Усовершенствованная реологическая модель асфальтобетона при работе на сжатие Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОРОЖНО-СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

УДК 625.852:624.131.54

УСОВЕРШЕНСТВОВАННАЯ РEОЛОГИЧEСKAЯ МОДEЛЬ AСФAЛЬТОБEТОНA ПРИ РАБОТЕ НА СЖАТИЕ

В.А. Богомолов, профессор, д.т.н., В.К. Жданюк, профессор, д.т.н,

С.В. Богомолов, инженер, ХНАДУ

Аннотация. На примере одноосной модели в работе предложен способ формирования нелинейных вязко-упругих свойств материалов. Предложенная схема впоследствии может быть использована и при 3-D моделировании вязко-упругого поведения, например, асфальтобетона.

Ключевые слова: модель Бюргерса, модель Шведова, упругость, вязко-упругость, реологическая модель.

УДОСКОНАЛЕНА РЕОЛОГІЧНА МОДЕЛЬ АСФАЛЬТОБЕТОНУ

ПРИ РОБОТІ НА СТИСК

В.О. Богомолов, професор, д.т.н., В.К. Жданюк, професор, д.т.н,

С.В. Богомолов, інженер, ХНАДУ

Анотація. На прикладі одновісної моделі в роботі запропоновано спосіб формування нелінійних в ’язко-пружних властивостей матеріалів. Запропонована схема надалі може бути використана і при 3-D моделюванні в’язко-пружної поведінки, наприклад, асфальтобетону.

Ключові слова: модель Бюргерса, модель Шведова, пружність, в ’язко-пружність, реологічна модель.

IMPROVED RHEOLOGICAL MODEL OF ASPHALT-CONCRETE AT

CONTRACTION

V. Bogomolov, Professor, Doctor of Technical Science, V. Zhdaniuk, Professor, Doctor of Technical Science, S. Bogomolov, engineer, KhNAHU

Abstract. On example of uniaxial model there was offered the method of forming of non-linear viscous-elastic properties of materials. The offered scheme can be further applied at 3-D modeling of viscous-elastic properties, for instance, asphalt-concrete.

Key words: Burger’s model, Shvedov’s model, elasticity, viscous elasticity, rheological model.

Введение

Асфальтобетонные покрытия в эксплуатационных условиях подвергаются одновременному воздействию транспортных нагрузок и погодно-климатических факторов. При различных видах воздействий асфальтобетон в

слоях дорожной одежды может проявлять упругие, упруго-вязкие или упруго-вязкопластические свойства. Поведение асфальтобетона в напряженно-деформированном состоянии наиболее полно можно описать с использованием реологических моделей.

Анализ публикаций

Моделированию работы асфальтобетона в покрытиях дорожных одежд посвящены работы А.М. Богуславского, А.П. Васильева, Л.Б. Гезенцвея, В.А. Золотарева [1], В.Д. Казарновского, М.С. Коганзона, В.П. Матуа, Ю.П. Ткачука [2], З.П. Шульмана [3], Я.Н. Ковалева и др. Вместе с тем следует отметить, что в настоящее время требует своего дальнейшего развития направление совершенствования нелинейных реологических моделей.

Цель и постановка задачи

Целью настоящей работы является построение структурной схемы нелинейной реологической модели асфальтобетона, которая впоследствии может быть использована и при 3-0 моделировании его напряженно-деформированного состояния.

Схема, построенная на основе модели Бюргерса

В Харьковском национальном автомобильнодорожном университете (ХНАДУ) предложена одномерная реологическая модель асфальтобетона при его работе на сжатие. Согласно этой модели схема вычислений сводится к последовательности действий, представленной на рис. 1.

Обобщенное уравнение такой физической модели в интегральном виде можно записать как

а = 1 при с > с01 и а = 0 при с < с(

Р = 1 при С > С02 И Р = 0 при с < с02.

Основным недостатком такой модели является то, что при выполнении условия с(^) < с02 из работы «выключается» не только вязкий элемент ^2, но и параллельный ему упругий элемент Е2 (см. рис. 1).

При этом упругий элемент Е2 становится абсолютно жестким, что трудно обосновать применительно к реальным физическим телам. В то же время «выключение» из работы одновременно двух элементов (^2 и Е2) может привести к определенным затруднениям при экспериментальном определении величин коэффициентов ^2 и Е2 .

Эти недостатки можно устранить, если вместо модели Бюргерса [3, 5] как основы реологической модели асфальтобетона принять схему с вынесенным вязким элементом остаточных деформаций, представленную на рис. 2 [6].

Схема, построенная на основе модели с вынесенным вязким элементом остаточных деформаций

Не вдаваясь в подробности результатов промежуточных вычислений, приведем в окончательном виде математическую модель представленной на рис. 2, б реологической модели асфальтобетона:

і Е

Е2-с + р-1 (с-Со2) dt + р- Е2 ■jсdt +

І2

Е ,

І2

І1 і

1 і

11 Е

+а—- I(с-с01)йі + а-р- —>

іі

(1)

<!

I (с-^)йі

йі = |2в + р - Е21 sdt,

где с и s - искомые напряжения и относительные деформации в асфальтобетоне; Е1, Е2, |1, |2 - характеристики жесткости и вязкости, обозначены на рис. 1; с01, с02 -пороговые значения напряжений, обозначены на рис. 1; і - время процессов нагружения и релаксации асфальтобетона;

1. Если

(2)

то модель работает аналогично звену Гука [3] (рис. 3, а).

У равнение напряженно-деформированного состояния асфальтобетона на этом этапе записывается в виде

с

= (Е1 + Е2 )?

где с - напряжение сжатия в элементе; s относительная деформация.

с01 > с < с02

Еь E2, 51, 52, о<)ь Ос^ ; С с > /с(^)^ , ^ \с()^

dt с1с

г г

&

51 Ш

°01

да

а<аш

\

Ех

Да

51 Ш

°01

°02

Е2 < 52

нет

а<аш

\

Е

о = 0

да ч

'1 нет

Рис. 1. Схема вычислений согласно реологической модели асфальтобетона, построенной на основе модели Бюргерса: Еь Е2 - коэффициенты, характеризующие упругие свойства; 51, 52 - коэффициенты, характеризующие вязкие свойства; а0Ь о02 - пороговые значения напряжений в элементах Шведова

Е2

52

Рис. 2. Усовершенствованная реологическая модель асфальтобетона: а - без элементов Шведова; б - с элементами Шведова

Ел

Ег

о

О

Е2

001

Е2

Рис. 3. Элементы с упругими и упругопластическими свойствами: а - с упругими; б - с упруго-пластическими

3. Если

2. Если

С02 < С01 И С02 — С < С01 :

(7)

С01 < С02 И С01 — С < С02 :

(4)

то элемент имеет вид, подобный модели Бингама [3] (рис. 3, б), и его напряженно-деформированное состояние в дифференциальном виде можно представить как

С С01 +

л, ё с ё в

1 ~~т = ^-. (5)

Е1 + Е2

Это же в интегральном виде (здесь и далее при нулевых начальных условных)

| (а-а01) Ж + е^е;

с = Л1в .

(6)

Легко увидеть, что при с01 = 0 элемент фактически преобразуется в модель Максвелла

[3].

то уравнение напряженно-деформированного состояния такого упруго-вязкого элемента (рис. 4, а) в дифференциальном представлении имеет вид

ёс ёв

------+ С - С02 = ------

Е2 ёг 02 2 ёг

^ Е ^ 1 + Е-

V Е2 у

+ Е1в ; (8)

в интегральном Л2

Е2-СТ + | (с-с02)ёг = Л2В

Е.

2 г

^ Е ^ 1+

V Е2 у

+

Е | вёг. (9)

4. Если

С01 — С > с02 :

(10)

то модель принимает вид (рис. 4, б) и в интегральном виде описывается как

^-a + j (с-с02) dt + Л

Л2

E.

2 t

1 + El

V E2 у

E

х[(с-с01) dt +—- [

t Л- t

Л-

j (^-^01)

= (11)

= Л2

( E ^ 1 + Е-

V E2 у

8 +

El j 8dt,

Рис. 4. Элементы с упруго-вязкими и упруго-вязко-пластическими свойствами: а -упруго-вязкими; б - упруго-вязко-пластическими

в интегрально-дифференциальном

В обобщенном виде выражения (11)-(13) можно представить по аналогии с выражением (1)

E-с + р-j (с-с02)Л

Е

+а

‘ +

Л2

Л-

1+El

Л

V Е2 у

j (a-C0i)dt +

,Е.

+а-р^ f

Л- t

(14)

dt =

= Л2

Е

j (с -°0i)dt 8 + р - El j 8dt,

2 У

где при с > с01, а=1; при с <с01, а=0 ; при с > с02, Р=1; при с <с02, Р=0 .

Из (14) видно, что при выполнении одного из условий: (2), (4), (7) или (10) выражение (14) преобразуется в: (3), (6), (9) или (11).

При этом необходимо отметить один очень важный частный случай: когда с02 = 0 , выражение (14) преобразуется в

Л2

Е ,

е2 г

+а— I

Л1 t

—с+ [adt + а- — -Е J Л-

j (a-a0i)dt

1 + El

Е

x j(a-a01 )dt +

2

dt =

(15)

= Л2-

( Е ^ 1 + Е-

V Е2 У

8+

El j 8dt.

Таким образом, схему вычислений согласно реологической модели, приведенной на рис. 4, б, можно свести к виду, представленному на рис. 5.

Л2 dа Л2

----+ (a-a02) + -^

Е2 dt л1

+El j (a-a 0i)dt = Л2

Л- t

1 + El

V Е2 у

(a-a0i) +

Е

\

1 + ^-V Е2 У

или в дифференциальном

d 8 , Z7

-----------+ El 8,

7 2 (

Л2 d a

------Г +

Е2 dt

1+ Л2

Л1

(

w

1+El

V Е2 УУ

da

+

Е

+ 1 (a a01 ) = Л2

Л1

1 + El

Е2 У

2

(12)

(13)

d 8 ^ d 8 + Е-~П.

Результаты расчетов, выполненные по этой схеме для асфальтобетона, характеризующегося параметрами

Е = 2,2 -10уМПа, Е2 = 4,74 -10уМПа,

Л1 = 7,5 -1013Па - с, л2 = 4,65-10пПа - с, а01 = 0 МПа, а02 = 0 МПа и напряжением при сжатии

a = 0,0625 - 106МПа, представлены на рис. 6.

В проведенных расчетах было принято, что коэффициент ВЯЗКОСТИ Л2 = const, имеет

X

Еь Е2, 51, 52, 001, 002, о(£), Сс; , \с(г)ёг , [ [с(/)ё/

dt Сс2

г г

ёг

X

да

51

°01

Е2

Е1

52

°02

а<ап

Да

51

°01

Е2

52

°02

а<ап

Е

2

Е

2

а = 0

С

конец

вычислений

Рис. 5. Схема вычислений согласно реологической модели, приведенной на рис. 4, б

Л2 =^2с , (16)

одинаковые значения как при приложении нагрузки, так и при ее снятии.

Однако в работе [5] отмечается, что в общем случае это далеко не так. Поэтому при построении реологической модели по уравнениям (11), (15) необходимо разделять этапы нагружения:

- нагружение асфальтобетона (восходящая ветвь на рис. 6), когда:

- снятие нагрузки (нисходящая ветвь на рис. 6), в процессе которой

Л = Лр .

При этом в общем случае [5]

Л2с ^2р .

(17)

(18)

w)

Рис. 6. Зависимость 8 = f (t) при ступенчатом приложении нагрузки и a = const: o - экспериментальные данные [2]; — теоретическая кривая

Это же положение касается и результатов вычислений, получаемых согласно модели, представленной на рис. 1.

Выводы

Предложены две реологические модели, которые могут использоваться для описания напряженно-деформированного состояния

асфальтобетонов как при работе на сжатие, так и на растяжение. Принятая одноосная модель нагружения может быть взята за основу для разработки трехмерной модели. Для выбора реологической модели, наиболее адекватно описывающей напряженно-деформированное состояние асфальтобетонов в покрытии дорожных одежд и для получения исходных расчетных параметров, необходимо проведение широкомасштабных экспериментальных исследований при трех схемах нагружения: сжатие, растяжение,

сдвиг.

Для выполнения расчетов по предложенным алгоритмам необходимо экспериментальное определение как минимум семи неизвестных параметров

Е1, ^, Лі, Л2с , Л р , СТ01 , СТ02 •

При их определении необходимо учитывать особенности работы асфальтобетона как при приложении нагрузки, так и при ее снятии.

Литература

1. Золотарев В .А. Исследование свойств ас-

фальтобетонов различной макроструктуры: дис... канд. техн. наук: 05.23.05 / В.А. Золотарев. - Харьков, 1967. - 207 с.

2. Ткачук Ю.П. Влияние структурных осо-

бенностей асфальтобетона на закономерности его вязкоупругого поведения при статическом нагружении: дисс... канд. техн. наук: 05.23.05 / Ю.П. Ткачук. -Харьков: ХНАДУ, 1977. - 217 с.

3. Шульман З.П. Реофизика конгломератных

материалов / З.П. Шульман, Я.Н. Ковалев, Э.А. Зальцгендлер. - Мн.: Наука и техника, 1978. - 240 с.

4. Богомолов В. О. Реологічна модель роботи

асфальтобетону при стисканні / В.О. Богомолов, В.К. Жданюк, В.М. Ряпухін, С .В. Богомолов // Автошляховик України. - 2010. - № 3. - С. 34-37.

5. Виноградов Г.В. Реология полимеров /

Г.В. Виноградов, А.Я. Малкин. - М.: Химия, 1977. - 438 с.

6. Бленд Д.Р. Теория линейной вязкоупруго-

сти / Д.Р. Бленд. - М.: Мир, 1965. - 199 с.

Рецензент: В.В. Филиппов, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 7 ноября 2011 г.