Устойчивость консервативных систем с циклическими координатами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

Л.Д. Блистанова, Л.Г. Каляда, А.И. Нечаев, М.В. Стрекопытова, Н.Г. Ужегов

УСТОЙЧИВОСТЬ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ

КООРДИНАТАМИ

L.D. Blistanova, L.G. Kalyada, A.I. Nechaev, M.V. Strecopitova, N.G. Uzhegov

St. Petersburg State University, 35 Universitetsky Pr., St. Petersburg, 195251, Russia

THE STABILITY OF CONSERVATIVE SYSTEMS WITH CYCLIC

COORDINATES

В данной статье производится исследование консервативных систем с циклическими координатами на устойчивость. Показано, что задача о построении управлений, обеспечивающих существование заданного многообразия, сводится к построению управлений, обеспечивающих движение с заданным импульсом.

СООТНОШЕНИЕ. СИСТЕМА. ВЕЛИЧИНА. ФОРМА. СКОРОСТЬ. СВЯЗЬ. ИМПУЛЬС.

The given article focuses on the investigation for stability of conservative systems with cyclic coordinates. The problem on construction of controls maintaining the existence of diversity predetermined has been demonstrated to reduce to that construction maintaining the motion with the momentum predetermined.

RELATIONSHIP. SYSTEM. VALUE. FORM. SPEED. CONTACT: MOMENTUM.

Рассмотрим консервативную систему, состояние которой задается при помощи т позиционных координат qj (] = 1,..., т) и п-т циклических qa (а = т +1,..., п). Движение такой системы описывается уравнениями Гамильтона

дН . дН

Qj dPj

(1)

где Н = Н (рх,..., рп ,q1,...,qm). Пусть Н - положительно определенная функция переменных

Р^..^ Рп ^...^т равномерно по Рт^..^ Рп .

Пусть также функции дН и дН обращаются

8р] дqj

в нуль при р1 =... = рт = q1 =... = qm = 0 . Тогда у системы (1) есть семейство стационарных движений

Р1 = Р2 =...=Рт = ql = q2 =...=qm = (2) дН

Ра = pa, qa = ~Г±-1°) + qa, а = т + ^

дРа

представляющее собой 2(п - т)-мерную плоскость в фазовом пространстве системы (1).

Будем считать, что семейство (2) устойчиво, если по любому е> 0 можно указать 8 > 0 та-

т

кое, что при X | Р° | +1 q° |< 8 будет выполнять-

j=1

ся при 1 > 0 следующее неравенство:

т

X | Р] (1, Р °,q 0)| + ^- (1, Р °,q 0)<е ■ j=1

Если же 8> 0 можно выбрать так, чтобы последняя сумма стремилась к нулю при 1 , то

семейство (2) будем называть асимптотически устойчивым. При сделанных выше предположениях относительно функции Н можно показать, что семейство (2) устойчиво [1].

Рассмотрим систему следующего вида:

Рг =-дН-ЦЙ; йг =дН (Ц>0), (3)

др1

которая совпадает с системой (1) при ц = 0.

Пусть Й = Й(Р1,...,рт&!,...,) обращается в нуль при

Р1 = ... = Рт = Я.\ = ... = Ут = 0 ■

Тогда система (3) имеет семейство стационарных движений (2). Наша задача будет состоять в исследовании этого семейства на устойчивость.

Теорема 1. Если функция

п 5Н г=1

является неположительной, то семейство (2) системы (3) устойчиво. Если же и - отрицательно определенная относительно переменных Р] (] = 1,..., т), то семейство (2) системы (3) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Продифференцировав функцию Н, в силу системы (3) убеждаемся, что она удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости в первом случае и об асимптотической устойчивости — во втором [2].

По теореме о канонической структуре векторного силового поля функции Qi могут быть представлены в следующем виде [3]:

й=дй+^, л• г'

п

где Яг — гироскопические силы, т. е. ^ = 0.

г=1

Будем считать, что функции 0г могут быть разложены в ряды по степеням величин ..., о[т так, что

Й = ТУ(к ](С11,...,С1т ) ■

Здесь V(к) представляют собой однородные формы степени к относительно величин ¿¡1,..., ¿[т .

Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Если при сделанных выше предположениях относительно функции Hфункция V(2) является отрицательно определенной относительно величин qi,..., qm равномерно относительно р1,..., pn ,qm+v...,qn, то семейство (2) системы (3) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Покажем, что

m

2 =£|p(t,p0,q0)| + | 4j(t,p0,q°)| ^ 0

j=

при t . Другими словами, по любому е> 0 можно указать Т(е) > 0 такое, что 2t < е при t > T(е). Отметим, что, зафиксировав е, мы можем найти X = infE M . Тогда по непрерывности Н существует 8(е) такое, что H <X при

2t <8.

t0

Возможны два случая.

1. Существует Ттакое, что Ъг <8 при £t < 8

и, следовательно, 2t < е Vt > Т, поскольку H— невозрастающая.

2. Не существует такого Т, т. е. Vt > t0 всегда будет 2t >8. В этом случае заметим, что по условию теоремы функция

dH = " dH dQ

dt г=1 др^ d([i

удовлетворяет в окрестности начала координат неравенству

dH < , пч

-<-а (а> 0),

dt

интегрируя которое, получаем: H < -a(t -10) + H0.

(4)

Так как > 8 и Н — положительно определенная, то Н(р($ )) >р> 0 . Правая же часть неравенства (4) при t стремится к -да . Это противоречие и показывает, что случай 2 невозможен, т. е. имеет место случай 1, соответствующий тому, что ^ 0 при t .

Теорема 2 доказана.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда семейство стационарных решений (4) системы (1), в которую переходит система (3) при ц = 0, не является устойчивым.

Укажем условия, при которых силовая функция Й будет обеспечивать требуемое каче-

ство движения системы (3) в окрестности семейства (2). Параметр ц в этой постановке считаем равным единице.

Перепишем систему (3) в виде системы уравнений Лагранжа второго рода:

й дТ дТ л л 5П ...

----= (, (( = — + (; (5)

й1 дqi дqi

дЬ

= 0, a, I = т +1,..., п,

где

Т(2) = 2(й,...^п )* ЖЯ1,...Ап )

есть положительно определенная квадратичная форма значений С[1,..., ¿п; Т(1) — линейная форма

п

этих величин; Т(1) =Х аг, Т0 = Т 0(с1,..., ¿п ) —

I=1

свободный член, не зависящий от обобщенных скоростей Сь...,С_п .

Предположим, что обобщенные силы (¿1,..., (>п определяются по формулам

а =м+^^,

л • I '

где 0 = (ка V(к) — однородные формы

к=1

степени £ относительно ^,..., , причем

К(1) =-х

Л

(п+т(0)))

¿1 = ¿2 = ... = qm = ¿1 = ¿2 = ... = йт = 0 > (6)

Ca ="

5Н0

^ qa = -

5Н0

(1 -+ qa, a = т +1,..., п,

где Ь = Т - П — функция Лагранжа. Кинетическая энергия такой системы может быть представлена в виде

Т = Т (2) + Т (1) +Т (0)

дР a ^

системы

й_ Т Т дП

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:

1) квадратичная форма Т(2) значений ¿11,..., ¿т имеет положительно определенную матрицу А, равномерно ограниченную в окрестности (6);

2) квадратичная форма V(2) отрицательно определена по отношению к ¿1,..., ¿[m равномерно по йт+l,...,4п;

3) квадратичная форма П(г) положительно определена по отношению к величинам ¿1,..., ¿[т.

Тогда многообразие (6) является устойчивым, причем для движений, начинающихся в некоторой окрестности (6), справедливо выражение

xI с

I=1

J 1 1 ^<х>

->0 .

Доказательство. Подставим в систему (5) Ти ((, умножим на и просуммируем по [ от 1 до п. Получим

x с

;=1

й дТ(2) й дТ(1) дТ(0) ^ п . д((

- +

Л д[ & Отметим, что

1 У

= хс[д-.

1=1 дС

V (2) = V (1) +1 — Т (2) 2 дг '

Функция П разлагается в ряд П = X П(т),

т=1

сходящийся в окрестности множества

¿1 = ... = ¿т = 0.

Отметим, что устойчивость многообразия (2) системы (1) эквивалентна устойчивости многообразия

п . й дТ(2) дТ(2) дТ(2)

x с--=-+-.

г=1 й1 д[ й1 д1

Отсюда имеем равенство

йТ(2) дТ(2) « . с дТ(0)

-+-+x [Щг

й1

дТ

;=1

дСг

= x ¿11 дг <П+Т(0))+ /=1

" , п . дК(2) дТ(2)

+x т + x ¿11 •

/=1 /=1 д

(7)

Следовательно,

й О-«+п)

Л г=1

Зафиксируем е > 0 и найдем

X = т£

X ;=11с ] \+\С] 1=0

т(2) +п.

и

, следовательно, X'"=11 С[} |< е V/ > Т, т. е.

X ,=1! 1] Н0 пРи

• да .

Но не существует такого Т, т. е. V/ > /0 спра-

т

ведливо XIС} 1>§>0, следовательно,

}=1

V(2) <-а (а> 0). Из выражения (8) имеем:

й(Т(2) +П) < -а' (а'> 0). йг

Интегрируя, получаем

Т(2) +п<-а'(г - /0) + т0(2) +п0.

Правая часть последнего неравенства стремится к -да при г нда. Левая же часть должна оставаться положительной по условиям теоремы. Полученное противоречие показывает, что возможен лишь случай 1 (см. теорему 2), т. е. XIС1] 0 при г нда.

Теорема 3 доказана.

Замечание. Под устойчивостью многообразия (6) мы понимали его устойчивость по отношению лишь к фазовым переменным с1, С2,..., Ст, но если понимать устойчивость (6) несколько шире, т. е. и по отношению к С[т+1,..., С[п, то справедливо следующее утверждение [1].

Теорема 4. Если Т(2) есть квадратичная

(8) форма значений с1,..., Ст

Са-

дНп

ф,

с положи-

а у

По свойствам функций Т(2) и п существует 8> 0 такое, что в окрестности С[} = с} = 0 выполняется неравенство

т

Т(2) +п< X при XI Сц | +1 С} 1< 8 .

}=1

Из устойчивости многообразия (6) следует, что Т(2) +п — невозрастающая функция. Тогда

т

Т(2) +п<Т0(2) +п0 <X при XIС? I +1С0 1<8,

}=1

тельно определенной, равномерно ограниченной в окрестности (6) матрицей А и если выполнены условия 2) и 3) предыдущей теоремы, то семейство (6) устойчиво по отношению к фазовым переменным [1, [2,..., [т, с[1,..., [п .

Рассмотрим теперь управляемую механическую голономную систему, описываемую системой уравнений Лагранжа 1-го рода [2]:

й дТ _ Т = йг д[} д[}

к

= й} (Сl,..., Ск, ^..., к,г)+x вли,

/=1

(9)

где } = 1,..., к, [1,..., [к — обобщенные координаты системы; с[1,..., С[к — обобщенные скорости; Т — кинетическая энергия; (к х к) -матрица В = {В}} является неособенной; и = (м1,..., ик) представляет собой вектор управлений [3].

Поставим задачу о построении управлений итаким образом, чтобы система (9) имела асимптотически устойчивое интегральное многообразие

с = п(с,г). (10)

Здесь и далее мы будем обозначать как [ — вектор обобщенных координат ([1,..., [к) , а [ — вектор обобщенных скоростей ([1,..., С[к). Вектор обобщенных сил (01,..., йк) обозначим й.

Кинетическая энергия Т системы (9) определяется соотношением

г=^т^г!2,

I=1 2

где п — число точек системы, т/ — масса /-й точки, г{ — радиус-вектор этой точки в правой декартовой системе координат Оху1.

Мы будем считать, что в общем случае система подчинена реономным связям г{ = г{ (с,г). Тогда кинетическая энергия системы предста-вима в виде

г = Г2 + г + г0.

где г2 = С А(с, 1 )С — квадратичная форма обоб-

к

щенных скоростей с[1,..., ¿[к, г1 = XЩ(¿,1)[ —

■=1

линейная форма обобщенных скоростей, а г0 представляет собой члены, не зависящие от величин ¿1,..., ¿[к. Заметим, что если связи являются стационарными, т. е. г = г (с), то Т = Т2.

Перепишем уравнение (9) в форме Гамильтона:

(j "f' Р'=-f~+ÖJ'B«uJ=- * • (11)

v} i=1

где величины pk называемые обобщенными импульсами, определяются соотношениями

Pj =

dT

dq j

(12)

При условии существования многообразия (13) у системы (11) выполнено соотношение

дп j * d%j dH *

dt ,=i dqt dqt J J

i=1

Положим

Uо = B

-1

dH(t,q,п) „ дп дп ^ —^^-q+—+—nl; (14)

dq dt dq J

U = U0 -k(p-п).

(15)

Параметр к будем называть коэффициентом усиления. Подставим уравнение (15) в систему (11), получим следующие соотношения [5]:

. дН . . .

С = —, p = п-k(p-п). др

(16)

а функция Н определяется соотношением [4]:

Н = Xpг■ -Т.

■=1

В соотношении (11) заменим обобщенные скорости ¿1,..., ¿[к на величины ^ (Р, ¿, 1), получаемые из уравнений (12) при решении их относительно величин ¿[1,..., ¿¡к. Таким образом, мы получим функцию Н в виде Н = Н (1, ¿, р) . Заметим, что, задавая многообразие (10), мы тем самым задаем импульсы Рj для системы (12):

Р1 =Пj (1 ,с) . (13)

Таким образом, задача сводится к построению управлений, обеспечивающих движение с заданным импульсом.

Система (13) имеет при к > 0 устойчивое интегральное многообразие (13), определяемое соотношениями (10). Для доказательства этого факта достаточно продифференцировать положительно определенную функцию Ляпунова V = (Р - п)2 в силу системы (16). Мы получим, что производная этой функции является отрицательной величиной при к > 0 . Тем самым и доказывается асимптотическая устойчивость системы (16) по отношению к величине Р -п.

В данной статье исследована устойчивость консервативных систем с циклическими координатами. Показано, что задача о построении управлений, обеспечивающих существование заданного многообразия, сводится к построению управлений, обеспечивающих движение с заданным импульсом. Рассмотрены режимы стабилизации системы за конечное время.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зубов, А.В. Динамическая безопасность управляемых систем [Текст] / А.В. Зубов, Н.В. Зубов. — СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2009. - 172 с.

2. Зубов, А.В. Математические методы качественного анализа систем управления и устойчивость расчетных движений [Текст] /А.В. Зубов, С.В. Зубов. — СПб: АООТ «Мобильность-плюс», 2012. — 357 с.

3. Зубов, А.В. Математические методы качествен-

ного анализа систем управления и устойчивость расчетных движений [Текст] /А.В. Зубов, С.В. Зубов. — СПб: ВВМ, 2011. — 323 с.

4. Зубов, С.В. Анализ равновесных движений и расчетная устойчивость [Текст] /С.В. Зубов, М.В. Стрекопытова. — СПб.: СПбГУ, 2010. — 446 с.

5. Зубов, И.В. Анализ управляемых систем и равновесных движений [Текст] /И.В. Зубов, Н.В. Зубов, М.В. Стрекопытова. — СПб.: ВВМ, 2012. — 322 с.

БЛИСТАНОВА Лидия Дмитриевна — доктор физико-математических наук, профессор Санкт-Петербургского государственного университета факультета Прикладной математики — Процессов управления.

198504, г. Санкт-Петербург, Университетский пр., 35

КАЛЯДА Леонид Герасимович — аспирант Санкт-Петербургского государственного университета факультета Прикладной математики — Процессов управления.

198504, г. Санкт-Петербург, Университетский пр., 35

НЕЧАЕВ Алексей Иванович — аспирант Санкт-Петербургского государственного университета факультета Прикладной математики — Процессов управления.

198504, г. Санкт-Петербург, Университетский пр., 35

СТРЕКОПЫТОВА Мария Владимировна — кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета факультета Прикладной математики — Процессов управления.

198504, г. Санкт-Петербург, Университетский пр., 35.

ddemidova@mail.ru

УЖЕГОВ Николай Григорьевич — аспирант Санкт-Петербургского государственного университета факультета Прикладной математики — Процессов управления.

198504, г. Санкт-Петербург, Университетский пр., 35.

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013