Устойчивость и бифуркация положения равновесия одной существенно нелинейной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 1

МАТЕМАТИКА

УДК 517.925

УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ОДНОЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

А. А. Дороденков

С.-Петербургский государственный университет, соискатель, alex_math@mail.ru

Введение. Данная работа является продолжением работы [1]. В ней были изучены периодические возмущения осциллятора X+x2sgnx = 0. Рассматривались вопросы устойчивости по Ляпунову положения равновесия х = 0 осциллятора и бифуркация рождения инвариантного двумерного тора.

В настоящей работе полученные в [1] результаты распространяются на случай малых периодических возмущений системы

где А — постоянная гиперболическая матрица.

Найдена постоянная Ляпунова, знак которой указывает на наличие асимптотической устойчивости или неустойчивости, и построено уравнение, определяющее бифуркацию рождения инвариантного двумерного тора.

В работе [2] аналогичные результаты были получены при изучении малых периодических возмущений системы

где А — постоянная гиперболическая матрица.

1. Предварительные преобразования. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

хх = у, у = —х2 sgnx, X = Ах,

X = у, у = —х3, х = Ах,

© А. А. Дороденков, 2013

где г = (х\,...,хп)т — вектор, 0 < е — малый параметр, Х,У^ — нелинейности по х, у, е, причем разложение функции в ряд Тейлора не содержит степень х2. Функции Х,У^ достаточно гладкие при \х\ < х*, \у\ < у*, ЦгЦ < г*, 0 < е < е* и периодические по £ с периодом 2п. Кроме того, выполняется условие X(0,0, 0,е,£) = У(0, 0,0,е, £). Тем самым система (1) имеет положение равновесия х = 0, у = 0, г = 0 при любом допустимом е.

Пусть для матрицы А выполняются условия ИеА^ = 0, г = 1,...,п, где А^ — собственные числа матрицы А.

Сделаем, следуя А.М.Ляпунову [3], в системе (1) замену переменных

х = р2С(у), у = -р3Б(у),

где р > 0, а х = С (у), у = £(у) —решение системы

¿х ¿у 2

— = -у, ~т = х sgnж (2)

ау ау

с начальными данными С(0) = 1, £(0) = 0. Функции С, £ периодичны с некоторым периодом 2и>, и выполняется соотношение

3£2 (у) + 2С3(у^пС(у) = 2. (3)

Получим систему, которую можно записать в виде

' р = Рзр3 + Р4Р4 + Р5Р5 + Яге + Я2ер + Рг + Рхгр + 0(р6 + ер2 + е2)+ г2 ге

+ 0{? + гр2 + 7,

е г е2

ф = р+Ф2р2 +Фзр3 + + +в2е + Ф- +Ф1г + 0 [р5 + ер+—)+ (4)

р р р

г2 ге

р3 р3

г = Аг + 0(р4 + р2е + е2) + 0(гр2 + ег + г2).

Здесь и далее коэффициенты при степенях — периодические по у функции. Лемма 1. Существует .замена вида

г = ш + ^4р4 + ш р5 + ш р6 + ш^р7 + Шер2,

переводящая систему (4) в систему

р = Рзр3 + (Р4 + Рш4)р4 + (Р5 + Рю5 + РхЮ4)р5 + Яге + Я2ер+

ф = р+Ф2р + (Фз + Фт4)р3 + (Ф4 + Фи>5 + Ф1П!4)р4 + ©1- + ©2е+ (5)

р

22

е \ „ I ш ше

+ 0[ръ + £р+—)+0[—+у}р+ 3

р) \ р3 р3 8 , „3^ , ^ , гл(„..„2 , „„.. , „,.2ч

1«) = Аю + 0(р8 + р3е + е2) + 0(шр2 + ею + ш2).

Эта лемма как и все последующие доказывается методом неопределенных коэффициентов.

(6)

(7)

2. Существование двумерного инвариантного тора при e > 0

Лемма 2. Существует .замена вида

р = r + h2(v)r2 + hs(t, p)r3 + h4(t, p)r4 + h5(t, p)r5,

переводящая систему (5) в систему

( e3\ ( w2 we

r = gr5 + Qie + R2er + О (r6 + er2 + e2 + ^ j + О I — + w + —

e f e2 e3 \

ф = г+ Ф2Г2 + Ф3г3 + Ф4Г4 + ©1- + ©3e + 0 i r5 + — + -3 J +

w2 w we + °( 7T + 7 + 73"

ч w = Aw + O(r8 + r3e + e2) + O(wr2 + ew + w2), где g = const.

При доказательстве леммы использовалось представление периодических функций в виде

P (t,p) = Р + P(p)+P(t,p),

где P — среднее значение функции P по t, p, а P — среднее значение функции P — P по t. Данное представление было взято из работы [4].

Осуществим в системе (7) сдвиг г = ^¡е{а + и), где а > 0, |м| < а, и выполним замену переменных w = e3/2v. После нескольких замен, аналогичных замене (6), придем к системе

' p = L(a)e + M(a)ep + O(e5/4 + e3/4p4 + ep2), ф = \fea + а2Ф2л/ё + Q\e3/4 + П2е + \[ep + Cl^y/ëp + 0(л/ёр2 + e 5/4), (8) V = Av + O(el/4 ),

где L(a) = ga5 + ba, b = const.

Рассмотрим уравнение L(a) = 0. Если gb < 0, то у данного уравнения существует один положительный корень a*. Примем a = a*. Получим систему, которая после замены вида у = ф + \fêj\ + л/ё/2 + е3^4/з + е/4 (можно показать, что такая замена существует) и замены p = ei/& перейдет в систему

П = M (a* )en + O(e9/8), ф = Y(e) + O(e3/8 n + e>/4), V = Av + O(el/4).

(9)

Если М(а*) = 0, то система (9) удовлетворяет условиям леммы 2.1 из работы [5], гарантирующей существование инвариантного двумерного тора. Отсюда следует

Теорема 1. При достаточно .малом £ существует инвариантный двумерный тор для системы (4), задаваемый уравнениями

р = £1/4(а* + £1/8N(t, ф, £)), z = £g/8D(t, ф, £),

где функции N, D непрерывны и периодичны по t,y с периодом 2п, 2w соответственно.

3. Устойчивость нулевого решения при £ = 0. Рассмотрим систему (1) при £ = 0. Предполагая, что ReA¿ < 0, i = 1,...,n, воспользуемся леммой 1. Получим систему (6) при £ = 0. Выполним в системе (6) последовательно замены

w = p3v, р = r + + h3(t, ф)г3 + hA(t, ф)тл + h5(t, ф)г5 ,

где коэффициенты, как и выше, находятся методом неопределенных коэффициентов. Получим систему

r = gr5 + O(r6 + r3v), ф = r + O(r2), V = Av + O(r5 + r2 v), где g = const.

Теорема 2. Если g < 0, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову, а если g > 0 — оно неустойчиво.

Для доказательства достаточно рассмотреть функцию Ляпунова

U = ^г2 +Q(vu...,vn),

где Q(v1; ... ,vn) — квадратичная форма, определяемая уравнением (-Щ-, • • •, =

дН^Ц2, a ||г>|| = \Jv\ + ... + V2, и воспользоваться теоремой Ляпунова об асимптотической устойчивости при g < 0 и теоремой о неустойчивости при g > 0.

Литература

1. Дороденков А. А. Устойчивость и бифуркация рождения инвариантных торов из положения равновесия существенно нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. Вып. 4. С. 20-27.

2. Бибиков Ю.Н., Букаты В. Р., Дороденков А. А. Регулярные и сингулярные периодические возмущения осциллятора с кубической восстанавливающей силой. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 2. С. 79-89.

3. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Собр. соч. Т. 2. М.; Л.: Изд-во АН-СССР, 1956. С. 272-331.

4. Бибиков Ю. Н. Устойчивость и бифуркация при переодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой // Мат. заметки. 1999. Т. 65. Вып. 3. С. 323-335.

5. Hale J. K. Integral manifolds of perturbed differential system // Ann. of Math. 1961. Vol.73. N3. P. 496-531.

Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.