CC BY
46
СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
УДК 625.8
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ, ТРЕХМЕРНОЙ, ВЯЗКОУПРУГОЙ
МОДЕЛИ МАКСВЕЛЛА
В.А. Богомолов, профессор, д.т.н., В.К. Жданюк, профессор, д.т.н.,
С.В. Богомолов, инженер, ХНАДУ
Аннотация. Предложено общее решение 3^ вязкоупругой модели Максвелла, которое может батъ использовано в численных методах исследования напряженно-деформированного состояния конструкций с реологическими свойствами материалов.
Ключевые слова: реологическая модель Максвелла, тензор, девиатор, шаровой тензор, напряжения, деформации.
ЗАГАЛЬНЕ РІШЕННЯ ДЛЯ ЛІНІЙНОЇ, ТРИМІРНОЇ, В’ЯЗКОПРУЖНОЇ
МОДЕЛІ МАКСВЕЛЛА
В.О. Богомолов, професор, д.т.н., В.К. Жданюк, професор, д.т.н.,
С.В. Богомолов, інженер, ХНАДУ
Анотація. Запропоновано загальне рішення 3-D в 'язкопружної моделі Максвелла, що може бути використане в численних методах дослідження пружно-деформованого стану конструкцій з реологічними властивостями матеріалів.
Ключові слова: реологічна модель Максвелла, тензор, девіатор, шаровой тензор, напруги, деформації.
GENERAL SOLUTION FOR LINEAR THREE-DIMENTIONAL VISCOELASTIC
MAXWELL MODEL
V. Bogomolov, Professor, Doctor of Technical Science, V. Zhdaniuk, Professor, Doctor of Technical Science, S. Bogomolov, engineer, KhNAHU
Abstract. A general solution of linear 3-D viscoelastic Maxwell model that can be used in numerical methods of stress-deformation state research of structures with rheological material properties is offered.
Key words: Maxwell rheological model, tensor, deviator, sphere tensor, stress, deformation.
Bведение
G, K
Из работы [1] известно, что любая линейная реологическая модель может быть приведена к обобщенной модели Максвелла с не более чем двумя вырожденными элементами. Поэтому ключевым звеном для решения 3-0 вязкоупругих моделей является именно простейшая модель Максвелла (рис. 1).
Ш Л, "Л V
Рис. 1. Вязкоупругая модель Максвелла: G, К, Л, ЛР - коэффициенты, характеризующие упругие и вязкостные свойства модели
Анализ публикаций
В работе [2] предложен вариант линейной вязкоупругой модели Максвелла, которая может быть записана в виде двух уравнений
(1)
7.Г + 7яг - 3Лу 8яг ; (2)
К
и в случае одноосного нагружения, например
X + 7х - 3Л8х ;
ху + х ху Лу ху :
(3)
(4)
где Вн, Вн - девиаторы напряжений и их скорости изменения; Ва - девиатор скорости деформаций; ц, - коэффициенты вяз-
кого сопротивления и объемного вязкого сопротивления; а^г, а^ - среднее напряжение и его скорость изменения; 82Г - скорость изменения средней деформации; ах ах - нормальные напряжения вдоль оси X и скорость их изменения; хху, хху - касательные напряжения и скорость их изменения; О - модуль сдвига; К - объемный модуль упругости.
При этом
^г - (7 х + 7 у + 7 г )/3;
8ЯГ - (Є х + 8 у + 8 г )/3,
(5)
где ах ...а2, 8х ...82 - компоненты напряжений и деформаций по соответствующим координатным осям; ц - коэффициент Пуассона.
Если на стадии ползучести принять, что 82Г - 0 [3], то выражение (2) вырождается в
-є„„3К — 8„
ЯГ ЯГ
2Є(1 + ц) (1 - 2ц)
(6)
Цель и постановка задачи
Таким образом, в принятой постановке необходимо получить восемь решений
Из (1) Вн - /фа); Ва - /(Вн, Вн); (7)
Из (2) а^г-/(8sr); -/(аsr, аsr);
Из (3) а х- /(8 х); 8 х- / (ах, а х); (8)
Из (4) х ху - / (Уху ) ; У ху - / (х ху, Хху ) .
Девиаторы напряжений и деформаций
Для обыкновенного линейного уравнения (1) решение можно искать в виде [4]
їи — їи(0) + їи(еИ) ■
(9)
где Вн(0), Вн(сй) - решение однородного уравнения и частное.
Последние будем искать в виде [4]
їи(0) — Сек0; (10)
їи (еИ) — С1(і )е
коі
(11)
где С - зависящая от начальных условий константа;
1
Л
ко — -; х—є х Є
(12)
і - время.
После соответствующих преобразований для начальных условий при * = 0; Вн - ВН, получаем
_1 г *_2
Вн - Вне х + 12ве х В^, (13)
о
где 2 - текущее время.
Из (3), (4) для начальных условий при * - 0; ах - ах0; хху - хху0 можно получить решения
для случаев одноосного нагружения, например
Л г * _2
ах-ах0е х + ^3Ое х 8хЛ2; (14)
0
_*_ г *_2
хху - хху0е х + /Ое х уxyd2 . (15)
Аналогичным образом можно получить и решение для девиатора деформаций при начальных условиях t = 0; , из (1)
1t
Dd — Dd + - J
2о
Dн + Dh G л
d2. (16)
Выводы
Полученные решения для модели Максвелла впоследствии могут быть использованы:
1. Для анализа более сложных по структуре вязкоупругих моделей.
2. При анализе экспериментальных данных.
B случае одноосных нагружений, из (З), (4)
Литература
І/ З о
d 2; (17)
У xy У xy + J
t f Т Т ^ ''xy + lxy
о
G л
d2. (1S)
Шаровой тензор напряжений и деформаций
Точно таким же образом для (2) получаем
-L t -LA
asr — а^е х° +JЗКе Хо ksrd2; (19)
єо 1
Jsr '■’sr
—&Sr + — J
sr sr З о
tf ■ а
^ sr + ^ sr
к лг
где
к ’
d 2; (20)
(21)
, &Sr - начальные условия при t — 0.
1. Богомолов В. А. Универсальный метод сос-
тавления линейных вязко-упругих структурных моделей / В.А. Богомолов, В.К. ЖДа-нюк, С.В. Богомолов // Автомобильный транспорт. - 2011. - № 28. - C. 125-131.
2. Богомолов В.А. Простейшие звенья ли-
нейной пространственной реологической модели асфальтобетона / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Автомобильный транспорт. - 2010. -№ 27. - С. 157-162.
3. Безухов Н.И. Основы теории упругости плас-
тичности и ползучести / Н.И. Безухов. -М. : Высшая школа, 1968. - 215 с.
4. Корн Г. Справочник по математике для
научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Г. Корн, Т. Корн ; пер. со второго американск. перераб. изд-я Н.Г. Арамановича, А.М. Бе-резмана и др. - М. : Наука. Главн. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984. - 831 с.
Рецензент: B.B. Филиппов, профессор, д.т.н., XHAДУ.
о
о
о
Статья поступила в редакцию 11 мая 2011 г.
