Устойчивость движения оперенного тела, авторотирующего в среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36

О. Г. Привалова, Ю.М. Окунев, В. А. Самсонов

Научно-исследовательский институт механики Московского государственного университета

им. М. В. Ломоносова

Устойчивость движения оперенного тела, авторотирующего в среде

Проводится сравнительный параметрический анализ устойчивости режимов авторотации, возникающих в задаче о свободном падении оперенного тела и в задаче о вращении его макета, установленного на сферическом шарнире в аэродинамической трубе.

Ключевые слова: устойчивость, режим авторотации, параметрический анализ. O. G. Privalova, Yu.M. Okunev, V. A. Samsonov

Institute of Mechanics of Lomonosov Moscow State University

Stability of motion of a finned body autorotating

in a medium

Comparative parametric analysis of the stability of the autorotation regimes arising in the problem of the free fall of a finned body and in the problem of the rotation of its model mounted on a spherical hinge in the wind tunnel is performed.

Key words: autorotation regime, stability domains,parametric analysis.

1. Постановка задачи

Рассмотрим две задачи о движении динамически симметричного оперенного тела в сопротивляющейся среде. В одной из них исследуется поведение тела, установленного с помощью сферического шарнира в аэродинамической трубе [1, 2] (задача 1), а в другой изучается свободное падение тела в воздухе [3-5] (задача 2).

Механическая модель тела в рассматриваемых задачах одинакова. Оперение тела состоит из четырех одинаковых лопастей, симметрично расположенных на теле, рис. 1. Лопасти на теле разместим таким образом, чтобы точки О^ — центры лопастей — оказались в плоскости, ортогональной оси симметрии тела, на расстоянии г от этой оси и образовывали вершины квадрата. Лопасти устанавливаются на одинаковый угол в — установочный угол лопасти, угол между нормалью щ к плоскости лопасти и плоскостью, проходящей через центры давления лопастей.

Используем модель точечного квазистатического воздействия среды на тело, что с учетом конструкции тела позволяет сформировать полную структуру сил, действующих на тело.

В силу симметрии рассматриваемых задач, в них, очевидно, существует тривиальное стационарное решение (режим авто ротации), отвечающее движению тела вдоль своей оси симметрии с постоянной скоростью Уо в задаче 2, а в задаче 1 — ориентации оси симметрии тела по потоку, скорость которого Уо. При этом угловая скорость авторотации тела вокруг оси симметрии постоянна — Оо. В этом режиме во всех исследуемых задачах углы атаки

© Привалова О. Г., Окунев Ю.М., Самсонов В. А., 2017

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017

на лопастях одинаковы: аг = ао. Величина угла атаки удовлетворяет трансцендентному уравнению

к(а) + гд(а - в) = 0,

(1)

где к(а) = в\(а)/ва(а) — аэродинамическое качество, в\, ва — коэффициенты подъемной силы и сопротивления соответственно.

Рис. 1

Система уравнений в вариациях относительно режима авторотации разбивается на две независимые между собой подсистемы, одна из которых описывает малые колебания оси симметрии относительно ее положения в режиме авторотации.

2. Устойчивость положения оси тела в режиме авторотации

Исследуем асимптотическую устойчивость положения оси динамической симметрии тела в режиме авторотации в обеих задачах. Малые колебания оси симметрии относительно ее положения в режиме авторотации в задачах 1 и 2 описываются линейными комплексными дифференциальными уравнениями с постоянными комплексными коэффициентами второго и третьего порядков соответственно.

Рассмотрим случай, когда центр масс тела находится в точке О, точке пересечения оси динамической симметрии тела и плоскости, содержащей центры лопастей Ог (смещение центра масс Я = 0). В задаче 1 малые колебания оси динамической симметрии тела относительно ее положения в режиме авторотации в сопутствующей системе координат описываются комплексным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами:

¡¿ + ¿(Б + С) + = 0, (2)

где г = гх + ггу — комплексная величина.

Условия асимптотической устойчивости [6] накладывают следующие ограничения на коэффициенты уравнения (2):

Б> 0, N (БС - N) > 0. (3)

Коэффициенты имеют следующую зависимость от параметров задачи:

Б = йУо А [2 + к (а) д (а)], С = —¡Т^ N = dУо2 А [2к (а) - д (а)], (4)

где d (а) = рБва (а) л/1 + к2 (а), д (а) = вва (а)/ва (а) + к (а) к (а)/ (1 + к2 (а)), А, С — экваториальный и полярный моменты инерции; р — плотность атмосферы; 5 — характерная площадь лопасти.

Второе условие (3) выполняется при значениях коэффициентов N > 0 и БС > N.

Таким образом, используя связь между углом атаки а и установочным углом лопастей ß в режиме авторотации (1), условия устойчивости выпишутся относительно двух параметров (ß,C/A):

2k(ß) > q(ß), C/A > [2k(ß) - q(ß)]/k(ß)[2 + q(ß)k(ß)]. (5)

Из первого неравенства (5) определяется значение установочного угла ß* лопасти, начиная с которого при заданной аэродинамике лопасти возможна устойчивость. Из второго условия (5) следует, что с увеличением величины отношения моментов инерции тела область устойчивости расширяется. На рис. 2 в плоскости параметров: установочного угла лопасти и отношения моментов инерции тела (ß,C/A), область неустойчивости режима авторотации закрашена серым цветом.

В задаче 2 при условии, когда центр масс тела не смещен R = 0, малые колебания оси динамической симметрии в сопутствующей системе координат описываются комплексным дифференциальным уравнением третьего порядка вида

Z + z(D + iG) + z(P + iN) + iF z = 0. (6)

Рис. 2

Размерность задачи возросла из-за возможного изменения направления скорости спуска. Выражения для коэффициентов этого уравнения через коэффициенты задачи 1 имеют вид

Б = V Л (2 + kq) + (У0 в = Я + (У0 в, Л т т

с = - Ск-ъ = -с,

А г

Р = вБ + [1 + к'/(1 + к2)]! тт

„т2 г , , , (У0 С к^ „т (У0 ^

N = -(1Уо2-г (2к - q)--0в--Уо = -М--0вС,

А т А г т

Ё = -(1 + к2) N. т

где в = 2 - Ыда + к'(1 + к2), т — масса тела.

Условия асимптотической устойчивости стационарного режима накладывают следующие ограничения на коэффициенты уравнения (6):

Б > 0. N Б > 0. Б Б 2Р1 + Б Б СМ2 - Б3 Б2 - N 3Р > 0. (7)

Условия устойчивости (7) с использованием выражений для коэффициентов уравнения задачи 1 (4), примут вид

Б > 0. Б >-(Ув.

т

1 = (Щ^N/(1 + (Уоввс) > 0.

N т \ т !

N (ПС - N) > (- ^ + Г) Б3 + ^ к 1 т N) т

1 +

к1

(1 + к2)\

N Б2 - ^С (Б С - N) т

Из второго условия следует, что, как и в задаче 1, коэффициент N >0, откуда следует, что для значений установочного угла в < в * режим авторотации неустойчив независимо от величины массы тела. На рис. 2 эта область на плоскости (в, С/А) серого цвета. Численно получено, что область устойчивости режима авторотации в задаче 2 при Я = 0 для тела с конечной массой меньше, чем в задаче 1. Для значений угла в * < в < п/2 область устойчивости режима авторотации расширяется с увеличением массы тела. Так, при т = 1 область неустойчивости режима авторотации на рис. 2 состоит из трех областей: закрашенной серым цветом (область неустойчивости в задаче 1), заштрихованной параллельными линиями и покрытой сеткой. В случае, когда т = 5, область неустойчивости становится меньше на область, заштрихованную параллельными линиями. При т ^ ж область устойчивости в задаче 2 совпадает с областью устойчивости режима авторотации в задаче 1.

3. Влияние на устойчивость смещения центра масс тела

Проанализируем влияние смещения центра масс тела вдоль оси его динамической симметрии Я = 0 на устойчивость режима авторотации. В задаче 2 для простоты рассмотрим случай, когда т ^ ж. В этом случае коэффициенты уравнений (2), (6), описывающих малые колебания оси симметрии относительно ее положения в режиме авторотации в рассматриваемых задачах, с учетом смещения центра масс имеют вид

Я2 г2

В = В + дУог-тг — , г2 А

С = (-)С - дУоГ-2 — (зк - — А г \ вх

Р = ,

- г2

Г2 А:

NN = (-Щ

где знак минус в скобках отвечает задаче 2, также в этой задаче коэффициент Р = 0. Условия устойчивости (3), (7) будут иметь одинаковый вид

22

- 2 г г2 А

Аг

А

2 \ 2 Е>3

- 2 - Г — в \ Г2 —2 ( Г2\" -3

N (БС - Щ > -В Р+дУо-г— ( Зк - — ND-dУо--в—гСN + дУо^ —т [3к -— ) N.

А

в

вх

В случае, когда величина смещения центра масс Я < 0 (что соответствует его смещению вдоль оси динамической симметрии вперед по направлению движения относительно плоскости, содержащей центры лопастей, а для тела в аэродинамической трубе точка крепления лежит выше по течению потока), правые части этих неравенств меньше нуля. Отсюда следует, что при смещении центра масс тела в этом направлении область устойчивости расширяется. Также подчеркнем, что и при смещении центра масс в положительном направлении возможно существование устойчивого режима авторотации для тех параметров задач, где режим авторотации был устойчив при Я = 0.

Построим области устойчивости положения оси динамической симметрии тела в режиме авторотации в полном пространстве параметров задачи о вращении тела в аэродинамической трубе: установочного угла лопасти, смещения его центра масс и отношений моментов инерции. Изобразим границы областей устойчивости на двух рисунках: на рис. 3 при Я < 0, на рис. 4 при Я > 0. На рис. 3 и рис. 4 граница области устойчивости в задаче 1 (в задаче 2 при т ^ ж) закрашена серым цветом, а в задаче 2 для тела с конечной массой заштрихована параллельными линиями.

х

х

Границы областей устойчивости представляют собой выпуклые поверхности. На рис. 3 при Я < 0 области устойчивости находятся снаружи соответствующих поверхностей. Видно, что при смещении центра масс Я в отрицательном направлении область устойчивости в рассматриваемых задачах расширяется, а начиная с некоторого значения режим авторотации устойчив при любых значениях установочного угла лопасти. На рис. 4 при Я > 0 области устойчивости находятся внутри соответствующих поверхностей. Таким образом, при смещении центра масс в положительном направлении возможно существование устойчивого режима авторотации для тех параметров задач, где режим авторотации был устойчив при Я = 0. При увеличении смещения центра масс в этом направлении область устойчивости уменьшается, и при некотором значении Я режим авторотации становится неустойчивым.

Рис. 3 Рис. 4

4. Влияние на устойчивость изменения отношения моментов инерции тела

Посмотрим, как влияет изменение отношения моментов инерции (С/А) на устойчивость режима авторотации в задачах 1и2. При значениях смещения центра масс Я < 0 с увеличением отношения моментов инерции область устойчивости при значениях угла из диапазона (в*,п/2) расширяется (рис. 4), а для значений угла из диапазона (0,в*) — сужается (рис. 3). При смещении центра масс тела в другом направлении при увеличении отношения моментов инерции область устойчивости становится шире (рис. 4).

Таким образом, удается показать как аналитически, так и численно, что при массе тела т ^ ж область устойчивости режима авторотации в задаче о свободном падении тела совпадет с областью устойчивости в задаче о вращении тела в аэродинамической трубе. Построенный геометрический образ областей устойчивости дает возможность наглядно проследить влияние на устойчивость режимов авторотации изменения таких параметров, как смещение центра масс тела, отношение моментов инерции тела, величины установочного угла лопастей.

Проведенное сопоставление областей устойчивости двух режимов авторотации позволяет использовать результаты продувок макета тела в трубе для определения его геометрических и массовых характеристик, обеспечивающих устойчивость режима авторотации, возникающего при свободном падении.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-01-06970).

Литература

1. Гувернюк С.В., Фалунин М.П., Фещенко С.А. Исследование движения вращающегося парашюта // Сб. статей «Парашюты и проницаемые тела» / под ред. Рысева О.В., Фалунина М.П. М.: МГУ, 1980. С. 30-44.

2. Привалов В.А., Самсонов В.А. Об устойчивости движения тела, авторотирующего в потоке среды //Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 2. С. 32-38.

3. Привалов В.А., Самсонов В.А. Сопоставление свойств устойчивости двух режимов авторотации // Изв. РАН. ПММ. 1994. Т. 58, вып. 2. С. 37-48.

4. Павлов В.А. О проблемах вертикального взлета и посадки летательных аппаратов // Соросовский Образовательный журнал. Физика. 1998. № 8. С. 109-114.

5. Okunev Yu.M., Privalova O.G., Samsonov V.A. The geometry of stability domains of systems with different dimensions // Mechanics — Seventh Polyakhov's Reading, 2015 International Conference on. IEEE. 4 p. DOI: 10.1109/P0LYAH0V.2015.7106763.

6. Чеботарев Н.Г., Мейман Н.Н. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1949. Т. 26. С. 1-132.

References

1. Guvernuk S.V., Falunin M.P., Feshenko S.A. Study of the motion of a rotating parachute. Digest of articles «Parachutes and permeable bodies». Ed. by Risev O.V., Falunin M.P. M.: MSU, 1980. P. 30-44. (in Russian).

2. Privalov V.A., Samsonov V.A. On stability of motion of a body auto-rotating in medium flow. Izv. Ross. Akad. Nauk. Mekh. Tverd. Tela. 1990. N 2. P. 32-38.

3. Privalov V.A., Samsonov V.A. Comparison of stability properties of two autorotation modes. Applied Math and Mechanics. 1994. V. 58. N 2. P. 37-48.

4. Pavlov V.A. On problems of vertical take-off and landing of aircraft. Soros Educational Journal. Physics. 1998. N 8. P. 109-114.

5. Okunev Yu.M., Privalova O.G., Samsonov V.A. The geometry of stability domains of systems with different dimensions. Mechanics — Seventh Polyakhov's Reading, 2015 International Conference on. IEEE. 4 p. DOI: 10.1109/P0LYAH0V.2015.7106763.

6. Chebotarev N. G., Meyman N.N. The Routh-Hurwitz problem for polynomials and entire functions. Proceedings of the Steklov Math. Inst. 1949. V. 26. P. 1-132. (in Russian).

Поступила в редакцию 14.07.2017