CC BY
41
Ченцов Александр Георгиевич, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Chentsov Aleksandr Georgievich, Institute for Mathematics and Mechanics named after N.N. Kraso-vskii of UB RAS, Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Ekaterinburg, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Corresponding Member of RAS, chief researcher, e-mail: [email protected]
Серков Дмитрий Александрович, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: [email protected]
Serkov Dmitrii Aleksandrovich, Institute for Mathematics and Mechanics named after N.N. Krasovskii of UB RAS, Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Ekaterinburg, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Leading Researcher, e-mail: [email protected]
УДК 519.977
К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ГИБРИДНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ
© П.М. Симонов
Ключевые слова: гибридная система функционально-дифференциальных уравнений; разрешимость в парах пространств; метод модельных уравнений.
Рассматривается абстрактная гибридная система функционально-дифференциальных уравнений. Применен ^ -метод. Получены условия её разрешимости в парах пространств. Рассмотрены простые примеры двух уравнений. Задача сводится к уравнению от одной неизвестной.
Введение
Исследованию по устойчивости решений линейных гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием (ЛГФДСП) к настоящему времени посвящено крайне мало работ. В работе В.М. Марченко и Ж.Ж. Луазо [1] исследована задача об устойчивости решений линейных стационарных ЛГФДСП. Для систем вида
Х 1(£) = Лцхг^) + А12Ж2(г),
Ж2(г) = Л21Х1 (¿) + Л22Х2^ - Н),
Х1(0) = Х10 € Мк, Х2(т) = Ф(т),т € [—Н,0),
Л11 € Мкхк, Л12 € Мкх(га-к), Л21 € М(га-к)хк, Л22 € м(п-к)х(п-к), ^ : [—Н, 0) ^ Мга-к -кусочно-непрерывная вектор-функция, получены необходимые и достаточное условия экспоненциальной устойчивости.
Предложенная статья продолжает исследование, начатое в [2-4]. Построенная в настоящее время общая теория функционально-дифференциальных уравнений [5, 6] позволила дать ясное и лаконичное описание основных свойств решений, в том числе, свойства устойчивости решений. В то же время широкие и актуальные для приложений классы систем гибридных функционально-дифференциальных уравнений, а именно, линейных гибридных функционально-дифференциальных уравнений с последействием (ЛГФДУП), формально не охватываются построенной теорией и во многом остаются вне поля зрения специалистов, использующих функционально-дифференциальные и разностные системы с последействием для моделирования реальных процессов. Ниже предлагаются гибридные функционально-дифференциальные аналоги основных утверждений теории функционально-дифференциальных уравнений для задач устойчивости.
Теория устойчивости развивалась до недавних пор главным образом в направлениях, указанных еще Ляпуновым. Попытки приспособить старые идеи к уравнениям с запаздывающим аргументом, и тем более гибридным, не всегда оказывались удачными.
В известных монографиях Х.Л.Массеры и Х.Х.Шеффера [7], М.Г.Крейна [8], Ю.Л.Да-лецкого и М.Г.Крейна [9], а также в III главе книги Е.А.Барбашина [10] предложено и развито новое направление в теории устойчивости дифференциальных уравнений. В этом направлении свойство устойчивости связывается со свойством разрешимости задачи Коши в некотором специальном функциональном пространстве. Это понятие называется «допустимость пары пространств», разрешимость «задачи о накоплении возмущений», устойчивость относительно «вход-выход». Идея рассматривать явление устойчивости как разрешимость задачи Коши в специальном пространстве (определяющем тип устойчивости) и современная теория ЛФДУП приводят к новым понятиям и методам в теории устойчивости.
Более подробно предлагаемый нами подход к задачам устойчивости решений ЛФДУП Lx = f состоит в следующем. Всюду далее предполагается, что линейное многообразие всех решений уравнения Lx = f при всех f из множества L всех локально суммируемых функций z : [0, то) ^ Rn определяется формулой Коши
t
x(t) = У C (t,s)f (s)ds + X (t)x(0). о
Интегральный оператор (Cf)(t) = /Q C(t, s)f (s)ds называют оператором Коши, его ядро C(t, s) —матрицей Коши, n х n— матрицу X(t), столбцы которой составляют n линейно независимых решений однородного уравнения Lx = 0, называют фундаментальной матрицей.
Зафиксируем некоторое модельное ЛФДУП L0x = z, для которого известны фундаментальная матрица X0(t) и матрица Коши C0(t, s) . Зафиксируем также некоторое подпространство B пространства L. Линейное многообразие D(Lo,B) всех решений x модельного уравнения L0x = z при всех z € B определяется равенством x(t) = fQ C0(t,s)z(s)ds + Xo(t)x(0). Таким образом, D(Lo,B) = CoB + XoRn, где оператор Xo : Rn ^ D определен для любого а € Rn равенством: (X0a)(t) = X0(t)a. Пространство D(L0,B) будет банаховым, если B — банахово пространство, причем
I|x||d(£o,B) = IILoxIIb + ||x(0)||Rn.
Линейное многообразие D(L, B) всех решений уравнения Lx = f при всех f € B определяется равенством D(L, B) = CB + XRn. Для широких классов уравнений Lx = f многообразия D(L, B) при фиксированном B совпадают. Более того, нормы в этих пространствах эквивалентны. Такие пространства естественно считать совпадающими (равны-
ми). Решения этих уравнений обладают в некотором смысле одинаковыми асимптотическими свойствами. В [5], §2.1, в предположении ограниченности оператора L : D(Lo,B) ^ B показано, в частности, эквивалентности утверждений о совпадении пространств D(Lo,B) и D(L, B) и существования ограниченного обратного оператора (LCo)-i : B ^ B.
Совпадение пространств D(Lo,B) и D(L,B) решений модельного уравнения и исследуемого уравнения Lx = f получило название Do- устойчивости (или Do- свойства) [5]. Do- устойчивость при соответствующем выборе модельного уравнения и пространства B гарантирует устойчивость по Ляпунову (или, соответственно, асимптотическую или экспоненциальную устойчивость).
В основе многих приведенных результатов лежит преобразование уравнения Lx = f к эквивалентному уравнению вида
x = W (Lo — L)x + g, (1i )
либо к уравнению вида
z = (Lo -L)Wz + n. (1r)
Согласно традициям Пермского Семинара преобразование уравнения Lx = f к уравнению (1¿) получило название «левый» W -метод, а преобразование уравнения Lx = f к уравнению (1r) — «правый» W -метод. В теории линейных операторных уравнений такие преобразования соответственно называются левой и правой регуляризацией (задачи, оператора).
Сведение к ЛФДУП
Запишем абстрактную ЛГФДСП в виде
Lux + Li2y = x - Fiix - Fi2y = f, L2ix + L22y = Ax - F2ix - F^y = g. (1)
Здесь и ниже Rn — пространство векторов а = col{ai, ...,ап} с действительными компонентами и с нормой ||а||к" . Пусть пространство L локально суммируемых f, g, y : [0, то) ^ Rn с полунормами ||f ||l[o,t] = /o If (t)||Rn dt для всех T > 0. Пространство D локально абсолютно непрерывных функций x : [0, то) ^ Rn с полунормами ||x|d[o,T'] = = ||xHl[o,t] + ||x(0)для всех T > 0. Операторы Lii,Fii : D ^ L, Li2,Fi2 : L ^ ^ L, L2i,F2i : D ^ L, L22,F22 : L ^ L предполагаются линейными непрерывными и вольтерровыми. Обозначим (Ay)(t) = y(t) - y(t - h) , где t ^ h > 0, и (Ay)(t) = y(t) , t € [0, h) .
Пусть модельное уравнение [5], [6] Liix = z и банахово пространство B с элементами
из пространства L ( B С L, и это вложение непрерывно) выбраны так, что решения этого
уравнения обладают интересующими нас асимптотическими свойствами.
Например, sup ||x(t)||Rn < то, то есть x € C, где C — банахово пространство непре-t>o
рывных и ограниченных функций x : [0, то) ^ Rn с нормой ||x||c = sup ||x(t)||Rn. Тогда,
t>o
положив Liixd=f x + x = z , принимаем в качестве банахово пространство B банахово пространство Lœ измеримых и ограниченных в существенном функций z : [0, то) ^ Rn с
нормой vrai sup ||z(t)||Rn < то. Пространство D(Lii,Lœ) , порождаемое модельным урав-t>o
нением, будет состоять из решений вида
t
x(t) = (Wiiz) (t) + (Uiix(0))(t) = J e-(t-s)z(s) ds + x(0)e-t (x(0) € Rn, z € Lœ).
0
Эти решения ограничены ( sup ||x(t)||Rn < œ ) и их производная x = — x + z принад-
t>0
лежит пространству Lœ . Все решения этого уравнения образуют банахово пространство с нормой
||x|b(L1bLœ) = vrai sup | |x(t) + x(i)||Rn + ||x(0)||Rn < œ, t>0
которое линейно изоморфно пространству С.Л. Соболева Wc^)[0, œ) с нормой
||x||W(1)[0_) = sup ||x(i)||Rn + vrai sup ||x(t)||Rn.
Дальше будем это пространство обозначать как . При этом, С D, и это
вложение непрерывно.
Предположим, что общее решение ЛФДУП Lux = z для z € L принадлежит пространству D и представляется формулой Коши:
t
x(t) = (Wiiz) (t) + (Unx(0))(t) = У Wn(i, s)z(s) ds + Un(i)x(0).
0
Аналогично можно для банахова пространства B С L можно ввести банахово пространство D(L11,B) с нормой
||x||d(Lii,b) = ||Lii x||b + ||x(0)||Rn.
Здесь вложение B С L непрерывно. Предположим, что оператор W действует из пространства B в пространство B , и оператор U действует из пространства Rn в пространство B . Это условие эквивалентно тому [5], §4.6, 4.7, [6], что пространство D(Lii,B) линейно изоморфно пространству С.Л.Соболева W(i)[0, œ) с нормой |М|^(1)[0те) = ||x||B + + ||x||b .
Дальше будем это пространство обозначать как Wb . При этом, Wb С D, и это вложение непрерывно.
Операторы Lii , L2i , Fii , F2i : D ^ L рассматриваются как приведения на пару (Wb, B) : Lii , L2i , Fii , F^i : Wb ^ B . Операторы A, Li2 , L22 , Fi2 , F22 : L ^ L также рассматриваются как приведения на пару (B, B) : A, Li2 , L22 , Fi2 , F22 : B ^ B предполагаются линейные вольтерровые (см. [5], §1.1) и ограниченные.
Поставим задачу, когда для уравнения (1) при любом {/, g} € B xB ее решения {x,y} € € Wb x B .
Рассмотрим второе уравнения L2ix + L22y = g . Будем считать, что оператор L22 : B ^ ^ B вольтеррово обратим, то есть, существует L—i : B ^ B и оператор L-1 : B ^ B вольтерров (см. [5], §2.4).
Тогда это уравнение запишется в виде L-2iL2ix+y = L-2ig . Выразим y : y = —L-2iL2ix+ +L-2ig , и подставим в первое уравнение Liix+Li2y = / : (Lii —Li2L-2iL2i)x = /—Li2L-2ig .
Обозначим L = Lii — Li2L-2iL2i и /i = / — Li2L-2ig . Получили уравнение Lx = /i .
Предположим, что вольтерров оператор L : Wb ^ B вольтеррово обратим, то есть, если для уравнения Lx = /i при любом /i € B его решения x € WB и оператор L-i : B ^ WB вольтерров, где WB = {x € WB,x(0) = 0} .
Таким образом, мы решили задачу, когда для уравнения (1) при любом {/, g} € B x B его решение {x, y} € WB x B.
П р и м е р 1. Рассмотрим два уравнения:
(Liix)(t) + (Li2y)(t) = x(t) + ax(t — t) + by(t) = /(t), t ^ 0, т > 0, x(£) = 0, £ < 0,
(жг(t) = x(t - т), t ^ т, жг(t) = 0, 0 < t < т)
(Lnx)(t) + (L12y)(t) = £c(t) + ахт(t) + by(t) = f (t), t ^ 0,
f € L^, x,x € L^, D(Ln,L^) = ^ 0 < ат < n/2,
(L2ix)(t) + (¿22y)(t) = cx(t) + y(t) - (Sy)(t) = g(t), t ^ 0,
где оператор (Sy)(t) = dy(t - h), t ^ h, (Sy)(t) = 0 , t € [0, h).
Рассмотрим оператор S : L^, ^ L^, . Известно, что оператор (/ — S) : L oo * lqo вольтеррово обратим тогда и только тогда, если спектральный радиус оператора р^ (S) в пространстве L^, = L^[0, то) меньше единицы: (S) < 1 [11], 4.2.3, 4.4.3; [12]. Для оператора S условие р^(S) < 1 эквивалентно неравенству |d| < 1 [12].
Выполним преобразование Lx = (L11 — L12L-21L21)x = f — L12L-21g = f1. Запишем в исходных терминах:
(Lx)(t) = x(t) + ажг(t) - bc((1 - S)-1x)(t) = (t), t ^ 0. (2)
Перепишем его так: (Lnx)(t) = ¿(t)+oar(t) = bc((1 -S)-1x)(t)+f1(t). Здесь (Lnx)(t) = = x(t)+axT(t) = z(t) — модельное уравнение, а это — x(t) = U11(t)x(0)+ f^ W11 (t,s)z(s)ds — формула Коши для него. Обозначим W11(t,s) = Ca,T)11(t, s). Положив х(0) = 0 x(t) = = bc Jq Ca,T)11(t, s)((! - S)-1x)(s)ds + f3(t), мы уравнение Lx = f1 свели левой W-подстановкой к операторному уравнению.
Дадим оценку нормы оператора Коши уравнения L11x = f1 :
t
||CajT,11||L^^C = sup / |Ca,T,11(t,s)|ds.
t^o 7 o
Из результата С.А. Гусаренко [13] следует: ||Ca)T)11||L^^c = о"(т)/а ^^ 0 < ат < п/2, ^(т) = ||c1,t,11||l„^c, ^(т) = 1 ^^ 0 < т < 1/e.
Далее оценка нормы в операторном уравнении дает такой результат: |Ьс|ст(т)/(а(1 - |d|)) < 1. А это значит |bc| < а(1 - |^|)/ст(т), то есть это достаточное условие, что при любом f1 € L^, ее решения x € wl^, . Таким образом, мы решили задачу, когда для системы уравнений при любом {f, g} € L^, х L^, её решения {x,y} € wl^ х L^, . Подействуем оператором (/ - S) : L^, ^ L^, на уравнение (2), получаем уравнение
x(t) - (S£fc)(t) + ахт(t) - a(SxT)(t) - bcx(t) = f2(t) = f1(t) - (Sf^(t), t ^ 0.
Соответствующий характеристический многочлен (квазиполином) имеет вид
Л + а1 + а2е"Лт + азЛе"Л(^+т) + аДе"^,
где а1 = -bc, а2 = а, а3 = -ad, а4 = - d. П р и м е р 2. Рассмотрим два уравнения:
(Lnx)(t) + (L12x)(t) = x(t) + a1x(t) + a2x(t-т)+ by(t) = f(t), t ^ 0, т > 0, x(£) = 0, £ < 0,
(Lnx)(t) + (L12x)(t) = xx(t) + a1x(t) + а2Хт(t) + by(t) = f(t), t ^ 0, f € L^, x,x € L^, D(Ln,L^) = ^ {a1,a2} € A, (A — это угол Андронова - Майера на плоскости двух параметров [14])
(L21X)(t) + (L22y)(t) = cx(t) + y(t) - (Sy)(t) = g(t), t ^ 0.
Введем обозначения:
(£пж)(£) = ж(£) + а1ж(£) + жг (¿), (£12 у)(£) = Ьу(^),
(£21 ж)(*) = сж(*), (^22У)(^) = у(*) - (Бу)(*).
Выполним преобразование £ж = (£11 — £12£-21£21)х = / — £12£-21^ = /1. Запишем в исходных терминах:
(£ж)(£) = ¿(¿) + А1 ж(£) + А2Жг(¿) — Ьс((1 — 5)_1ж)(£) = /1(^), £ ^ 0. (3)
Примем за модельное уравнение (£иж)(£) = ж(£) + а^^) + а2жт(¿) = ¿(¿), £ ^ 0. Обозначим через з) = Са1 ,а2,т,11 з) — функцию Коши модельного уравнения. Сделаем в модельном уравнении подстановку ж(£) = у(£)е-а1*, ¿(¿) = и^е-"1*, а1 > 0. Тогда модельное уравнение примет вид у(£) + а2е"1тут(¿) = «(£), £ ^ 0.
Возьмем р = а2е"1т , обозначим через (¿,8) функцию Коши этого уравнения. Из результатов С.А. Гусаренко [13] следует, что ||^р>т= 0"(т)/р ^ 0 < рт < п/2. Отсюда следует НСа^.т.пНь^с = ||^Р)тНь^с/«1 = а(т)/(а1р). Положим ж(0) =0 , г = /1 + Ьс(1 — Б)-1ж , тогда
ж(*) = Ьс ГС^тд^,«)((/ — 5)-1 ж)(з)йз + /э(^). Jo
Оценим норму оператора, стоящего справа, она будет меньше 1, если 0 < р = а2е"1т < п/2 и й1 > 0, и выполняется неравенство
|Ьс| < А1р(1 — |й|)/ст(т) ^ |Ьс| < а^е^(1 — |й|)/ст(т).
Таким образом, мы решили задачу, когда для системы уравнений при любом {/, $} € € х её решения {ж, у} € ^^ х .
Подействуем оператором (/ — 5) : ^ на уравнение (3), получаем уравнение
ж(£) — ¿же+ (а1 — &с)ж(£) + а2жт(¿) — а^ж^) — а2йж^+т(¿) = /2(£), £ ^ 0.
Соответствующий характеристический многочлен (квазиполином) имеет вид
Л + а1 + а2е"Лт + аэе_лл + а4е-л(л+т > + одЛе"^,
где а1 = а1 — Ьс, а2 = а2 , = —, а4 = —а2й, а4 = — й. ПримерЗ. Рассмотрим два уравнения:
(£пж)(*) + (£12у)(*) = ж(*) + «1ж(*) + а2жт(¿) + (¿) = /(¿), ^ ^ 0, т,т1 > 0, / € Ьте, ж, ж € Ьте, £(£ш Ьте) = ^ {«1, «2} € А, (£21 ж)^) + (£22У)(^) = сжт2 (¿) + у(^) — (Бу)(*) = £ ^ 0, Т2 > 0. Как раньше, запишем в исходных терминах:
(£ж)(^ = ж(£) + «1 ж(£) + а2жт(¿) — Ьс((1 — 5)-1жт2)т1 (¿) = /1^), ^ ^ 0. Подействуем оператором (/ — Б) : Ь ^ ^ Ь^ , получаем уравнение
— + а^^) + а2жт(¿) — а^ж^) — а2йж^+т(¿) — Ьсжт1+т2(¿) = /2(£), £ ^ 0.
Соответствующий характеристический многочлен (квазиполином) имеет вид Л + а1 + а2в-Лт + аэв-л^ + а4в-Л(^+т) + а5е-л(т1+т2) + одЛе-^,
где а1 = а1, а2 = а2 , = —, а4 = —а2й, а5 = —Ьс, од = — й.
Примем за модельное уравнение (С0ж)(*) = ж(*) + ^ж^) + а2жт(¿) = * ^ 0. Обозначим через з) = С01;а2)Т)11(^, в) — функцию Коши модельного уравнения.
Из результатов С.А. Гусаренко [13] и вышеизложенного, следует: р = а2е"1Т, ^Р)Т(¿,8), ||Жр>т= г(т)/р ^ 0 < рт < п/2, ||С„1
Положим ж(0) =0 , г = /1 + Ьс((1 — Б)-1жТ2)Т1 , тогда
г
ж(*) = Ь^Са1,а2,т,11(^, ^)((/ — Б)-^)т1 (з)^ + /э(*)-0
Оценим норму оператора, стоящего справа, она будет меньше 1, если 0 < р = а2е"1Т < п/2 и й1 > 0, и выполняется неравенство
|Ьс| < А1р(1 — |й|)/ст(т) ^ |Ьс| < а^е"17"(1 — |й|)/ст(т).
Таким образом, мы решили задачу, когда для системы уравнений при любом {/, $} € € х её решения {ж, у} € х .
Сведение к линейному разностному уравнению с последействием
Операторы £11 , С21 : Б ^ Ь , рассматриваются как приведения на пару (^в, В) : Сп , С21 : ^ В , предполагаются линейные вольтерровые и ограниченные. Операторы С12 , С22 : Ь ^ Ь также рассматриваются как приведения на пару (В, В) : С12 , С22 : В ^ В , предполагаются линейные вольтерровые и ограниченные.
Предположим, что общее решение уравнения Сцж = / для / € Ь принадлежит пространству Б и представляется формулой Коши:
г
ж(*) = (Иц /) (¿) + (ипж(0))(*) = / 8)/(8) йз + ип(*)ж(0).
Из первого уравнения в системе (1) выразим ж : ж = и11ж(0) + Ии/ — ИиС12у. Подставим значение ж во второе уравнение в системе (1):
¿21ж + ¿22 у = ¿21иПж(0) + ^21^11/ — ^21Иц^12У + ¿22у. Получим уравнение вида Су = 51 , где
С = ¿22 — ¿21Ип£12, 51 = 5 — ^21^11/ — ¿21ипж(0).
Предположим, что вольтерров оператор С : В ^ В вольтеррово обратим, то есть, если для уравнения Су = 51 при любом 51 € В его единственное решения ж € В , и оператор С-1 : В ^ В вольтерров. Таким образом, мы решили задачу, когда для уравнения (1) при любом {/,5} € В х В её решения {ж, у} € х В . П р и м е р 4. Рассмотрим два уравнения:
(£иж)(*) + (С12у)(*) = ж(*) + а1ж(;0 + а2жт(¿) + Ьут1 (¿) = /(¿), * ^ 0, т,т1 > 0,
f € Lx,x € L^, D(Cn,L^ Wlх ^ {a^} € А, (C2lx)(t) + (C22V)(t) = СГ2x(t) + y(t) — (Sy)(t) = gi(t), t ^ 0, Т2 > 0. Возьмем уравнение Ly = g1, где L = L22 — L21W11L12, и получим
hT2 (t)
y(t) — (Sy)(t) — bc J Wn(t,s)yT1 (s)ds = g1(t), t ^ 0, о
где Ht2(t) = t — T2, t — T2 > 0, Ht2(t) =0, t — T2 ^ 0.
Здесь W11(t,s) = Caiia2iTi11(t, s) — функция Коши модельного уравнения (L11x)(t) = = x(t) + a1x(t) + a2xT(t) = z(t), t ^ 0, a1 > 0. Из результатов С.А.Гусаренко [13] следует, что ||Wp,T||l^C = &(t)/p & 0 < pT < П/2. Отсюда Следует ||Caba2,T,11||L^C = II Wp,T ||l„^CM = a(T)/(a1'p).
Обозначим (Ky)(t) = bc J0hT2(t) Cai,a2iTi11(t, s)yT1 (s)ds . Предположим, что 0 < p < n/2 . Найдем оценку нормы 11(I — S)-lK:
11 (I — S )-1K IIl^l» < ||(1 — S)-1||l^l» ■ ||K < ■ |bc| ■ ^.
1 — |d| a1p
Получаем, что норма оператора Ц(1 — S)-1Kменьше 1, когда
I bc | < a1a2eaiT (1 — Щ)/о(т).
Итак, имеем, что для любого g1 € Lрешение y уравнения Ly = g1 принадлежит пространству L. Таким образом, мы решили задачу, когда для уравнения при любом {f,g} € L^ х L^ её решения {x,y} € Wlx х L.
ЛИТЕРАТУРА
1. Марченко В.М., Луазо Ж.Ж. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 5. C. 728-740.
2. Ларионов А.С., Симонов П.М. Устойчивость гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием (ГФДСП) // Вестник РАЕН. Темат. номер «Дифференциальные уравнения». 2013. Т. 13. № 4. С. 34-37.
3. Симонов П.М. Устойчивость линейных гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием (ЛГФДСП) // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2670-2672.
4. Ларионов А.С., Симонов П.М. Устойчивость гибридных функционально-дифференциальных систем с последействием (ГФДСП). II // Вестник РАЕН. Темат. номер «Дифференциальные уравнения». 2014. Т. 14. № 5. С. 38-45.
5. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Перм. ун-т, 2001. 230 с.
6. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А.В. Устойчивость линейных систем с последействием. IV // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 2. C. 196-204.
7. Массера Х.Л., Шеффер Х.Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. 456 с.
8. Крейн М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3. вып. 3 (25). С. 166-169.
9. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.
10. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.
11. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. 168 с.
12. Курбатов В.Г. О спектре оператора суперпозиции. Воронеж. 1979. 21 с. Деп. В ВИНИТИ 05.12.79. № 4317-79.
13. Гусаренко С.А. Признаки разрешимости задач о накоплении возмущений для функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1987. С. 30-40.
14. Андронов А.А., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. № 2. 3. С. 95-106.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке ЗАО «ПРОГНОЗ».
Поступила в редакцию 5 мая 2015 г.
Simonov P.M. TO A QUESTION ON STABILITY OF HYBRID FUNCTIONAL DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH AFTEREFFECT
The abstract hybrid system of the functional differential equations is under discussion. W -method is used to obtain conditions for solvability of such systems in couples of spaces. Simple examples of two equations are considered. The problem is reduced to an equation with one variable.
Key words: hybrid system of functional differential equations; solvability in couple of spaces; model equations' method.
Симонов Петр Михайлович, Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры информационных систем и математических методов в экономике, e-mail: [email protected]
Simonov Pyotr Mihkailovich, Perm State National Research University, Perm, the Russian Federation, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Information Systems and Mathematical Methods in Economics Department, e-mail: [email protected]
УДК 330.101.52
МОДЕЛИРОВАНИЕ СЕКТОРА «ДОМАШНИЕ ХОЗЯЙСТВА»
© П.М. Симонов, М.Н.Шульц
Ключевые слова: общее экономическое равновесие; вычислимые модели общего равновесия; домашние хозяйства.
В статье рассматривается использование общеравновесной теории для построения и анализа модели функционирования домашних хозяйств.
В последние десятилетия в экономической науке всё больший вес приобретают модели общего экономического равновесия. Данный класс моделей обладает рядом неоспоримых преимуществ, которые позволяют разрабатывать комплексные модели экономических систем.
В нашей статье мы рассмотрим существующие подходы к моделированию, а также предложим собственный способ описания поведения сектора домашние хозяйства.
В основе построения моделей общего экономического равновесия лежит принцип агент-ного описания экономики. Вся экономическая система представляется в виде взаимодействия и взаимосвязей между экономическими агентами. При этом каждый действующий субъект — экономический агент — ставит перед собой цели функционирования в экономике, и его поведение поддаётся математическому описанию.
