Об устойчивости движения осесимметричного оперенного тела в сопротивляющейся среде Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 287-289

УДК 539.36

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ОПЕРЕННОГО ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ

© 2011 г. О.Г. Привалова, Ю.М. Окунев, В.А. Самсонов

НИИ механики Московского госуниверситета им. М.В. Ломоносова

samson@imec.msu.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Исследуется устойчивость ориентации оси симметрии авторотирующего тела в сопротивляющейся среде на установившемся режиме. Малые колебания оси динамической симметрии относительно положения равновесия в ряде задач описываются дифференциальным уравнением второго порядка с комплексными переменными и комплексными коэффициентами. Построена область устойчивости, которая представляет собой некоторый универсальный геометрический образ, не зависящий от массовых и геометрических характеристик тела, и имеет одинаковый вид для рассматриваемого класса задач.

Ключевые слова: авторотация, устойчивость, сопротивляющаяся среда, оперенное тело.

Рассмотрим три задачи о движении осесимметричного оперенного тела в сопротивляющейся среде. К телу приложены силы со стороны воздуха. Для описания этих сил используем квази-статическую модель [1, 2]. Будем считать, что это воздействие сосредоточено на четырех одинаковых лопастях, симметричное расположение ко -торых на теле обеспечивает его авторотацию, вращение с угловой скоростью О вокруг оси 02 динамической симметрии (рис. 1).

2 Лопасть

п V 1 ҐХ 1 Г I/ 1

в в а 1

г О у

Рис. 1

В первой задаче рассмотрим движение тела с тягой, действующей вдоль оси динамической симметрии. Установившемуся режиму соответствует движение с постоянной скоростью центра масс У0 и постоянной угловой скоростью О0 свободной авторотации. Во второй задаче рассмотрим режим

авторотации тела в аэродинамической трубе. Ему соответствует постоянная угловая скорость О0 и постоянная скорость потока У0 . Следующая задача — о торможении тела, когда на него действуют только аэродинамические силы [3]. В этой задаче существуют два режима установившегося торможения, для которых отношение гО/У = СОПБ^ и гО/У = со^2. Первому режиму соответствует движение с малым углом атаки на лопасти, а второму — с большим (~п/2). Угол а атаки вводим как угол между вектором скорости точки О, и плоскостью, жестко связанной с лопастью; в — установочный угол лопасти, угол между нормалью п к плоскости лопасти и плоскостью, проходящей через центры давления лопастей (см. рис. 1).

Малые колебания оси динамической симметрии относительно ее положения на установившемся режиме в каждой из рассматриваемых задач описываются дифференциальным уравнением второго порядка, которое имеет структуру

X + А (Б + /О) + А(Р + N = 0, (1)

где А = А х + /А у — комплексная величина, определяющая отклонение оси симметрии от ее положения на установившемся режиме.

Уравнение в такой форме можно интерпретировать как уравнение материальной точки единичной массы, которая находится под действием сил, линейно зависящих от координат и скоростей. Силы имеют самую общую для симметричного тела структуру, представляя собой суперпозицию диссипативных (БА), гироскопических (ОА), позиционных потенциальных (РХ) и пози-

X

ционных непотенциальных (МХ) сил.

Условия асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (1) налагают следующие ограничения на коэффициенты этого уравнения:

Б > 0, Б2Р + БОШ - N2 > 0.

При тех физических и геометрических параметрах задачи, для которых выполняется первое условие устойчивости (положительность коэффи -циента диссипативных сил), можно сформировать три действительные, не имеющие особенностей функции X = МБ, У = О, Z = Р.

Таким образом, можно говорить о построении области устойчивости в пространстве отношения коэффициентов позиционных непотенциальных сил к коэффициентам диссипативных сил X, коэффициентов гироскопических сил У и ко -эффициентов позиционных потенциальных сил Z. В этом пространстве область устойчивости представляет собой некоторый универсальный геометрический образ (подобный описанному в [4]), не зависящий от геометрических и массовых характеристик тела. Границей области устойчивости является поверхность Е, уравнение ко -торой Е ^ Z — X2 + УХ = 0 (рис. 2). В соответствии со вторым условием устойчивости, область устойчивости лежит выше поверхности Е (по переменной Z).

Представление области устойчивости в таком пространстве позволяет сделать выводы общего характера. В случае когда позиционные потенциальные силы отсутствуют, устойчивость рассматривается в плоскости Z = 0. Эта плоскость пересекает поверхность Е по двум прямым X = 0 и X = У. На плоскости XУ устойчивость наблюдается в области |У > X Если гироскопические силы равны нулю, то граница области устойчивости представляет собой параболу на плоскости XX. Область устойчивости располагается над параболой. Очевидно, что с ростом значений коэффициента позиционной потенциальной силы область устойчивости расширяется. В случае когда

равны нулю позиционные непотенциальные силы (X = 0), очевидно, что при положительном ко -эффициенте позиционных потенциальных сил и любом значении коэффициента гироскопических сил имеет место устойчивость, а при Z < 0 — неустойчивость.

Полученная область устойчивости является общей для трех рассматриваемых задач. Проследим за перемещением точки в пространстве XYZ, отвечающим изменению угла разворота лопастей в от 0 до п/2, при заданных конкретных характеристиках тела. Для первой задачи изменению угла в соответствует кривая 1 на рис. 2. Как видно из рисунка, при значениях в = 0, а = 0 точка находится на положительной части оси Z и тем самым внутри области устойчивости. Увеличение угла в приводит к тому, что при некотором его значении «изображающая» точка протыкает поверхность Е, переходя из области устойчивости в область неустойчивости (штриховая линия), а затем снова возвращается обратно в область устойчивости при другом значении этого угла. В задаче об авторотации тела в потоке аэродинамической трубы (кривая 2) начальная точка, отвечающая значениям в = 0, а = 0 находится в начале координат, т.е. на границе области устойчивости. При увеличении угла в она сразу попадает в область неустойчивости, откуда при некотором значении угла в переходит в область устойчивости. В задаче о торможении (кривая 3, отвечающая режиму торможения с «малым» углом атаки) начальная точка (в = 0, а = 0), как и в задаче с тягой, находится на положительной части прямой Z, но ближе к границе. Поэтому с увеличением угла в «изображающая» точка скорее покидает область устойчивости и больше в нее не возвращается. В этой задаче, в отличие от двух предыдущих, монотонное увеличение угла в разворота лопасти не приводит к переходу на второй режим установившегося торможения, который отвечает относительно большим значениям угла атаки.

Отметим, что первые две задачи относятся к традиционным задачам прикладной аэродинамики о сопоставлении поведения летательного аппарата в полете и его макета в аэродинамической трубе. Кроме описанного выше, рассмотрено также влияние смещения центра масс от точки О (см. рис. 1).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 09-01-00340, 11-08-00444).

Список литературы

1. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А.

Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде. М.: МГУ, 1986. 86 с.

2. Привалов В.А., Самсонов В.А. Об устойчивости движения тела, авторотирующего в потоке среды II Изв. АН СССР. МТТ. 1990. №2. С. 32—38.

3. Окунев Ю.М., Привалова О.Г. Торможение

движения динамически симметричного тела в невозмущенной атмосфере II Матер. докл. «VI Окуневских чтений». 2008. Т. 3. С. 9—14.

4. Привалов В.А., Самсонов В.А. Сопоставление свойств устойчивости двух режимов авторотации II Изв. РАН. ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 37—48.

ON STABILITY OF MOTION OF AN AXISYMMETRIC FINNED BODY IN RESISTING A MEDIUM

O.G. Privalova, Yu.M. Okunev, V.A. Samsonov

Stability of orientation of the symmetry axis of an auto-rotating body in resisting a medium in the steady regime is studied. A series of problems are discussed, where small oscillations of the dynamic symmetry axis about the equilibrium are defined by a second order differential equation with complex variables and complex coefficients. A stability domain is constructed representing a certain universal geometric image independent of mass and geometric characteristics of the body and having the same form for the class of problems in question.

Keywords: auto-rotation, stability, resisting medium, finned body.