CC BY
42
ДИНАМИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ АВТОМОБИЛЯ НА ДОРОГУ
УДК 621.015
ОБЩИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ, ТРЕХМЕРНЫХ, ВЯЗКОУПРУГИХ ОБОБЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ МАКСВЕЛЛА
В.А. Богомолов, профессор, д.т.н., В.К. Жданюк, профессор, д.т.н.,
С.В. Богомолов, инженер, ХНАДУ
Аннотация. Предложена методика получения решения как по напряжениям, так и по деформациям для вязкоупругих 3D-моделей с n-м количеством элементов Максвелла.
Ключевые слова: элемент Гука, элемент Ньютона, элемент Максвелла, девиатор, шаровой тензор, деформации, напряжения.
ЗАГАЛЬНИЙ ПІДХІД ДО РОЗ’ЯЗАННЯ ЛІНІЙНИХ, ТРИВИМІРНИХ, В’ЯЗКОПРУЖНИХ УЗАГАЛЬНЕНИХ МОДЕЛЕЙ МАКСВЕЛЛА
В.О. Богомолов, професор, д.т.н., В.К. Жданюк, професор, д.т.н.,
С.В. Богомолов, інженер, ХНАДУ
Анотація. Запропоновано методику отримання розв ’язку як по напругах, так і по деформаціях для в ’язкопружних 3D-моделей з n-ю кількістю елементів Максвелла.
Ключові слова: елемент Гука, елемент Н’ютона, елемент Максвелла, девіатор, шаровой тензор, деформації, напруги.
THE ELEMENTARY LINKS OF LINEAR THREE-DEМEN SIONAL RHEOLOGICAL MODEL OF ASPHALT-CONCRETE
V. Bogomolov, Professor, Doctor of Technical Science, V. Zhdaniuk, Professor, Doctor of Technical Science, S. Bogomolov, engineer, KhNAHU
Abstract. The method of decision-making according to both stress and deformation for viscoelastic 3-D models with the total number of Maxwell elements is offered.
Key words: Guk element, Newton element, Maxwell element, deviator, sphere tensor, deformations, stresses.
Введение
В работе [1] показано, что любую линейную вязкоупругую структурную модель можно привести к одному из видов (рис. 1).
Анализ публикаций
В работе [2] приведено исходное дифференциальное уравнение для 3D-элемента Максвелла. Для «-го элемента (рис. 1) оно будет иметь вид:
Di =2Ц„D
H G dt n dt
(1)
где пп, Gn - обозначены на рис. 1; D’H, D’« -девиаторы напряжений и деформаций для п-го элемента Максвелла.
Исходя из работы [3], можно также записать уравнение, описывающее элемент Гука, рис. 1, б, г
Г)00 — Г)С' Г)00
БН (G) _ 2Оо Ба (G)
(2)
г\щ «
где DH ^), Dd^) - девиаторы напряжений и деформаций элемента Гука, рис. 1, б, г;
- для элемента Ньютона (рис. 1, в, г)
а (N),
(3)
где Щн(ы) , ^&Н(ы) соответствующие девиа-торы напряжений и скоростей деформаций.
Из работы [4] можно записать решения для девиатора напряжений элемента Максвелла
І І-%
-— І -----------
БпН = Б0Нпе %п +12Опе %п Ща% , (4)
где - девиатор напряжений п-го элемента при начальных условиях, т.е. при t = 0; Щ - девиатор скоростей деформаций п-го
элемента Максвелла; тп = —^; t - время нагружения; £, - текущее время.
Цель и постановка задачи
Исходя из известных решений [2-4], необходимо построить общие решения для тензоров напряжений и деформаций обобщенных моделей Максвелла.
Тензор напряжений
Известно [5], что тензор напряжений можно представить в виде
ТН = БН +1 я,
(5)
где Щн - девиатор напряжений; I -о^ - шаровой тензор; I - единичная матрица; -среднее напряжение в точке [5].
Девиатор напряжений
Если известны девиаторы деформаций и их скоростей изменения Щ, при этом
Б = Бп = 0е0 = 0е0
Ба ~Ба ~ Ба (ы) _ Ба (о),
т& = б = Бо = 0о
(N) — о)
(6)
G
1 < 2 •
G
ЩпШ
G
G
G
пщО
где Щ11 - девиатор деформации исследуемой структурной модели; Щ, Щ(ы}, - обо-
значены в (4, 3, 2), то в общем случае для рис. 1 решение относительно девиатора напряжений можно записать в виде
Он = 1 ОН + БН (N) + ОН (О), (7)
п=1
где БН,БН^),БН(О) - записаны в (4, 3, 2).
В случае одноосного напряженно-деформированного состояния, например, растяжения-сжатия вдоль оси Х
Рис. 1. Линейные вязкоупругие структурные модели с п количеством элементов Максвелла: а, б, в, г - разновидности обобщенных моделей Максвелла; О1, О2, ... Оп, - модули упругости на сдвиг
соответствующих элементов Гука; п1, П2, ... Пп, - коэффициенты вязкости
соответствующих элементов Ньютона
Еп I О о
Я х +С х ( N ) +С x(G),
п=1
(8)
Еп о о
Я х, а х( N), а х (О)- напряжения в элемен-
п =1
тах (рис. 1), в соответствии с (7).
Из [4]
— і -*—%
япх =япх0е Тп +|3Опе Тп % , (9)
0
п
п
да
п
п
т
б
п
п
1 да
п
п
в
г
т
т
где ох0 - начальные условия по напряжениям для п-го элемента Максвелла.
Из [3]
я°" - начальные условия по я"^ , при і = 0;
Т0п —
Пуп .
К. ’
(18)
со
Ях( N) = 3По
(10)
°Х(с) = 20ш(1+ц)(в х +в хо); (11)
где в х0 - деформация при t = 0; ц - коэффициент Пуассона.
При нагружении на срез, например, для Тху (см. [4])
Цуп - коэффициент объемного вязкого сопротивления [10] п-го элемента Максвелла;
Кп = (1 + Ц - модуль упругости (19)
3 - (1 - 2ц)
при объемном расширении п-го элемента Максвелла; в^, - средняя деформация [5] для п-го элемента Максвелла;
Еп , о I О
Тху + Тху(N) + Тху(О) ,
п=1
__— І
где т1у = т°хпе +1 Опе %п %,
(12)
(13)
0
Оп
Тху - начальные условия по напряжениям для п-го элемента Максвелла.
Из [3]
ТХУ (N) = п&у; (14)
ТХУ (О) = Ощ, (Уху +У°у) (15)
у0у - деформация сдвига при t = 0 .
В выражениях (7, 8, 10-12, 14, 15), приравнивая к нулю Пш и (или) Ош, можно получить решение для любой из моделей (рис. 1).
Шаровой тензор напряжений
Определяя шаровой тензор через о^ , см. (5), для последних, исходя из выводов работ [2-4], по аналогии с (7) можно записать
Еп . О О /1 /-'Ч
Я,г + Я,г(N ) + Я,г(О) , (16)
где из [4]
і-%
п °"е "Оп + 3[К
ЯГг(N) = 3%&г , см [3],
(20)
где Пш - коэффициент объемного вязкого сопротивления у элемента Ньютона (рис. 1, в, г).
о "> туо / 0 \
Яг (О) = 3К (є,г +Є,г ),
(21)
где Кш- модуль упругости при объемном расширении элемента Гука, рис. 1, б, г; в°г -средняя деформация при t = 0 .
Несколько иной подход нужно использовать, если по известному тензору напряжений и его производным по времени необходимо найти тензор деформаций.
Представляя последний в виде
(22)
необходимо исходить из дифференциального уравнения для всей структурной модели.
Девиатор деформаций
Для моделей на рис. 1 исходное дифференциальное уравнение удобнее всего получать исходя из [2, 6, 8]
1
- + -
1
1111
-1----1-
О1 П1Б О2 П2Б
+ ...
... +-
1
11
+ -
' + Б + =
Б
2 • Б,
Оп ПпБ
т
т
п=1
е
0
где Щ - символ, имеющий смысл дифференцирования по времени. Все математические преобразования с ним в (23) проводятся как с обычной алгебраической величиной, в конце d
заменяя на — .
Получив, таким образом, линейное дифференциальное уравнение, его можно решать как относительно , так и Щн [7].
Например, в [2] для двух параллельных элементов Максвелла получено
Б,
1
2Б
11
- + -
- + -
1
11
+ -
(24)
О1 П1Б О2 П2Б
откуда
2гЬП2(О1 + О2)0& + 2О1О2(П1 +П2)0& =
yd
= П:П2 Щ + О1П2 + О2П)ЩН + ОхО2 Щн
Общеизвестно [7, 8], что для уравнения вида а0 Х&+ а1Х+ а2 х = f (0 (26)
с начальными условиями
х(0) = х0; х&0) = х& (27)
решение можно рассматривать в виде
(25)
х = х0.Р.0 + ХсЬ.Р.Н , (28)
где х0Р0 - общее решение однородного уравнения; хскрн - частное решение неоднородного уравнения.
При этом для случая (а12-а0а2) ) 0
Частное решение неоднородного уравнения
= с1(і )е¥ + с2(і У2. (31)
ко і
''скР.Н
После соответствующих преобразований получаем
скР.Н
=!-
1
О (к2 к1 )а0
х[ек2(І-%) - ек1(І-%) ] / (%)о %.
(32)
Применяя решения (29, 32) к рассматриваемой задаче (25), получаем
БО = С1 + С2е^ -І І
-| - |>(І-%) -1] / (%)о %’
где
С1 = БО -
О .
С2 — '
к2 ’
а1 = 2О1О2(П1 +П2);
/(^) - правая часть уравнения (24);
к =-01-
к2 — ;
(33)
(34)
(35)
(36)
а0 = 2гІ1П2(О1 + О2) ;
(37)
(38)
Щй, Щ - начальные условия.
В случае одноосного нагружения, например для ох. Для уравнения [2]
х0.Р.0 = С1е 1 + С2е 2 :
(29)
где к1, к2 - корни характеристического уравнения (26)
а0к + а1к + а2 = 0;
(30)
с1, с2 - постоянные, определяемые из начальных условий (27).
3ГІ1П2О1 + О2)«&^ + 3ОО2(П1 + П2)&х =
= П1П2«&х + (О1П2 + О2П1 )<&х + О1О2Ях
(39)
получаем решение
і 1
с + С2ек2 -1-[ек2(і-%) -1]/(%)О%, (40)
X
к
2
0
где
С = -
,
к2 ’
&
*&0 .
а1 = 3°1°2(гі1 +П2);
а0 = 3П1^2(О1 + О2); 8х0, &х0 - начальные условия.
П1П2(О1 + О2)(&Ух + °1°2(гІ1 +П2)У ух =
= П^^Ух + (О1П2 + О2П1)&Ух + О1О2 Тух.
Решение имеет вид
ак2І
У ух = С1 + С2е -
,1,0-%) -1]! (%)0
1 [‘
где
С1 =У х
1x0 .
к2
а1 = °1°2(гі1 +П2); а0 =П1^2(О1 + О2);
(41)
(42)
(43)
(44)
При чистом срезе, например, для тух, уух. При уравнении [2]
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
Ух0, &0 - начальные условия.
Шаровой тензор деформаций
Методика определения в,г (22) такая же, как и в случае с девиатором деформаций. Исходное дифференциальное уравнение необходимо получать из [2, 6]
1 1
1 Г~ + Л
-----1------------------1---------
К1 ПУ1Б К2 ПУ 2Б
+ ...
... +-
11
+
1 +ПуоБ + К«}=Я
3в„
(51)
где Кп, Кш - объемные модули упругости соответствующих элементов (рис. 1); Пуп , ПУш - объемные коэффициенты вязкого сопротивления.
Далее методика (26)-(32).
решения соответствует
Выводы
Полученные 3Б-решения обобщенной модели Максвелла впоследствии могут быть использованы:
1. При численном моделировании сложных инженерных сооружений, например, с использованием метода конечных элементов.
2. При анализе экспериментальных данных.
Литература
1. Богомолов В.А. Универсальный метод составления линейных вязкоупругих структурных моделей / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Автомобильный транспорт: сб. научн. тр. -2011. - № 28. - С. 125-131.
2. Богомолов В.А. Общий метод получения дифференциальных зависимостей деформаций от напряжений для линейных реологических 3-0 моделей / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Вестник ХНАДУ: сб. научн. тр. - 2011. - № 52. - С. 54-59.
3. Богомолов В.А. Простейшие звенья линейной пространственной реологической модели асфальтобетона / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Автомобильный транспорт: сб. научн. тр. - 2010. - № 27. - С. 157-162.
4. Богомолов В.А. Общее решение для линейной, трехмерной, вязкоупругой модели Максвелла / В.А. Богомолов,
B.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Вестник ХНАДУ: сб. научн. тр. - 2011. - № 53. -
C.70-72.
5. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. - М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.
6. Дж. Мейз. Теория и задачи механики сплошных сред / Дж. Мейз; пер. с англ. Е.И. Свешниковой. - М. : Мир, 1974. -318 с.
Кп ПупБ
С2 =
к
2
к
2
7. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления для втузов: [учебн. пос. для ВТУ] / Н.С. Пискунов. -М. : Наука, 1978. - Т. 2. - 575 с.
8. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы / Г. Корн, Т. Корн ; пер. со второго американск. перераб. изд-я Н.Г. Арамановича, А.М. Березмана и др. - М. : Наука. Главн. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984. -831 с.
9. Ржаницын А.Р. Теория ползучести / А.Р. Ржаницын. - М. : Изд-во лит-ры по строит-ву, 1968. - 416 с.
10. Рейнер М. Деформация и течение / М. Рейнер ; пер. со втор. англ. изд. Л.В. Никитина, АН. Кочеткова, В.Н. Ку-куджанова. - М. : Гос. научн.-техн. изд-во нефтян. и горно-топливной лит-ры, 1963. -381 с.
Рецензент: В.В. Филиппов, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 27 мая 2011 г.
