CC BY
22
либо вершинами, либо серединами ребер, соединяющих целые вершины.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ерзин А.И., Плотников Р.В., Шамардин Ю.В. О некоторых полиномиально разрешимых случаях и приближенных алгоритмах для задачи построения оптимального коммуникационного дерева // Дискретный анализ и исследование операций. Новосибирск, 2013. Т. 20. № 1. С. 12-27.
2. Салий Я.В., Ченцов А.Г. Об одной маршрутной задаче на узкие места с внутренними работами // Вестник Тамбовского Университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2012. Т. 17 Вып. 3. С. 827-847.
3. Горбунов К.Ю., Любецкий В.А. Дерево, ближайшее в среднем к данному набору деревьев // Проблемы передачи информации. М. 2011. Т. 47. № 3. С. 64-79.
4. Conrad J.M., Gomes C.P., van Hoeve W.-J., Sabharwal A., Suter J.F. Wildlife corridors as a connected subgraph problem // Journal of Environmental Economics and Management. Elsevier, 2012. V. 63. № 1. P. 1-18.
5. Воблый В.А. Об одной формуле для числа помеченных связных графов // Дискретный анализ и исследование операций. Новосибирск, 2012. Т. 19. № 4. С. 48-59.
6. Селиверстов А.В. Замечания о расположениях точек на квадриках // Моделирование и анализ информационных систем. Ярославль, 2012. Т. 19. № 4. С. 72-77.
7. Wang Y., Ьй Z, Glover F., Hao J.-K. Path relinking for unconstrained binary quadratic programming // European journal of operational research. Elsevier, 2012. V. 223. № 3. P. 595-604.
8. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» // Проблемы передачи информации. М. 1965. Т. 1. № 1. С. 3-11.
9. Шлык В.А. О связи вершин политопов разбиений чисел с нетривиальными фасетами // Вестник Белорусского государственного университета. Серия 1. Минск, 2010. № 1. С. 153-156.
10. Padberg M. The boolean quadric polytope: some characteristics, facets and relatives // Mathematical programming. Springer, 1989. V. 45. № 1-3. P. 139-172.
11. Avis D., Fukuda K. A pivoting algorithm for convex hulls and vertex enumeration of arrangements and polyhedra // Discrete and computational geometry. Springer, 1992. V. 8. № 1. P. 295-313.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа частично поддержана грантом Минобрнауки РФ 8481.
Seliverstov A.V. ON CONNECTED SUBGRAPH CONE
The edges of the linear relaxation polytopes for quadratic Boolean programming problems are described. We found a correspondence between the edges of such polytope and connected subgraphs of the complete graph.
Key words: combinatorial optimization; polyhedral cone; polytope; subgraph.
УДК 517.977
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ГИБРИДНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ (ЛГФДСП)
© П.М. Симонов
Ключевые слова: гибридные системы; устойчивость.
Предложено решение задачи об устойчивости ЛГФДСП.
Исследованию по устойчивости решений ЛГФДСП посвящено сравнительно мало работ [1]. Запишем абстрактную ЛГФДСП в виде
СцХ + С12У = X - ¥цХ - ^12У = /, С2\Х + С22У = Ах - Г21Х - ^22У = §■ (1)
2670
Здесь и ниже Мп — пространство векторов а = ео1{а1,ап} с действительными компонентами и с нормой ||а||м«. Пусть пространство Ь локально суммируемых /,д,у: [0, то) ^Мп
с полунормами ||/||в[о,т] = II/(£)||мп & для всех Т> 0. Пространство Б локально абсо-
лютно непрерывных функций х : [0, то) ^Мп с полунормами ||х||д[0;у] = ЦХ|^[0,т] + 1|х(0)||м-для всех Т>0. Операторы С11, ¥11: БЬ, £12,¥12 :Ь^Ь, £21,¥21: БЬ, £22,¥22 : ЬЬ предполагаются линейными непрерывными и вольтерровыми. Обозначим (Ау)(Ь) = у(Ь) -- у(1 - Н), где £ ^ Н> 0, и (Ау)({)= у({), £ € [0,Н).
Пусть модельное уравнение [2]—[4] £цх = г и банахово пространство В с элементами из пространства Ь ( В С Ь, и это вложение непрерывно) выбраны так, что решения этого уравнения обладают интересующими нас асимптотическими свойствами. Пусть оператор Коши Ш11 для уравнения £11х = х непрерывно действует из пространства В в пространство В и вольтерров, и пусть столбцы матрицы фундаментальных решений X принадлежат пространству В. Кроме того, пусть производная решения X непрерывно лежит в В в зависимости от г € В. И пусть столбцы матрицы X принадлежат В. Можно для банахова пространства В С Ь ввести банахово пространство Б(£11,В) с нормой ||х||д(£1Ьв) = ||£их||в + ||х(0)||м"• Это пространство линейно изоморфно пространству С.Л. Соболева Ш%\[0, то)) с нормой ||х||^(1)([0, то)) = ||Х||в + ||х||в. Дальше будем это пространство обозначать как Шв. При этом, Шв С Б, и это вложение непрерывно. Операторы £11, £21, Р11, Р21: Б ^ Ь рассматриваются как приведения на пару (Шв,В): £ц, С21, ¥и, ¥21: Шв ^ В. Операторы А, С12, £22, ¥12, ¥22 : Ь ^ Ь также рассматриваются как приведения на пару (В, В): А, £12, £22, ¥12, ¥22 : В ^ В предполагаются линейные вольтерровые и ограниченные.
Поставим задачу, когда для уравнения (1) при любом {/, д} € В х В ее решения {х, у} € € Шв х В.
Рассмотрим второе уравнение С21х + £22у = д. Будем считать, что оператор С22 : В ^ ^ В вольтеррово обратим, т. е. существует £—2 : В ^ В и оператор £-2 : В ^ В вольтерров. Тогда это уравнение запишется в виде £-2£21х + у = £-2д. Выразим у : у = -£-2£21х + + £-2д, и подставим в первое уравнение £11х + £12у = /: (£11 -£12£-2£21)х = / -£12£-2д.
Обозначим £ = £11 -£12£-2£21 и /1 = / -£12£-2д. Получили уравнение £х = /1. Предположим, что вольтерров оператор £: Шв ^ В вольтеррово обратим, т. е. если для уравнения £х = /1 при любом /1 € В его решения х € Шв и оператор £-1: В ^ вольтерров, где = {х € Шв, х(0) = 0}. Таким образом, мы решили задачу, когда для уравнения (1) при любом {/,д}€ В х В его решение {х,у}€ Шв х В.
Пример. Рассмотрим два уравнения:
Х(Ь) + ах(£) + Ъу(Ь) = /(£),£ € [0, то), у(Ь) - йу(Ь - Н) + сх(£) = д(Ь),1 € [Н, то), (2)
и у(Ь) + сх(Ь)= д(1), £ € [0,Н).
Введем оператор (Бу)(£) = б,у(1 - Н), £ ^ Н, (Бу)(£)=0, £ € [0,Н), тогда второе уравнение запишется в виде у(1) - (Бу)(£) + сх(£) = д(1), £ € [0, то).
Рассмотрим оператор Б : Ь^ ^ Ь^. Известно, что оператор (I - Б) : Ь^ ^ Ь^ вольтеррово обратим тогда и только тогда, если спектральный радиус оператора рьж (Б) < 1 в пространстве Ь^ = Ьте[0, то) меньше единицы: рв^ (Б) < 1. Для оператора Б условие рвж (Б) < 1 эквивалентно неравенству \ё\ < 1.
Введем обозначения:
(£цх)(г) = х(г) + ах(г), (£12у)(£) = Ъу(г), (£21х)(£) = сх(г), (£22у)(£) = у&) - (Бу)(г).
Выполним преобразование £х = (£11 - £12£-2£21)х = / - £12£-2д = /1. Запишем в исходных терминах: (£х)(Ь) = Х(1) + ах(£) - Ъс((1 - Б)-1х)(£) = /(£) - Ъ((1 - Б')-1д)(£) = /1(£),
2671
t € [0, ж). Если, вольтеррово обратим оператор (I — S) 1: Lо ^ L0, т. е. \d\ < 1, получаем уравнение
x(t) — (Sx)(t) + (a — bc)x(t) — a(Sx)(t) = f2(t) = f1(t) — (Sf1)(t), t € [0, ж). (3)
Соответствующий характеристический многочлен (квазиполином) имеет вид Л + ai + + a2e~Xh + а3Лв~хн, где a1 = a — bc, a2 = —ad, a3 = —d. Воспользовавшись результатами из [1], получаем, что корни квазиполинома имеют отрицательные вещественными корни, отделенные от мнимой оси каким-то положительным числом, тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) \d\ < 1, a — bc> \ad\; или 2) \d\ < 1, ad>\a — bc\, h<h*, где h* вычисляется по формуле h* = ((1 — d2)/(a2d2 — (a — bc)2))1/2 arccos((a — bc + ad2)/((bc — 2a)d)).
В этом случае уравнение (3) будет асимптотически и даже экспоненциально устойчиво. В этом случае для фундаментального решения и функции Коши уравнения (3) справедливы экспоненциальные оценки с отрицательным показателем. Отсюда следует, что для любого f2 € Lо решение x € Lо и его производная x € L0, то есть, x € Wl.
Таким образом, мы решили задачу, когда для уравнения (2) при любом {f, g} € L0 х L0 ее решения {x, y} € Wl^ х L^-
ЛИТЕРАТУРА
1. Марченко В.М., Луазо Ж.Ж. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем // Дифференц. уравнение. 2009. Т. 45. № 5. С. 728-740.
2. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последействием. II // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 4. С. 555-562.
3. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последействием. IV // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 2. С. 196-204.
4. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1997. № 6 (421). С. 3-16.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана ЗАО «Прогноз».
Simonov P.M. STABITITY OF LINEAR HYBRID FUNCTIONAL DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH AFTEREFFECT (LHFDSA’S)
The decision of a problem on stability of LHFDSA’s is offered.
Key words: нybrid systems; stability.
УДК 51-7
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ
ТЕХНОЛОГИЙ
© П.М. Симонов, A.B. Федоров
Ключевые слова: информационные технологии; информационная продуктивность; трансакционные издержки.
Обсуждаются вопросы эффективности использования информационных технологий (ИТ) в бизнесе. Основной проблемой при решении этой задачи является отсутствие статистических подтверждений эффективности и описания принципов и механизмов влияния ИТ на бизнес. При этом наиболее значительную роль начинают играть трансакционные издержки как основная часть бизнес процессов, оптимизируемых информационными технологиями. Авторы ставят своей целью проанализировать природу формирования трансакционных издержек, сформировать общий подход к выявлению механизмов эффективности ИТ и сформулировать методики прогнозирования экономического эффекта от ИТ для конкретной формы организации бизнеса.
2672
