóœâíèy mîôââôñôââííî ïî ïâöâîió è âo^^ ïàöàiâôöó; uk(sm'), p1k(sm1) - çíà--áí èy èûêîi ûö ôóí êöèé í à èôâöàöèè ñ íîiâöîi ê; Auk+1,p1 k+1 - ï öèöàù âí èy ôóí êöèé
í à ï îñëâäó^ ù âé èôâöàöèè.
Ñèñôâi à óöàâí âí èé (12) äî ï î ëí yâoûy âù â î äí èi óöàâí âí èâi , ï î ëó-àâi û i èç (S) èëè (9):
||Suk+1||2 = (Asm1)2 (13)
èëè
(ao, 8uk+1) +an+l 8pl k+1 = Asm1, (14)
âïâ
Suk+1 = Suk +Suk+1 , Sp1 k+1 = Sp1 k + Sp1 k+1; (15)
ao = (al a2 ... an)T
Äëy öâ0 âí èy ûèûoâi û óöàâí âí èé (12) mâi âñôí î ñ (13) ènï î ëüçóâôñy àëâî öèôi , ï6è-iâíyâiûé ^è îäíîï àöài âôöè-âñêî i í ààöóœâíèè:
1. Í àöîäyôñy öâ0 âí èy äâóö âm î i î âàôâëщ û ö ñèñôâi ëèíâéíûö àëââáöàè-âñêèö óöàâíâíèé:
V2W(uk(sJ))U = ßl ; (16)
V2W(uk(sJ))V = ßl plk(sm') + Q2 p2 (sn2) - VW(uk(sm1)).
Çàâèñèi îfirn i á^ó èñêîi ûi è ô óí êöèyi è Auk+1, Ap1 k+1 è è^^^i è ââêôîöài è U, V îï öâäâëyâôñy ï óôâi ï î äñôàí î âêè mîôíî0âíèé (16) â óöàâí âí èy (12):
Auk+1 = UAp1 k+1 +V (17)
2. Ï îäñôàíîâêà (15) è (17) â äîïîëí èôâëüí î â óöàâí âí èâ (13) ï öâî áöàçóâô ââî ê âèäó:
a(Ap1 k+1)2 + 2bAp1 k+1 - с = o , (1S)
Еаааба611 а 6баа1 а1 еа (18) е! аа6 ааа ё1 б1 у, е^ ё161 бйо айаёбаа6йу 616, аёу ё161 -б1а1 6а1ё ! ажа6 iбаайа6йёl ра+шеа! ааё61ба (8ик ,5р к)Т е 6аё6йёl ра+шеа! (5ик+1, 5рк+1)Туаëуа6йу 1 й6бйl [1]. Апёе 1аа ё1б1у iааmа+ёаа^6 айПё^еа у61а1 6п-ё1аеу, 61 айаёбаа6йу 616 е^ ё1 б1 аё, ё161 бйё аёежа ё ёе1 аё11!6 ба0 а1 е^ .
3. Ааё61 б 1 бебай а1 еу Дик+1 ай+ёйëуа6йу 11 б1б! 6ёа (17) 1 бе ё$аай6l 1! $1 а+а1 ее Др1 к+1.
4. I 1 баааёу^ 6пу ааëё+ё1 й:
5ик+1 = 5ик +Дик+1, (19)
5р1 к+1 = 5р1 к + Др1 к+1.
5. 1б1 бапп ё6абабёё 1 б1 а1 ёжаа6пу а1 6ао 11б, 11ёа 11 б! а ааё61 ба (Дик+1, Др1 к+1) 1 а п6а1 а6 а1 п6а61 +11 !аё1 ё.
1бе ет1 ёй^аа^е а111 ë1ё6аëщiаi 6баа1а1ёу, ^аааШш а б^б^ (14), ай11ё1у-^ 6пу пёаа6^ йеа ааёй6аёу, а1 аё1 ае+1йа 11 епш1й! ай0а:
1. I ао1 ау6пу ба0 а1еу ат1П аа6аёй1 й о йёй6аl (16), 11 баааёу^ й еа пау^й (17) аёу ^ебайа^ё Дик+1 е Др1 к+1.
2. 11 пёа 11 ап6а11 аёе (15) е (17) а 6баа1 а1 еа (14) е айПёШеу 1 аё161бйо 1 ба1 а-бар аа1 её 11 ё6+аа6пу пёаа6^ й аа айбажа1 еа аёу ааёе^ й Др1 к+1:
. к+1 - (ар,8ик) -ап +Мк - («0, V) Др1 =-
и) + ап +1
3. Ааё61 б Дик+1 1 ао1 аё6йу 11 пёа 11 ап6а11 аёе р1 к+1 а 6баа1 а1 еа (17).
4. 11 б1б! 6ёа! (19) 11 баааёу^ 6пу ааëё+ё1 й 5ик+1 е 5р1 к+1.
5. 1б1 аабёа 6пё1 аеу 1 ё11 +а1 еу ё6абабёi 111а1 1б1 багта.
Апёе ^ааа+а багН-а6а бiбl6ëёб6а6йу ёаё ^ааа+а Е10е, 61 аёу йёй6аlй 1айё11аа1-1йо аебб аба1 беаёш йо 6баа1 а1её 1бе ааёжа1 ее 11 1 аба1! 6 1 аба! а6б6 а6ааl е! а6й:
— [Р(и(,1), р^>), р 2 (,2)) ] = 0;
и(,01) = и0, р( О = р0
(20)
№! 1 ё1 ббаё6ёб6^ й аупу б 1 б! а 6баа1 а1 её (20) т а! ап61 1 т ат 1! 1 аа6аёй1 й! е 6баа1 а1 еу! е а аеббаба1 бёаëй11ё б1б! а ^а1 епйаа^ 6пу йëаа6^ йе! 1 аба51! :
[Г(и(.0,р1(,:),р2(,2)] + ^(и,рх,р2) = 0,
(21)
а0
ёи
И1
+ ап
ёр1
ёя1
= 1
(22)
ёи
ёя1
= 1
(23)
Апёе аёу 11 ё6+а1 еу +ёйëа111 а1 ба0 а1 еу ^айа+е (21), (22), (23) ет 1 ëй56а6йу ! а61 а Уё-ёаба, 61 бап+а61йа йii6li0а1ёу 1а 0ааа п ШабИ т 9ааа^6йу 11 б^б!«^! (1 бе ZДsí = 1):
2
V2W(u (s1 m-1))Au = QlPl + Q^l(s'm-l) + Q2P2(s2n) - VW(u (s^l)) (24)
||Au ||2 = (As1)2 (25)
èëè
(a0 , Au) +an+1, Ap1 = As1. (2б)
Aûëè äëy öâ0 âí èy ñèñôâi û óöàâí âí èé (21) ñ í à-àërnûi è óñëî âèyi è (22), (23) éñ-ï î ëüçóâôñy i âoî ä Eóí ââ-Êóôôà, oî íà 0 àââ m èiââi:
u(s'm) = u(s'm-1) + Au; Pl(sm) = Pl(sm-1) + APl, (27)
àäâ
Au = (Au1 + 2 Au2 + 2 Au3 +Au4)/6; (28)
Ap1 = (Ap11 + 2Ap12 + 2Ap13 +Ap14)/6. (29) ï öè-âi ââëè-è û Auk, Ap1k í àöî äyôñy ï óôâi ï î ñëâäî âàoâërn î âî öâ0 âí èy ñèñôâi óöàâ-íâíèé:
V2 W(uk)Auk = Q1Ap1k + Q1p1k + Q2p2 - VW(uk) (30)
l|uk||2 + = (s1)2 (31)
èëè
(a0, Auk) +an+1, Ap1k = As1 (32)
Qà^èy uk , p1k êî ööâêôèöó^ oñy í à êà^î i ï î ä0 àââ ñ ï î i î ù ф ï öèöàù âí èé ñ ï öâäû äóù ââ Hä0 àâà:
u1 = u(s'm-1) ; Pl1= P1(s'm-1) ;
u2 = u(s'm-l) + Au1/2 ; Pl2= p(s'm-l) + Apl1/2; (33)
u3 = u(s'm-l) + Au2/2 ; P13 = p(s'm-l) + Apl2 /2;
u4 = u(s'm-l) + Au3; P14 = p(s'm-l) + Ap¿
Í à öèñ.2 ïöâäñôàâëâíà ïîââööíîñôü öàâíîââñíûö ñîñôîyíèé öèëèíäöè-âñêîé îáî-ëî-êè ñ ï àöài âôöài è R=2,54 i , L=A=0,50S i , й=0,00635 i , i=3,105109 í/i 2, v=0,3 è
0 àöí èöíî-íâïî äâèœí î çàêöâï ëâHûi è ï öyi îëèíâéíûi è êöàyi è.
Ï öè -èñëâí íîi ïî ñôöî âí èè yoîé ïî ââööí î ñoé äëy êà^î âî ô èêñèöî âàí íîâí çí à-â-í èy í ààöóçêè p2 ñ ïîiîùu^ ïöî öâäóöû (16)(19) î ï öâäâëyëàñü êöèâày öàâí î ââñíûö m -rnîyíèé îon ñèôâëüí î p1 è wc.
Ïöî âêöèy öâçóëüôéöó^ùâé ïîââööíî ñoé íà ïëî ñêî ñoüp1p2 äàâô âîçiîœn ñoü âûäâ-ëèoû çîíû óñôîé-èâî ñoé è íâóñôîé-èâî ñoé, ïöè yoî i ëèíèè, öàçäâëy^ùèâ yoè çîíû, îï-öâäâëy^ o iíî œâñôâî êàôàñôöîô, oî âñôü iíî œârnâî oî -âê, äëy êîôîöûö ôóíêöèy ïîëíîé ïîôâíöèàëüíîé yíâöâèè ñèñôâi û èi ââo íâñêîëüêî ñëèâà^ùèöñy êöèôé-âñêèö oî-âê. Êàöôéí à, ï î ëó-àâi ày í à ï ëî ñêî ñoé p1p2, ï î çâî ëyâo î ï öâäâëyôü öàçëè-í ûâ ôöàâêôî öèè í ^ó^í èy î áî ëî -êè è, â -äro î ñoé, oâ, êîo^ûâ ïî çâî ëy^ o ï öî éoé èç èrnî äíîé í óëâ-âî é oî -êè â çàäàí í ó^ , èçáâœàâ ï î ôâöè óñôî é-èâî ñoé.
Áí àëèç öâ0 âí èé áî ëu0 î âî êî ëè-ârnâà í âëèí âéí ûö çàäà- oâî öèè ï ëàñôèí è îáîëî--âê ï î çâî ëyâo ñäâëàôü í âêî oî öû â âû âî äû.
1. №âaè iâoî äîâ íâïöâöûâíîâí ïöîäî ëœâíèy öâ0âíèy äëy çàäà- óñôîé-èâî ñoé ïöè
1 í î âî ï àöài âôöè-âñêî i í àâöóœâí èè î äí î é èç í àèáî ëââ yô ô âêôéâí û ö yâëyâôñy ñöâi à, îmîâànày íà ïöîöâäóöâ Eóí ââ-Êóôôà â î áû -í î é èëè ñai î êî ööâêôèöó^ ù âéñy ô î öi â
Eèn.2. Ï î ââôo-i î nou ôàâi î ââni û о nînôîyi èé ïîëîàîé oèëèiàôè+ânêîé
(27)+(33). Aëâî ôèôi (24)^(26), âàçèôô^ ù èény i à i âoî àâ Yéëâôà, î âëàààâô i âàëâi i î é noî àèi î гюф è iâ ïîçâî ëyâô ï î ëô+èôu ïôèâi ëâi ûâ ïî ôî î nôè ôâçôëuôàôû.
2. Àëy i âoî àî â àènêôâôi îâî ïôîàî ëœâi èy i àèëô+0 èâ ôâçôëuôàôû ààâô ï ôèi âiâièâ îâû+iîé èëè i îàèôèoèôîâàiiîé ïôîoâàôôû I u^ôîià-Eâônîià (16)+(19).
3. Â êà+ânôââ âââôùââî ïàôàiâôôà iàèaî ëââ oâëânîîâôàçiî âûâèôàôu àëèiô êôèâîé nî nôîyièé ôàâi î âânèy ôànni àôôèâàâi î é i âoài è+ânêî é nènôâi û, ïôè yôîi ènïî ëuçî âàôu ânïîiî âàôâëui î â ôôàâi âi èâ, î âânï â+èâà^ ù ââ èôâôàoèè i à nô âôâ (13), (23).
4. Ènï î ëuçî âài èâ àëèi û àôâè êàê ï àôài âôôà ï ôî àî ëœâi èy î aânï â+èâàâô âaèi û é ï ôî oânn ï ôî oî œàâi èy ôââôëyôiûô, ï ôâaâëuiûô è aèôôôêàoèî iiûo ôî +âê. Î ôï àaàâô i â-î aoî àèi î nou niâiû ââàôù âài ï àôài âôôà ïôè ïôî oî œàâi èè ï ôâàâëui ûo ôî +âê.
Ëèôâôàôôôà
1. Crisfield M.A. A Fast Incremental/Iterative Solution Procedure that Handles "Snap-Through" // Computers & Structures, 1981, Vol.13, N1, pp.55-62.
2. Trushin S. I., Zhavoronok S.I. Nonlinear Analysis of Multilayered Composite Shells Using Finite Difference Energy Method // Space Structures 5, Thomas Telford, London, 2002, pp. 1527-1533.
3. O5Ô0 èi N.E., I èôâî ôî ânêèé À.Â. xènëâi i î â ènnëââî âài èâ êî ëââài èé è âèi à-i è+ânêî é ônôî é+èâî nôè âèâêèo Ôï ôôâèo î âî ëî +âê // Câî ôâôè+ânêèâ î niîâû nôôî èôâëûnô-âà. Àî êëàâû XIV Ï î ëûnêî -Eî nnèénêî -Nëî âàoêî âî nâi èi àôà. - ^èëèi à: Eçâ-âî ^èëèi -nêîâî ôièââônèôâôà, 2005, n. 103-108.
4. Oôô0 èi N.E. E&0 âi èâ çàâà+ âèi ài èêè i âôî âî i ï ôî âî ëœâi èy ï î ï àôài âôôô //
Âîïôînû ïôèêëàâiîé i àôâi àôèêè è âû+ènëèôâëûiîé iâoàièêè: Nâ. iàô+i. ôô. '6. - I.:
Eçâ-âî I ÀNQ 2003, n. 326-329.
5. Ivanov A.S., Trushin S.I. Development of Solution Procedures for Elastic-Plastic Large Deformation Stability Analysis of Shells // Nonlinear Analysis and Design for Shell and Spatial Structures. Proceedings of the SEIKEN-IASS Symposium, Tokyo, 1993, pp. 89-96.
