CC BY
13
УДК 517.958
Беляков Д.В.
Московский Авиационный Институт (национальный исследовательский университет), г. Москва,
Россия.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В КВАЗИСТАТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ
АННОТАЦИЯ
Работа посвящена построению и исследованию математической модели движения тела сложной конфигурации в гравитационном поле.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Авторотация; тело сложной конфигурации; стационарный режим; осреднение; установочный угол тела;установочный угол пластинок.
Belyakov D.V.
Moscow aircraft institute (national exploratory university) STUDY OF THE MOVING THE SYMMETRYCAL BODY IN QAUSYSTATIC TO AMBIENCE ABSTRACT
Work is dedicated to building and study to mathematical model of the moving the body to complex deskside in gravitation field.
KEYWORDS
Autorotation; body to complex deskside; stationary mode; averaging; mounting corner of the body; mounting corner plate.
Введение
В истории развития аэродинамики можно выделить два направления: первое - разработка новых идеи и путеи совершенствования летательных аппаратов, второе - изыскание способов предотвращения возникающих опасных физических явлении, ведущих к большим материальным потерям и человеческим жертвам. Явление авторотации означает свободное вращение несущего винта под воздеиствием набегающего потока. Эта проблема появилась в начале прошлого века в период разработки первых вертолетов и автожиров и очень актуальна в авиаракетостроении. С однои стороны, режим авторотации может быть использован в качестве режима авариинои посадки вертолета. При этом сила сопротивления максимальна и компенсирует силу тяжести. С другои стороны, неправильная ориентация самолета по отношению к набегающему потоку лишь усиливает сопротивление и это может привести к самовращению или штопору, а при минимальном сопротивлении полет самолета устоичив по отношению к вращению. В работе рассматривается математическая модель движения тела сложнои конфигурации в квазистатическои среде и показывается, что из него можно построить систему безопасного спуска в атмосфере и выбор управления для достижения максимального угла отклонения при спуске.
Постановка задачи
Рассмотрим плоскопараллельное движение в квазистатическои среде тела сложнои конфигурации. Тело состоит из стержня и двух параллельных пластинок. Плоскости пластинок образуют угол 5 с плоскостью, ортогональнои стержню (Рис. 1). Будем считать, что движение происходит в вертикальнои плоскости.
В модели воздеиствия среды на тело используется гипотеза о квазистационарном обтекании пластинок средои [1], [3]. Согласно этои гипотезе сила воздеиствия среды на каждую пластинку характеризуется скоростью некоторои ее точки, которая называется центром давления. Модель с неподвижным центром давления рассматривалась в [1], [3]. В рассматриваемои модели предполагается, что центры давления пластинок точки А и В можно считать неподвижными относительно пластинок. Аэродинамические силы, деиствующие на каждую пластинку, разложим
на две составляющие: силы сопротивления SA, Sв, направленные против абсолютных скоростей Уд ,Ув центров давления, и подъемные силы Рд,Р , направленные им ортогонально. При этом
| |= 8(а + 8)УД = 0.5 расх (а+8)УД
величины аэродинамических сил равны:
| Ра = р(а+8)УД = 0.5 ра су (а+8)УД I Sв = >*(Р + 8)У2в = 0.5 расх (Р + 8)У2В ' | Рв |= р(Р + 8)У2в = 0.5расу ф + 8)У2в
Где а,/ - углы атаки между векторами окружных скоростеи (уАО,Рво) точек А, В и векторами у,ув р, S - аэродинамические функции углов атаки, с х , Су - безразмерные аэродинамические функции, р - плотность воздуха, а - площадь однои пластинки. Зависимости сх (а) и с (а) определены
из продувок прямоугольных пластинок с заданным удлинением в аэродинамическои трубе и являются экспериментальными данными [2]. Их типичныи вид (для удлинения А = 8) представлен на рисунке 3.
Рис.1. Тело сложной конфигурации
Су («)
\ 2 / п
Рис.2. Аэродинамическая функция подъемной силы
В качестве обобщенных координат, определяющих положение тела, введем координаты х , у центра масс О, совпадающего с серединой стержня АВ, и угол Ц отклонения стержня АВ от
вертикали. Для описания распределения скоростей точек нашего тела, зададим величину вектора абсолютной скорости центра масс V , угол у отклонения вектора V от вертикали, угол 6 отклонения стержня AB от вектора абсолютной скорости центра масс V и абсолютную угловую скорость стержня 5 .
Где а, Р - углы атаки между векторами окружных скоростей (^А0, VBO) точек А, В и
векторами УА, УВ, р, S - аэродинамические функции углов атаки, с^ , Су - безразмерные аэродинамические функции, р - плотность воздуха, ( - площадь одной пластинки. Зависимости
С% (а) и Су (а) определены из продувок прямоугольных пластинок с заданным удлинением в аэродинамической трубе и являются экспериментальными данными [2]. Их типичный вид (для удлинения А = 8) представлен на рисунке 3.
В качестве обобщенных координат, определяющих положение тела, введем координаты x , у центра О масс, совпадающего с серединои стержня АВ, и угол Ц отклонения стержня АВ от вертикали. Для описания распределения скоростеи точек нашего тела, зададим величину вектора абсолютнои скорости центра масс V , угол у отклонения вектора V от вертикали, угол 6 отклонения стержня AB от вектора абсолютнои скорости центра масс V и абсолютную угловую скорость стержня ( .
ж 2 1
Рис.3. Аэродинамическая функция силы сопротивления
Для того, чтобы составить уравнения движения тела, воспользуемся теоремой о движении центра масс в проекциях на направление вектора V и ему ортогональное, теоремои об изменении кинетического момента и теоремои о сложении скоростеи. Получим:
mV=p(a)VAr9cos0- p(P)VBrOcose+s(a)VA(rOsin0-V)-s(fi)VB(r0sme+V)+mg cosy mVy=-s(a)VAr0aos9+s(p)VBr6co&6+p(a)VA(r6sm6-V) - pP)VB(r0sme+V) -mgsmy Jd=r(VA;(p(a)sm(a-S)-s (a)cos(a-S))+V^(p(fi)s\r(fi-8)-s(fi)cotip-S)) 0+у=d x=Vcos y y=Vsin y
Соотношения, определяющие величины VA, Vв, a, p , через фазовые переменные V,0, имеют вид:
VA sin(a - 5) = -V cos0,VB sin(p - 5) = V cos0, VA cos(a -5) = r0 - V sin6,VB cos(P - 5) = r0 + Vsin0
Кинематические соотношения, связывающие координаты центра масс с V и y имеют вид:
x = V cos y, y = V sin у (3)
Таким образом, построена математическая модель движения тела, представляющая замкнутую систему уравнении (1)-(3)
Режим авторотации
Будем считать, что тело совершает спуск в режиме авторотации, т.е. V « ra . Аэродинамические функции Cx, Су разложим в ряд учитывая, что a, f ^ 5
Cx (a) = Cx5 + C'x5(a ~5X Cy (a) = Cy5 + C'y5(a ~ 5)
Cx (f) = CX5 + C5 (fi- 5), Cy (f) = Cy5 + c'y5(P~S) , £(a) = £s + S's(a-5),£(f) = £s + s's(f-5)
где:
Cx5 = Cx (5) Cx5 = CX (5) Cy5 = Cy (5 )
Cy5 = Cy (5), £5 = s(5),s5 = e'(5) '
Левые части кинематических соотношений (2) линеаризуем в случае a, f ^ 5 :
VA (a-5) = -V cose VB (f- 5) = V cose VA = ra- V sin e VB = ra + V sine
Пользуясь этими соотношениями, сделаем в уравнениях (1), переход от переменных a, f, Va Vb к переменным e, V,a Проведем осреднение полученнои системы на отрезке [0,2л] . Осредненная система имеет следующее стационарное решение a o, V0, у0 :
1 I 2mgCOsy0 lC'yo - Cxo - Cx25
(4)
П Pa(C'y0 + 3Cx0 + 3Cx25 2 V 2Cx0 + Cx25
Vo =.
2mgCosy0 2Cx0 + Cx252
pa(C'y o + 3Cxo + 3cx252 \ C - C - C 52 Vy 0 xO Vx 2
2c 5 - 3c'.5
У o = arCtgW^z-]
С'у0 + 3Сх0 + Сх238
Коэффициенты С^, Су5, с'у5 связаны с 8 так:
= Сх0 + Сх28, Сх8 = 2Сх28, Су8 = Су08, С'у8 = С'у0 , ^ Сх о = Сх (0), Сх 2 = | Се' (0), Су 0 = с'у (0) .
Режим (4) носит название режима авторотации. При малых 8 установившийся угол планирования в режиме авторотации у 0 пропорционален величине установочного угла пластинок
8 . Режим авторотации является притягивающим и он асимптотически устоичив.
Сравнение установившейся скорости режима авторотации со скоростями других режимов
Проведем сравнение стационарного значения вертикальнои составляющеи скорости на режиме авторотации со стационарными значениями вертикальных составляющих скоростеи на других установившихся режимах, при которых тело движется поступательно. Установившиися угол планирования в режиме авторотации у 0 пропорционален величине угла перекоса пластинок 8 .
Если он достаточно мал, то вертикальная составляющая скорости в первом приближении будет иметь такои же вид, как в формулах (17), определяющих параметры режима авторотации.
Vy0 =
2mg 2(Cx0 + Cx 2S2)
Pa(c'y 0 + 3Cx0 + 3cx 2S2)\ с -c - c o2 % 0 x0 '-x 2
2mg I 2c
x0
^рО(С'у0 + 3Сх0)\ С'у0 - Сх0
С другои стороны, для минимального значения вертикальнои составляющеи скорости при поступательном движении в § 2 Главы 1 при помощи первого приближения была получена оценка
1 2с
(13). Таким образом, достаточно сравнить: I I x 0
, (Су0 + 3Сх0 ) V Су0 - Сх0 V [4Сх0Сх2 + (С'у0)2} Для тела, имеющего прямоугольные пластинки с удлинением (Л = 8), имеем:
Сх0 = 0.01,с"х0 - 2.6242, Сх2 = \ <0 = 13121, С'у{) = 4.58'
= 0.0379 Á --= 0.2498.
1(Су0 + 3см)УСу0 -СМ ^0Сх2 + С0)2]
Таким образом, неравенство V < Уу6 выполнено заведомо, так что вертикальная
проекция скорости в режиме авторотации является минимальнои по сравнению с вертикальными составляющими скоростеи на других простеиших установившихся режимах.
Закон управления
Рассмотрим задачу управления установочным углом 8=8(3) для максимизации угла у(3,Уа) отклонения от вертикали при спуске в режиме авторотации: нужно выбрать управление
установочным углом пластинок 8 таким образом, чтобы боковая сила была максимальна. Пусть тело раскручено до высокой угловой скорости, т.е. га » V,а, / ^ 8 .
После простых преобразовании, проведем линеаризацию кинематических соотношении (1.2):
, Vcosв . . scosв scosв
а- 8 = -аг ^ (-;-) = -аг ^ (-:-) и
ra- V sin в 1 - s sin в 1 - £ sin в
_ _ , Vcose . . scose . m scose P-o = arctg(-;-) = arctg(-:-) U
ra + V sine 1 + ssine 1 + ssine
V
где s =-- малый параметр
ra
Из (1.2) выразим VA VB
V = Vcose = ra-Vsine v = Vcose = ra+Vsine
A sin(a-S) cos(a-S) ' B sin(P-S) cos(P-S) Функции sin(a - S),cos(a - S),sin(P - S),cos(P - S) также разложим в ряд, оставив только члены первого порядка:
. v cose scose v cose scose
srn(a-S) = svn(-arctg(-тл . )) □ —-— ,sin(P-S) = sm(arctg(-тл . ) □ --—
ra -Vsine 1 -ssine ra-Vsine 1 + ssine
cos(a-S) = cos(-arctg(—V C°Se—)) □ 1,cos(P -S) = cos(arctg(—V C°Se—) □ 1
ra- V sin e ra - V sin e
Проведем линеаризацию функции p,S при a, P ^ 0 .
s(a) = So + SS (a- S) P(a) = Po + P'o (a- S) s(P) = So + sS (P- S), p(P) = Po + PS (P- S)
здесь Ss = S (0), sS = S '(0), Ps = P (0), pS = P'(0) .
Преобразуем правую часть второго уравнения системы (1.1) которая представляет собои
<
1
боковую силу и сделаем переход от переменных О, P,VA VB к фазовым переменным 0, V ,a . После вычислении получим:
F6oK = 2s(5)(ra)2 cos0 + 2s" (5)Vra cos2 0 - 2 p(5)Vra(1 + sin2 0) +
+p'(5)[ SCOS0 {(raУ + V2)sin0 - SC°*0 Vra(1 + sin2 0)] 1 -ssinO 1 + ssinO
В случае малых значении 5 справедливы соотношения:
p(ö) = p" (0)5 = p5, p" (5) = p" (0) = p'0 s(5) = s(0) +1 s" (0)52 = s0 + s252, s '(5) = 2s25
Учитывая эти соотношения будем иметь:
F6oK(5,V,a,0) = 2(s0 + s252)(ra)2 cosO + 4s2Vra cos2 0 - 2p'05Vra(1 + sin2 0) +
,r scos0 .. .2 ТЛ2ч • П scos0 тг ,л . 2 +p0[---^((ray + V )sin0--;-Vra(1 + sin20)]
(5)
1 - £SÍn$ 1 + £SÍn0
Боковая сила (2.1) если зафиксировать в, V ,a представляет собой параболу, ветви которой
направлены вниз, если cose < 0. Наидем для (2.1) экстремум по 5 при всех фиксированных значениях в, V ,a dF
"" = 45s2 (ra )2 cos в + 4s2Vra cos2 в - 2p'Vra (1 + sin2 в) = 0
d5
™ 1 V p'0(1 + sin2 0) - 2s7cos2 0 1 p'0(1 + sin2 0) - 2s7cos2 0
Отсюда: 5(0) =--—---2-= - 2
2 ra s. cos0 2
(См. рис. 4).
s2 cos0
S{ff)
Ъя 2
7Т 2 7Т ~2 Л ' в
Рис. 4
5(3) =
Таким образом: Г V0 p0(1 + sin2 0) - 2s2cos2 0
<
2 ra
s2 cos0
Л ~ 7 /Л 3n _ ,
если —+ 2nk < 0 <--+ 2nk
22
Л
5„ , если 2nk < 0 <—+ 2nk 2
Типичныи вид закона управления 5(3) изображен на рис. 3:
№
т
15 .
-
Рис. 5
Численное интегрирование уравнений движения тела
В математическом пакете MATLAB написана программа, реализующая численное интегрирование уравнений движения тела при помощи метода Рунге-Кутта 4-го порядка с автоматическим выбором шага. В программу заложен закон управления 3(3) .
Аэродинамические функции интерполируются кубическим сплайном. Графически выводятся фазовые зависимости переменных интегрирования и траектории центра масс. После выхода на режим авторотации численные значения угловой скорости, скорости центра масс и угол планирования сглаживаются и вычисляются их средние значения, которые сравниваются с теоретическими оценками, найденными при помощи метода осреднения.
Проведем численные исследования движения тела при малых значениях массы и момента инерции, когда формулы первого приближения режима авторотации не работают. Проведем имитационное моделирование движения тела, имеющего прямоугольные пластинки с удлинением А=8, при различных значениях массы. При моделировании используем следующие числовые значения: а = 0,32 м2, Г = 1.2 м, J=0.05 кг□ м2. Будем искать численные значения среднего угла планирования после выхода тела на стационарным режим. Результаты представлены на рисунке 4, в таблице №1.
Таблица №1
т ю0 (рад/сек) V 0 (м. /с) у0 (градусов)
0.8 5.31749682056733 1.75024249186019 29.99597147452421
0.7 4.86248406261044 1.72295523579573 37.80183421535442
0.6 4.62351145414563 1.73199361127869 42.57624639495855
0.5 4.37428548150068 1.76024885605723 47.68484786216970
0.4 4.10946037436869 .80499636955786 52.59986993403626
0.3 3.81955042609736 1.86590605853392 56.45653298358099
0.2 3.51020255326372 1.96770131502943 58.16879813386458
0.1 3.12937412318084 2.22024315408998 55.44187461846403
Заключение
Таким образом, в работе:
1. Создана математическая модель движения тела.
2. Получены следующие результаты:
• найдено множество неизолированных установившихся режимов, при которых у тела отсутствует вращение. Показано существование максимального значения угла планирования,
• найден стационарный режим авторотации. Показана зависимость режима авторотации от аэродинамических характеристик,
Сравнение скорости снижения режима авторотации со скоростью спуска в других режимах показало, что спуск в режиме авторотации происходит с наименьшеи скоростью по сравнению со всеми другими режимами, поэтому данную конструкцию можно использовать как систему спуска в атмосфере.
Проведена оптимизация угла отклонения от вертикали при движении в режиме авторотации с управляющим воздеиствием 3(3) .
Литература
1. Беляков Д.В., Самсонов В.А., Филиппов В.В. «Исследование движения несимметричного тела в сопротивляющейся среде». Издательство «МЭИ», журнал «Вестник МЭИ», выпуск № 4 2006 г., стр. 5-10.
2. Табачников В.Г. «Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всем диапазоне углов атаки.». Труды ЦАГИ 1974 г. выпуск 1621.
3. Самсонов В.А. Беляков Д.В. «Оптимизация движения спускающегося авторотируюшего тела». Седьмой Международный Аэрокосмический Конгресс IAC '07. Полные доклады. 27-31 августа 2012 г., Москва, Россия. Электронный вид. Регистрационный номер: ISBN 7-85312-056-7.
References
1. Belyakov D.V., Samsonov V.A., Filippov V.V. "Study of the moving the asymmetrical body in resisting ambience". The Publishers "MEI", journal "Herald MEI", issue 4 2006, p. 5-10.
2. Tabachnikov V.G. "Stationary features wing on small velocity in all range angle attacks.". Works CAGI 1974 issue 1621.
3. Samsonov V.A. Belyakov D.V. "Optimization of the motion coming down autorotating of the body". The Seventh International Aerospace Congress IAC 07. The Full reports. the August 27-31 2012, Moscow, Russia. The Electronic type. Registration number: ISBN 7-85312-056-7.
Поступила 15.10.2016
Об авторах:
Беляков Дмитрий Валерьевич, доцент кафедры Прикладная математика, информационные технологии и электротехника Московского Авиационного Института (национального технического университета), кандидат технических наук dimbel@rambler.ru.
