Устойчивость и бифуркация рождения инвариантных торов из положения равновесия существенно нелинейного дифференциального уравнения второго по- рядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИЯ РОЖДЕНИЯ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРОВ ИЗ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА*

А. А. Дороденков

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

Введение

В работе [1] А. М. Ляпунов исследовал вопрос об устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения

х + х2п+1 = X (х, х), (1)

где п — натуральное число, X — малое возмущение осциллятора X + х2п+1 = 0. Бибиковым в работе [2] уравнение (1) изучалось при п =1 в случае, когда X(х, X, 4) — периодическая или квазипериодическая функция времени

Был изучен вопрос об устойчивости нулевого решения, а при наличии в возмущении X малого параметра — и вопрос об ответвлении при прохождении малого параметра через нулевое значение от положения равновесия х = 0 инвариантного тора. В настоящей

работе изучается уравнение (1) при п = 1/2. В этом случае невозмущенное уравнение

имеет вид х + х2 =0 и осциллятором не является. Для того чтобы превратить его в осциллятор, заменим х2 на функцию $(х) = x2sgnx, где

{1 при х > 0,

0 при х = 0,

— 1 при х < 0.

Таким образом рассматривается уравнение

х + д(х) = X (х,х,£,е), (2)

где X(4, х, х, е) = а1(£)хх + а2(4)х3 + аз(4)х2 + б^^ех + а4(4)х2х + &2(£)ех + . .. достаточно гладкая при |х| < х*, |х| < х*, 0 < е < е* функция, непрерывная, 2п-периодическая по 4, удовлетворяющая условию X(4,0, 0,е) = 0.

Предположим, что возмущение X имеет порядок малости не ниже пятого, если х приписывать второй порядок, х — третий, е — четвертый.

При е = 0 указан алгоритм построения постоянной, знак которой определяет наличие асимптотической устойчивости или неустойчивости положения равновесия осциллятора (теорема 2.1). При е > 0 построено уравнение, положительным корням которого соответствуют инвариантные торы, являющиеся носителями двухчастотных колебаний (теорема 5.1).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00734(2)).

© А.А.Дороденков, 2009

1. Постановка задачи

В системе

{X = у,

(3)

у = -0(ж) + X (ж,у,г,£),

соответствующей уравнению (2), введем полярные координаты

х = р2с(^), у = (4)

где функции С(у>), 5(<^>) определяются условиями

С' = -5, 5' = #(С), С(0) = 1, 5(0) = 0. (5)

Функции С, 5 имеют непрерывные вторые производные, периодичны с некоторым периодом 2^; С'(у’) — четная, 5(<^>) — нечетная и удовлетворяют интегральному соотношению

352 + 2С^пС = 2. (6)

Мы будем использовать следующее свойство: если для функции 5Р(<^>)С9(у>) хотя бы один из показателей р или ц является нечетным числом, то среднее значение для неё есть нуль. Действительно, пусть одно из чисел р или ц нечетное, другое — четное.

2о 2о о

Представим интеграл / 5РС9в виде суммы интегралов ^ 5РС9= £ 5РС9^ + 0 0 0

2о

^ 5РС9йу>. Сделав замену п = ^в первом интеграле и воспользовавшись свойствами

о

(2о

5(^ + у>) = —5(у>), С(ш + у>) = —С(у>), получим равенство / 5РС9= 0. Если же оба

0

числа р и ц нечетны, то утверждение вытекает из четности С(у>) и нечетности 5(у>). Выполним в системе (3) замену (4) и, используя тождество (6), получим систему

Р = ~Х(р2С(^, -Р35(^), *, е) 5(^),

3Р (7)

2

Ф = Р~^ Х{р2С^1 *>£) которая и подлежит исследованию. Наряду с системой (7) будем рассматривать ее автономный вариант или эквивалентное ей уравнение

ф_ -з^2 Х(р2С((р), -/э35(^), е) 5(у>)

^ Р ~ Зр3" Х(р2С(<р), — р35\<р), е) С(<р)

Используемые в дальнейшем функции, зависящие от 4, у>, являются периодическими с периодом 2п по 4 и 2^ по у>. Для таких функций мы будем использовать разложение

. (£,<£>) = Р + -Р(^) + .(£, у>), (8)

где . — среднее значение . по 4, у>, а . — среднее значение . — . по 4.

2. Устойчивость нулевого решения при £ = 0

Рассмотрим систему (7) при £ = 0, которую представим в виде

N

Р = Щ + °(^+ 1) (9)

8=3 ' '

= р + Ф2Р2 + 0(р3).

Здесь

Рз = ^СБ2, Р4 = —^-С3Б — ^-в3, Ф 2 = ІС2Б. (10)

3 3 3 ’ 3

Лемма 2.1. Существует замена

N

Р = г + ^ Л,(£, ф)Г, (11)

і=2

переводящая систему (9) в систему

N

г = ^ + 0(^ + 1),

,=5

ф = г + Ф2г2 + Фзг3 + 0(г4),

(12)

где д* —константы, = 2/3а]_С2 5 + ^ Рз^.

Доказательство. Продифференцируем замену (11) по 4. Получим равенство

N N Гдй, дЛ,

«Г+ 8?(г + *2’’3 + ---)

г4 +

+ 0(^+1) +^2

,=5 ,=2

+ *гг-1Л, I ^ ^г* + 0(^ + 1) ) = ^ рЛ г + ^ Л

N / N \ N / N

Г + ^ Л^Г

*=2 \*=5 / *=3 \ *=2 /

Приравнивая коэффициенты при г2, получаем уравнение дЛ^/д^: = 0, следовательно Л-2

зависит только от у>. Приравнивая коэффициенты при г3, получаем уравнение

<Нг2{ф) , дЪ^ф)

— += ы,’,л (13)

= Рз, дЛз/д4 = Р3. Для произвольного к, 3 < к < Ж, получим уравнение

(Шк-!(ф) д1к(г,ф _

9к Н----3------1-----777- — "к{1, Ф) + ¥>), (14)

а^> д4

где С к определена через ранее найденные Л*. Определим дк, 1ьк-1, Лк из уравнений

^± = Д + с*, ^г = А + ёк, 9к = Рк + ск.

Интегрируя первое уравнение по у>, определим Л^-1, интегрируя второе уравнение по где ^ — параметр, определим кк. При этом в уравнениях (13) и (14) при к = 4 постоянные из левой части равны нулю, так как из формул (10) вытекает Рз = Р4 + С?4 = 0, где С = 3Рз^2 — Лз(у>)/й<^ — ^2/0^2. Из выше описанного свойства функций 5РС9 следует, что С?4 =0. □

Теорема 2.1. Пусть дк —первое, отличное от нуля число последовательности д5,дв, ...,д^• Тогда если дк < 0, то нулевое решение уравнения (2) асимптотически устойчиво, а если дк > 0, то оно неустойчиво•

Доказательство. Из равенства 3Ж2 + 2ж3sgnж = 2р6 и из (9) после преобразований вытекает утверждение теоремы. Действительно, из того что г(4) монотонно убывает, следует, что ж(4, жо) также монотонно убывает. Выберем для любого е > 0 и любого £о число 6 = е, тогда из неравенства |ж(£, жо)| < |жо| < 6 вытекает устойчивость при

4 > 4о. Асимптотическая устойчивость следует из того, что мы можем взять столь малую полуокрестность нуля для г, что будет выполняться неравенство Г < д^/2г№,

откуда г (4) -> 0. □

ь—— ^

3. Предварительные преобразования при е > 0

Рассмотрим систему (7), которую запишем в виде

Сделаем замену переменных (11) при N = 5 и, использовав лемму 2.1, получим систему

где (^1 = — Ьі(£)/ЗС'(у>)5'(у>), <32 = £*2(^)/Зй'2. В системе (16) сделаем замену г = фє(а + г), а > 0. В результате преобразований получим

Здесь Ь = 21 М = 2^2-

Доказательство. Продифференцируем замену (18) по і. Получим равенство

5

р ф)рі + Є^1(і, ф) + ^2(і, ф)єр + О (р6 + єр2 + є2) ,

(15)

г = 55Г5 + є^1 + єг^2 + о (г6 + єг2 + є2),

(16)

г = є3/4^1(і, ф) + є21(і, ф) + єг22(і, ф) + О(є5/4 + єг2), Ф = є1/4а + є1/4г + 0(^і),

(17)

где 21 = а5^5 + а^2, 22 = 5а4^5 + ^2.

Лемма 3.1. Существует замена

г = у + є1/2Л(ф) + є3/4^2(і, ф) + є3/4уР(ф) + єуР(і, ф),

(18)

переводящая систему (17) в систему

у = єЬ(а) + єуМ (а) + О(є5/4 + єу2),

(19)

ф = є1/4а + є1/4у + О (у/є).

Приравнивая коэффициенты при е^,е и еу, получаем, соответственно, уравнения

<1Рг с>Р2 т 0-2 д—3 д—2 д—, , ,

а— д— д—2 д—, , ,

М + ТГ+я7 = ^2“7^“ я-1* *> ^ > аф дг дф дф

где У1(Г, ф), ^2(Г, ф) —известные коэффициенты при степенях е, еу соответственно. Неизвестные функции определяются аналогично доказательству леммы 2.1. □

Предположим, что З5<32 < 0. Решение уравнения Ь(а) = 0 есть а = а*, где а* = —<32/55. Получим систему

у = еМ*у + 0(е3 + еу2),

, , , “ (20)

ф = е4а + е4у + 0(л/е).

4. Существование инвариантной кривой в автономном случае при е > 0

Рассмотрим автономный вариант системы (15) и выполним аналогичные преобразования. Мы придем к системе (20). Теперь покажем для автономной системы (20) существование замкнутой кривой (периодического решения).

Исключив в (20) переменную Г, получим уравнение

^ = /Зу + е3/4У(ср, у, #£), аф

где в = е3/4М*/ а, а У(ц>,у, у/е)—периодическая по (р функция и У(у>, 0,0) = 0, дУ(в, 0,0)/ду = 0. Его решение имеет вид

V

у = у0е^ + е3/4 I у(з, У0, </е), </ё)&. (21)

0

Рассмотрим уравнение уо = у{0, уо, ^е) = у(2со, уо7 ^е) или

2^

Уо = у0е2и}/3 + £3/4 I (в,2/(в, уо, л/ё),

0

Далее, раскладывая экспоненту в ряд и деля на е3/4, получаем уравнение

2^

Р(уо, ^) = Уо ^ + •••)+/^{2ш~а)У(з,УО, №), ^8 = 0.

0

Из непрерывности дУ/ду и дУ/дфе вытекает, что ду/дуо также непрерывна. Следовательно, У(в,у(в,уо, у/е), \/е) = и(йтУОту^) и <9£/(в, у0, у/е)/ду0 непрерывны. Таким образом мы можем продифференцировать по у0 выражение под знаком интеграла.

Из формулы (21) получим, что и (в, 0, 0) =0 и ди (в, 0,0)/ду0 = 0. Следовательно, —(0,0) =0 и д—(0,0)/дуо = 2^М*/а. По теореме о неявной функции существует

окрестность точки (0,0), в которой уравнение Р(уо, у/&) = 0 определяет единственную непрерывную функцию уо = Уо(%/ё), причем уо(0) = 0. Таким образом, решение у = у(ф, уо(\/ё), \[&) есть периодическая функция.

Таким образом, доказана

Теорема 4.1. Для автономной системы (7*) при е > 0, для которой выполняется условие <7б&2 < 0, существует периодическое решение р = у/е{а* + А((р, уо, \/е))-

5. Существование инвариантной поверхности при е > 0

Вернемся к рассмотрению общего случая.

Лемма 5.1. Существует замена

у = и + еР(ф)+ е5/4—(Г,ф), (22)

приводящая систему (20) к виду

и = еМ *и + е5/4У! + 0(е5/4и + е3/2 + еи2), ф = ех!Аа + е1/4^ + О {у/е).

Доказательство. Продифференцируем замену (22) по Г. Получим

(23)

еМ*и + є5/4Уі + 0(є5/4м + є3/2 + єм2) + е—ф + є5/4 — + — ф

^ ■ 5/4 / дІ дІ

^+е (ж + а?,

= єМ *м + є5/4Уі + 0(є5/4м + є3/2 + єм2). Приравнивая коэффициенты при є5/4, получаем уравнение

- аІ дІ

1 аИ-------^ — !•

аф ді

Решаем его, как в доказательстве леммы 2.1, и получаем систему (23). □

Затем осуществим сдвиг

1/4 ЇІ

и = ч1-е' —

и получим систему

й і = єМ *м1 + є3/2У2 + 0(є3/2м1 + єм2),

(24)

Ф = Є1/4» + Є1/4^! + О {у/е).

Повторив несколько раз процедуру, аналогичную описанной при переходе от системы (20) к системе (24), в конечном счете получим систему

й 2 = єМ *м2 + 0(є5/4м2 + є9/4 + єм22),

(25)

Ф = Є1/4» + Є1/4М2 + О {у/е).

Пусть теперь

м2 = є«, (26)

тогда из системы (25) получим систему

г> = єМ *« + 0(є5/4),

(27)

ф = є1/4а + є1/2й1(і, ф) + є3/4й2(і, ф) + є^з(£, ф) + 0(є5/4).

(29)

Лемма 5.2. Существует замена

ф = Ф + є1/4Л(ф) + є1/2і2(і, Ф) + є3/4І3(І Ф) + єІ4(і, Ф), (28)

приводящая систему (27) к виду

г> = єМ *« + 0(є5/4),

ф = є1/4а + є1/2(-1 + є3/4<—2 + є<—3 + 0(є5/4).

Доказательство. Продифференцируем замену (28) по і. Получим є1/4а + є1/2й1(і, ф) + є3/4й2(і, ф) + єй3(і, ф) + 0(є5/4) =

= є1/4а + є1/2сіі(і, ф) + є3/4<і2(і, ф + є<їз(г, ф + 0(є5/4) + є^+

аф

1/2 / дІ2 дІ2 Л 3/4 ^ дІ3 дІ3 Л ^ дІ4 дІ4 •

+ £ ' (-5Г + + £' (-Ж + Ж-*) +'Е Ы + ^

Разложим в ряд функции ф (і, ф) по є1/4 до порядка 3 — к, где к =1, 2, 3:

гі’) + гі’)іЛ/4+

+ Л.-1'4 + *у» + о(£3'*).

дф2 дф

Приравнивая коэффициенты при є1/2, є3/4, є, получаем уравнения

- ОІ! дІ2 , , ,,

- дІ3 дА д2йі 2 , ^

(І2 + -г^а + ~^- + (І2 + Сфі, ф),

- ОІ3 дІ4 дйі дй2 д2й2 2

(із+#а+¥= д^2 + + + + С2(і’ #

Эти уравнения решаются, как в доказательстве леммы (2.1). □

Преобразовав систему (29), получим

г> = єМ *« + 0(є5/4),

(30)

ф = 7(є)+ 0(є5/4).

Система (30) удовлетворяет условиям теоремы 1 из [2] о существовании инвариантной периодической поверхности. Используя эту теорему и замены (26), (22), (18), (11), получаем

Теорема 5.1. Для системы (7) при є > 0, для которой выполняется условие -562 < 0; существует инвариантная периодическая поверхность р = фє(а* + В(і, ір, є)).

Таким образом, найдены условия, при выполнении которых при переходе малого параметра через нулевое значение происходит бифуркация рождения двумерного инвариантного тора.

1. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Собр. соч. Т. 2. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. С.272-331.

2. Бибиков Ю. Н. Локальные проблемы теории многочастотных нелинейных колебаний. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 180 с.

Статья поступила в редакцию 14 мая 2009 г.