CC BY
30
2015 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1. Том 2(60). Вып. 2
МАТЕМАТИКА
УДК 517.925
БИФУРКАЦИЯ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА С НЕЛИНЕЙНОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА*
Ю. Н. Бибиков, В. А. Плисс
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
Рассматриваются малые периодические возмущения осциллятора х + х3 + ахх = 0, где а2 < 8. Малость возмущения определяется как малостью окрестности положения равновесия х = 0, так и наличием малого положительного параметра.
Указываются условия, при выполнении которых при переходе малого параметра через нулевое значение от положения равновесия ответвляется инвариантный двумерный тор (в автономном случае предельный цикл). Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: бифуркация, инвариантный тор.
§ 0. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение
где X(ж, у, е) —достаточно гладкая по ж, у, е в окрестности точки (0, 0,0) функция, непрерывная и периодическая по £ с периодом Т (в частности, от £ не зависящая), е — малый положительный параметр, а — постоянная, а2 < 8.
Предположим, что порядок малости функции X по ж, ж, е не ниже четвертого, если, приписывая переменной ж первое измерение, приписать переменным у, е второе измерение. Пусть, кроме того, X(0, 0,е) = 0 при всех допустимых е. Тем самым X можно рассматривать как малое возмущение уравнения
сохраняющее положение равновесия х = 0.
Вопрос об устойчивости нулевого решения уравнения (1) рассматривался в автономном случае еще А.М.Ляпуновым [1]. В работе [2] результаты А.М.Ляпунова были обобщены на случай периодического по £ возмущения X.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №13-01-00439, 13-01-00624) и СПбГУ (тема 6.0.112.2010).
X + ж3 + ажХ = X(х, X, е),
(1)
ж + ж3 + ажж = 0,
(2)
В настоящей работе рассматривается вопрос о бифуркации положения равновесия х = 0 с ответвлением при переходе малого параметра е через нулевое значение инвариантного двумерного тора (в автономном случае предельного цикла). Случай а = 0 рассмотрен в работе [3].
§ 1. Введение обобщенных полярных координат. Уравнение (2) эквивалентно системе
X = у, у = —х3 — аху, (3)
траектории которой определяются дифференциальным уравнением
у(у + (х3 + аху)(х = 0.
Интегрируя это уравнение подстановкой у = хх2, находим
2 2 4 Га 4у + ах2 1
2у + ах у + х = Аехр < —=агс^--=- > , (4)
( V Д х2 V Д ]
где А — произвольная положительная постоянная, Д = 8 — а2 > 0. Так как равенство (4) нечетно по отношению к переменной х, для системы (3) начало координат является центром. Следовательно, уравнение (2) —осциллятор.
Введем в рассмотрение функции С(у>), Б(у>), удовлетворяющие системе (3) с независимой переменной у>. Тогда
С' = Б, Б' = — аСБ — С3. (5)
В силу (4) имеет место интегральное тождество
2Б2 + аС2Б + С4 = В(С, Б), (6)
где В = .
Положим 5(0) = 0. Тогда С(0) = ехр | . Функции С(у>), 5(у>) —
периодические, период которых обозначим через 2ш. В системе
х = у, у = —х3 — аху + X (х,у,Ь,е), (7)
эквивалентной уравнению (1), введем обобщенные полярные координаты г, ^ по формулам
х = гС (у>), у = г2 Б (у>). (8)
Используя (5) и (6), получим систему
БХ(гС, г2Б, Ь, е)
г(2Б2 + аС2 Б + С4)
= Д(г, у>, Ь, е),
(9)
СХ (гС, г Б,Ь,е) _
К системе (9) можно применить метод неопределенных коэффициентов в том виде, как он использовался в работе [3].
§ 2. Существование инвариантного тора при е > 0. Представим возмущение X в виде
X = а1^)ж4 + а2 (£)ж2ж + а3(£)ж2 + еЬ^)ж2 + еЬ2(£)ж + X *, (10)
где порядок малости X* в указанном выше смысле не ниже пятого, а$(£), Ь^ (£) — периодические функции (в частности, постоянные), г = 1, 2, 3, ] = 1, 2. Соответственно, в системе (9)
R = P (у, t)r3 + eQ(y, t)r + O(r4 + er2 + e2r), Ф = Ф^у^г) + еФ*(у,^г,е) + r-1e2q(y, t, e),
где Ф1 = O(r2), Ф* не имеет особенности по r, e. В силу (10)
P = (aiC4S + a2C2S2 + a3S3) (2S2 + aC2S + C4) 1 Q = (b1C2S + b2S2) (2S2 + aC2S + C4)-1.
Положим в (9)
Z = eZ1 (у, t) + ezZ2 (у, t) + O (ez2 + e3/2) , ф = sfea + eA(y, í) + О (л/ё-г + e3/2) ,
(11)
(12)
r = \/ё(а + г), a > 0, \z\ < a. (13)
Получим систему вида
(14)
где
Z1 = a3P + aQ, Z2 = 3a2P + Q. (15)
Лемма 1. Существует замена
z = w( 1 + л/ё^Ы + £02 (¥>>*)) + Ve^i(^) + £h2(f,t), (16)
приводящая систему (14) к виду
w = eL(a) + eM{a)w + О (л/««2 + е3/2j , ф = Vea + £Д(у>, í) + О {^/ew + е3/2 j ,
где
(17)
£ = а3 Р + а<3, М = 3а2Р + (?. (18)
Здесь и далее черта обозначает среднее значение функции.
Доказательство. Дифференцируя (16) по учитывая (14) и (17) и приравнивая коэффициенты при е и еи>, получаем уравнения
5^2 Г
—а + —— =А1-Ь, от
^И + = г -^1-М
Представим . и .2 в виде . = .. + .¿(р) + Z^((p,t), г = 1, 2, где .¿(р) — среднее значение . — .. по Ь. Полагая Ь = .¿1, М = .2, приходим к уравнениям
(Ъ,1 - 5^2 z
~Г~а = А, иг" = А,
(р дЬ
- £ - %
(р ¿р ' дЬ
Первые уравнения определяют Л-1 и $1 как первообразные правых частей. Рассматривая р во вторых уравнениях как параметр, определим и ^2, $2. П
Замечание. В автономном случае в замене (16) функции Л-2 и $2 отсутствуют. Аналогично доказывается
Лемма 2. Существует замена угловой переменной
^ = ф + ^/1(ф) + е/2(ф,1), (19)
приводящая систему (17) к виду
т = еЬ(а) + еМ(а)т + О (ет2 + е3/2) ,
Г" - / ^ 3/2Л (20)
р = л/еа + еА + О ( ^/еги + еЛ/2 ) .
Замена (19) обратима. Положим
ф = р + Н (р,Ь,е). (21)
Рассмотрим определяющее уравнение Ь(а) = 0. Если Р<3 < 0, то оно имеет положительное решение а = а*. Тогда М* = М(а*) = 2(а* )2Р. При этом знак постоянной М* совпадает со знаком Р.
При а = а* система (20) удовлетворяет условиям леммы 2.1 из работы [4], согласно которой система (20) имеет периодическое по ф, Ь интегральное многообразие, определяемое соотношением т = Г(ф, Ь, е), где Г(ф, Ь, е) ^ 0 при е ^ 0. Это многообразие можно рассматривать как инвариантный тор. Заменяя в равенстве т = Г(ф, Ь, е) угол ф по формуле (21) и используя последовательно (16), (13) и (8), получим представление инвариантного тора системы (7).
Тем самым доказана
Теорема. Если Р<3 < 0, то уравнение (1) имеет при каждом достаточно малом е > 0 инвариантный двумерный тор с периодами 2ш и Т по р и Ь соответственно, стягивающийся при е ^ 0 в положение 'равновесия х = 0.
Замечание 1. Если X не зависит от Ь, то инвариантный тор превращается в предельный цикл. При этом для доказательства его существования вместо леммы 2.1 работы [4] можно использовать теорему о неявной функции. Для этого следует перейти от системы (17) к дифференциальному уравнению первого порядка, исключив из системы (17) Ь.
Замечание 2. Можно доказать [4, лемма 2.3], что если Р < 0, то инвариантный тор устойчив, а если Р > 0, то он неустойчив. Соответственно, при е = 0 в уравнении (1) положение равновесия х = 0 асимптотически устойчиво, если Р < 0, и неустойчиво, если Р > 0.
Литература
1. Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения: Соб. соч. М.; Л., 1956. Т. 2. С. 272-331.
2. Басов В. В., Бибиков Ю. Н. Об устойчивости положения равновесия в одном случае периодического возмущения центра // Дифференц. уравнения. Т. 33, №5. 1997. C. 583-586.
3. Бибиков Ю. Н. Устойчивость и бифуркация при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой // Матем. заметки. Т. 65, №3. 1999. C. 323-335.
4. Hale J.K. Integral Manifolds of Perturbed Differential Systems // Ann. of Math. 1961. Vol.73, N3. P. 496-531.
Статья поступила в редакцию 25 декабря 2014 г.
Сведения об авторах
Бибиков Юрий Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор; bibicoff@yandex.ru Плисс Виктор Александрович —доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор; anna1918@mail.ru, vapliss@yandex.ru
BIFURCATION OF THE STATE OF EQUILIBRIUM OF AN OSCILLATOR WITH NON-LINEAR RESTORING FORCE OF THE THIRD ORDER
Yuriy N. Bibikov, Victor A. Pliss
St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; bibicoff@yandex.ru, anna1918@mail.ru, vapliss@yandex.ru
Periodic perturbations of on oscillator x + x3 + axx = 0, a2 < 8, are considered. Smallness of perturbations is defined by the smallness of the neighborhood of the state of equilibrium x = 0 and by a small positive parameter.
Branching of the state of equilibrium x = 0 to invariant two-dimentional tori is under consideration. Refs 4.
Keywords: bifurcation, invariant torus. References
1. Lyapunov A. M., "Studies of one special case of the problem of stability of motion", Collected works 2, 272—331 (USSR Academy of Sciences Publisher, Moscow, 1956) [in Russian].
2. Basov V. V., Bibikov Yu. N., "On the stability of an equilibrium point in a certain case of a periodically perturbed center", Diff. Uravneniya 33, 583—586 (1997) [in Russian].
3. Bibikov Yu.N., "Stability and bifurcation for periodic perturbations of the equilibrium of an oscillator with infinite or infinitesimal oscillation frequency", Mathematical Notes 65(3), 269—279 (1999).
4. Hale J.K., "Integral Manifolds of Perturbed Differential Systems", Ann. of Math. 73(3), 496-531 (1961).
