Общий метод получения дифференциальных зависимостей деформаций от напряжений для линейных реологических 3-D моделей Текст научной статьи по специальности «Физика»

СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

УДК 625.7/8:620.172.21

ОБЩИЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ ОТ НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ РЕОЛОГИЧЕСКИХ

3-D МОДЕЛЕЙ

В.А. Богомолов, профессор, д.т.н., В.К. Жданюк, профессор, д.т.н., С.В. Богомолов, инженер, ХНАДУ

Аннотация. Предложен общий метод получения исходных линейных дифференциальных уравнений для вязко-упругих 3-D моделей.

Ключевые слова: вязко-упругая модель, тензор, девиатор, шаровый тензор, деформации, напряжения.

ЗАГАЛЬНИЙ МЕТОД ОТРИМАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ ДЕФОРМАЦІЙ ВІД НАПРУГИ ДЛЯ ЛІНІЙНИХ РЕОЛОГІЧНИХ

3-D МОДЕЛЕЙ

В.О. Богомолов, професор, д.т.н., В.К. Жданюк, професор, д.т.н., С.В. Богомолов, інженер, ХНАДУ

Анотація. Запропоновано загальний метод отримання лінійних диференціальних рівнянь для в ’язко-пружних 3-D моделей.

Ключові слова: в ’язко-пружна модель, тензор, девіатор, шаровий тензор, деформації, напруги.

THE GENERAL METHOD OF OBTAINING INITIAL LINEAR EQUASIONS FOR 3-D VISCOUS-ELASTIC MODELS V. Bogomolov, Professor, Doctor of Technical Science, V. Zhdaniuk, Professor, Doctor of Technical Science, S. Bogomolov, engineer, KhNAHU

Abstract. The general method of obtaining initial linear equasions for 3-D viscous-elastic models is offered.

Key words: viscous-elastic model, tensor, deviator, spheric tensor, deformation, stress.

Введение

Современный уровень развития методов расчета напряженно-деформированного состояния сложных инженерных конструкций предполагает применение метода конечных элементов (МКЭ), который, в свою очередь, дал очень широкие возможности для анализа как упругих, так и вязко-упругих систем. Последние получают в настоящее время все

большее применение в самых различных направлениях инженерных расчетов.

Анализ публикаций

Применение МКЭ предполагает наличие математической модели, описывающей напряженно-деформированное поведение тела в точке. Процедура составления такой модели для вязко-упругого тела, как правило, требу-

ет в каждом отдельном случае вначале записать уравнение для простейших элементов реологической модели [1, 2] и затем найти способ объединения этих моделей в единую [3]. Для многозвенных конструкций это не всегда является достаточно удобной и простой задачей.

Для упрощения этой процедуры при одноосном нагружении в [4] предложен символический метод, заключающийся в следующем.

Вводится символ В, имеющий смысл дифференцирования по времени, и далее все математические преобразования с этим символом проводятся как с обычной алгебраической величиной.

- после проведения алгебраических преобразований символ В заменяется знаком дифференцирования по времени.

О, Е, К

О, Е, К

П -Пр> Пу

О, Е- К [МП - П р, Пу

При использовании этого метода необходимо выполнять следующие правила [4]:

жесткость модели определяется как

Е (П) =-, 8

(1)

где с и в - напряжения и деформации в точке;

- все элементы модели считаются упругими; упругость элемента Гука (рис. 1, а) равна модулю упругости Е , упругость вязкого элемента (рис. 1, б)

Ев =ПрП;

(2)

Рис. 1. Простейшие звенья реологической модели: а - упругий элемент Гука; б - вязкий элемент Ньютона; в - модель Кельвина; г - модель Максвелла; О, п - модуль упругости и коэффициент вязкости при работе материала на срез; Е, пр -

то же при растяжении-сжатии; К, пУ -то же при объемном расширении

Например, для рис. 1, в

Е(П) = Е + п П = —; Е 8 + п П 8 = с;

- суммарная жесткость параллельно соединенных элементов (например, рис. 1, в) равна

(5)

Е(П) = ЕіП + Е2п,

(3)

где Е1П, Е2П - жесткости параллельных звеньев (для рис. 1, в Е1П = Е , Е2П = прП);

- суммарная жесткость последовательно соединенных элементов (например, рис. 1, г)

что совпадает с выражениями, представленными в [1, 5 и др.].

Для рис. 1, г

11

1

Е (П) Е п рП

; Е (П) =

Е п рП = —

Е + прП 8

1

1

1

Е(П) Е1ПС Е2 ПС

(4)

где Е1ПС, Е2ПС - жесткости последовательно соединенных звеньев (для рис. 1, г

1 _ 1 _ 1 );

Е Е ’ Е п В

1ПС £'2ПС '\п1у

Ес + п рИ с = Еп рП8;

й 8

Ес + пРй = Е пр-ц■

что также совпадает с [1, 5 и др.].

а

в

г

8

Для четырехэлементной модели (рис. 2, а)

Цель и постановка задачи

1

1 1

1 1

1

Е(П) Е1П Е2П Е1П Е1 пр1П

Е2П=Е2 + пр2П ,

после соответствующих преобразований получим

_________ЕП2пр1пр2 + Е1Е2 Ппр1____________

П 2п р1п р 2 + Е1Пп р1 + Е1Пп р 2 + Е2 Пп р1 +Е1Е2

с

= —, или 8

пр1пр2 ~~Г +( Е1п р1 + Е1Лр 2 + Е2п рО^ +

й ^8 й 8

+ Е1Е2 с = Е1пр1пр2 —Г + Е1Е2пр1 — ’ (7)

что совпадает с [2].

П2, Пр2, Пу:

О2, -Е2, К2

Необходимо разработать аналогичную упрощенную схему для составления дифференциальных уравнений реологических 3-Б моделей.

Девиатор и шаровый тензор

Как известно, для объемного (3-Э) нагружения тела тензор напряжений удобно представлять в виде суммы [1, 5, 7]

ТН = ПН + ПШ = ПН + 1 сср ,

(8)

где ПН, ПШ - девиатор и шаровый тензор напряжений; I - единичная матрица;

сср =

сх +с^ +сг

3

среднее напряжение в

точке; сх, су, сг - нормальные напряжения

в точке, вдоль соответствующих декартовых осей координат.

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо уметь составлять два уравнения: для девиатора и для сср .

Составление исходного дифференциального уравнения для девиатора

т П1, Пр1, ПУ1 І

О1, Е\, К

О2, Е2, К2

| П2, Пр2, ПУ2

Для материала с линейными характеристиками закон Гука в обобщенном виде может быть записан как [8]

Пн = 2ОПд.

(9)

где О - обозначено на рис. 1, 2; Пд - девиатор деформаций [1, 5, 7].

О1, Е\, К1І 5О2, Е2, К2

ЛЬ ПрЪ 'т'П:, Пр2, ПУ2

■ и*

Закон Ньютона для вязкого тела в девиатор-ном виде [8]

пн = 2пПд;

(10)

где п - обозначено на рис. 1, 2; Пд - девиатор скоростей деформаций.

Рис. 2. Четырехэлементные вязко-упругие модели: а - модель Бюргерса [6]; б - модель [6]; в - двухэлементная модель Максвелла [6]

Таким образом, по аналогии с (1), можно ввести следующее выражение с символом В

а

б

в

0( В) _-Вн

2Вд

(11)

К нему, вместо (2), добавим Ов _ пВ.

(12)

Остальные действия соответствуют тем, которые проводились с (3, 4).

Например, для рис. 1 (г)

1 1 1 ОцО Вн

О(В) О цВ

; о (В) _

О+пВ 2В

откуда

0Вн + пВВн _ 20пВВд ;

Вн

л _ 2п &Вд

О & &

(13)

откуда

П1П2ВН + (О1П2 + О2П1 )ВН + О1О2ВН _

_ 2^(0 + О2)Вд + 200^ + П2)Вд . (16)

Аналогично этому можно получить дифференциальные уравнения, связывающие де-виаторы деформаций и напряжений для реологических схем любой сложности.

Составление исходного дифференциального уравнения для шарового тензора

Как показано в (8), для того чтобы определиться с Вш, необходимо знать сср .

Известна зависимость [5, 8]

сср _вср 20(1 + ц) _в 3К,

ср ср (1 - 2 ц) ср '

(17)

что полностью совпадает с [5]. Для рис. 2 (а)

1 1 1

1 2Вд

0( В) 01 пВ 02 +п2 В Вн

откуда

П1П2 ВН +(01П1 + 01П2 + 02П1 ) ВН +0102 ВН

_ 201П1П2Вд + 20102П1Вд . (14)

Для рис. 2 (б)

1 1

О(В) П1В о +_____________________1_

01 + 1 1

2В

Вн

02 П2В

откуда

П1П2Вн + [01П2 +02(п1 + П2 )]Вн +0102Вн _

_ 2П1П2(01 + 02)Вд + 20102П1Вд . (15)

Для рис. 2 (в)

0(В) _-

Вн

1 1 1 1 2В ’

— +------ — +------- д

01 П1В 02 П2В

В х +Ву +Вг „ 20(1 + ц)

где вср _----- -----; К _-------- ----объем-

ср 3 3(1 - 2ц)

ный модуль упругости; ц - коэффициент

Пуассона при упругих деформациях.

Если вязкое сопротивление при объемном расширении принять равным [9]

сср _ 3ПуВ

У°ср -

(18)

где Пу - объемный коэффициент вязкого сопротивления.

То, по аналогии с (1, 11), можно использовать следующее выражение с символом В

К(В) _

с„

3в

ср

К нему, вместо (2), добавим Кв _ ПуВ .

(19)

(20)

Остальные действия при составлении соответствующего дифференциального уравнения полностью совпадают с тем, как это проводилось с (3, 4).

Например, для рис. 1 (в)

1

К (В) _ К + ПуВ _ ^,

3вср

откуда

сср _3Квср + 3Пувср , (21)

что совпадает с [5].

Для рис. 1 (г)

1 1 1 3в,

ср

К (В) К ПуВ Сс

(22)

или

Пу Сср + КСср _3КПу вср , (23)

что совпадает с [5]. Для рис. 2 (а)

1 1 1

3вс

К (В) К1 Пу1 В К2 +Пу 2В Сс

(24)

откуда

Пу 1 Пу2 Сср +( К1Пу1+ К1Пу2 + К2Пу1 ) Сср +

+ К1 К2 Сср _3 К1Пу1 Пу2 Вср + (25)

+3 К1 К2%1 вср .

Для рис. 2 (б) 1 1

3вс

К (В) Пу1 В К

1 1 1

ср

-, (26)

К2 Пу 2 В

или

Пу 1 Пу2 Сср + [К1Пу2 + К2(Пу1 +Пу2)]Сср +

+К1К2ССр _ 3пу1 Пу2(К1 + К2)вСр + (27)

+ 3К1К2Пу1 вср .

Для рис. 2 (в)

К(В) _-

ср

± + -± ± + -^ 3в

К1 Пу1 В К2 Пу 2В

(28)

ср

или

Пу 1Пу2Сср + (К1Пу2 + К2Пу1)Сср + К1К2Сср _ 3пу 1Пу2 (К1 + К2)вср + (29)

+ 3К1К2 (пу 1 + Пу 2 )Вср .

В теории линейной вязко-упругости чаще всего предполагают [5, 8, 9], что в шаровом тензоре деформаций вср _0, тогда исходя из

(18), при определении К(В), нужно принимать пу _ .

В этом случае для рис. 1 (г) уравнение (23), исходя из (22), вырождается в (17).

Для рис. 2 (а) из (24)

Сср _ 3К1Вср . (30)

Для рис. 2 (б) и 2 (в) из (26) и (28)

Сср _3(К + К2)Вср .

(31)

Из (14) для рис. 2 (а) можно легко получить дифференциальную зависимость для случая одноосного растяжения-сжатия, например, вдоль оси х

П1 П2 Сх +( 01П1+ 01П2+ 02П1) Сх + 01 02 Сх _

_3 01 П1 П2 вх +3 01 02 П1 вх , (32)

которая при Е1 _ 301 и пр, _ 3п ., см. [8], полностью совпадает с (7).

Для одноосного чистого среза по схеме рис. 2, а, например, для т ух

П1 П2 Тух +( 01П1+ 01П2 + 02П1) Тух +

+ 01 02 т ух _ 01 П1 П2 У ух + 01 02 П1 У ух . (33)

Для рис. 2 (б) из (15)

П1 П2 Сх +[ 01П2+ 02(П1 +П2)]Сх + 0102Сх _

_3 П1 П2( 01+ 02) Вх +3 01 02 П1 Вх , (34)

для одноосного чистого среза

П1 П2 Тух +[ 01П2 + 02 (П1 + П2 )] Тух +

+ 01 02 Т ух _ П1 П2( 01+ 02) У ух +

+ 01 02 П1 У ух . (35)

1

1

Для рис. 2 (в) из (16)

п п2 сX +( О1п2 + О2п1)сX + О1О2сX = =3 п п:( О1+ О2)8X +3 О1 О2 (п1+ п:) 8 х, (36)

для одноосного чистого среза

п п: тух +(О1п: + О2п1) тух + О1 О2 тух = п п:( О1+ О2) У ух + О1 О2 (п1+ п:) Уух. (37)

Выводы

Предложена методика составления диффере-циальных уравнений реологических моделей 3-Э нагруженных тел. Такие уравнения могут использоваться как в МКЭ, так и при экспериментальных исследованиях вязкоупругих материалов.

Литература

1. Шульман З.П. Реофизика конгломератных

материалов / З.П. Шульман, Я.Н. Ковалев, Э.А. Зальцгендлер. - Минск : Наука и техника, 1978. - 240 с.

2. Богомолов В. О. Реологічна модель роботи

асфальтобетону при стисканні / В. О. Богомолов, В.К. Жданюк, В.М. Ряпухін та ін. // Автошляховик України. - 2010. -№ 3. - С. 34-37.

3. Мейз Дж. Теория и задачи механики

сплошных сред / Дж. Мейз ; пер. с англ. Е.И. Свешниковой. - М. : Мир, 1974. -318 с.

4. Ржаницын А.Р. Теория ползучести /

А.Р. Ржаницын. - М.: Изд-во лит-ры по строительству, 1968. - 416 с.

5. Богомолов В.А. Простейшие звенья ли-

нейной пространственной реологической модели асфальтобетона / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Автомобильный транспорт : сб. научн. тр. - 2010. - Вып. 27. - С. 157-162.

6 . Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости / Д. Бленд ; пер. с англ. И.И. Гольберга, Н.И. Малинина. - М. : Мир, 1965. -199 с.

7. Лебедев А.А. Механические свойства кон-

струкционных материалов при сложном напряженном состоянии : справочник / А.А. Лебедев, Б.И. Ковальчук, Ф.Ф. Гиш-няк, В.П. Ламашевский. - К: Наукова думка, 1983. - 366 с.

8. Безухов Н.И. Основы теории упругости,

пластичности и ползучести / Н.И. Безу-хов. - М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

9. Рейнер М. Деформация и течение / М. Рей-

нер ; пер. со втор. англ. изд. Л.Н. Никитина, А. М. Кочеткова, В. Н. Кунджанова.

- М. : Гос. научн.-техн. изд-во нефтян. и горно-топливн. лит-ры, 1963. - 381 с.

Рецензент В.В. Филиппов, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 5 октября 2010 г.